Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi

         Materi berikut yang akan kita pelajari adalah Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi. Maksudnya sudut-sudut berelasi disini adalah hubungan nilai perbandingan trigonometri dengan besar sudut ada pada kuadran II, kuadran III, kuadran IV, dan sudut yang besarnya di atas $360^\circ$. Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ini sangat penting karena tidak semua sudut yang ada pada kuadran-kuadran nilai trigonometrinya kita hafalkan, akan tetapi kita cukup mengingat nilai trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran I. Baca juga materi yang berkaitan yaitu "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran".

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut istimewa pada kuadran I

       Sudut-sudut istimewa yang ada pada kuadran I yang dimaksud adalah $0^\circ , \, 30^\circ, \, 45^\circ, \, 60^\circ, \,$ dan $90^\circ$.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sin, cos, dan tan,

Penjelasan tabel di atas :
Nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah ,
$\sin 0^\circ = 0 , \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \sin 90^\circ = 1$
$\cos 0^\circ = 1 , \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \cos 90^\circ = 0$
$\tan 0^\circ = 0 , \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} , \tan 45^\circ = 1 , \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \tan 90^\circ = \infty$

Contoh :
1). Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut,
a). $\sin 30^\circ . \cos 45^\circ$
b). $\frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ}$
Penyelesaian :
a). $\begin{align} \sin 30^\circ . \cos 45^\circ = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align}$
b). Nilainya,
$\begin{align} \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} & = \frac{1.\frac{1}{2} - \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} - 3 }{2.3} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} }{6} - \frac{ 3 }{6} \\ & = \frac{ \sqrt{3} }{3} - \frac{ 1 }{2} \\ & = \frac{ 1 }{3}\sqrt{3} - \frac{ 1 }{2} \end{align}$

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

       Sebelumnya sudah ditampilkan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada kuadran I. Berikut kita pelajari hubungan sudut-sudut berelasi berbagai kuadran.
Perhatikan rumus hubungan setiap kuadran jika diketahui sudut $\alpha \,$ pada kuadran I berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh hubungan kuadrannya :
Kuadran I :
$\sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ - \alpha ) = \sin \alpha$
$\tan (90^\circ - \alpha ) = \cot \alpha$

Kuadran II :
$\sin (90^\circ + \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha$
$\tan (90^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha$
$\sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha$
$\tan (180^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha$

Kuadran III :
$\sin (180^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (180^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha$
$\tan (180^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$
$\sin (270^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha$
$\tan (270^\circ - \alpha ) = \cot \alpha$

Kuadran IV :
$\sin (270^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ + \alpha ) = \sin \alpha$
$\tan (270^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha$
$\sin (360^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (360^\circ - \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (360^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha$

Sudut lebih besar $360^\circ$ :
$\sin (360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$

$\sin (n.360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (n.360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (n.360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$
dengan $n \,$ bilangan asli.

Catatan :
Dari hubungan semua relasi diatas, dapat disimpulkan :
*). Jika menggunakan ($90^\circ \pm \alpha$) atau ($270^\circ \pm \alpha$) , maka trigonometrinya berubah yaitu sin jadi cos, cos jadi sin, tan jadi cot, sec jadi csc, dan csc jadi sec. (menggunakan $90^\circ \,$ dan $270^\circ$).
*). Jika menggunakan ($180^\circ \pm \alpha$) atau ($360^\circ \pm \alpha$) , maka trigonometrinya tetap (tidak berubah). (menggunakan $180^\circ \,$ dan $360^\circ$).

Contoh :
2). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari :
a). $\sin 120^\circ$
b). $\cos 150^\circ$
c). $\tan 135^\circ$
d). $\tan 210^\circ$
e). $\cos 210^\circ$

f). $\sin 300^\circ$
g). $\cos 330^\circ$
Penyelesaian :
a). Kuadran II : $\sin 120^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\sin 120^\circ = \sin (90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

b). Kuadran II : $\cos 150^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 150^\circ = \cos (90^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$

c). Kuadran II : $\tan 135^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\tan 135^\circ = \tan (90^\circ + 45^\circ) = -\cot 45^\circ = - \frac{1}{\tan 45^\circ } = -\frac{1}{1} = -1$
Cara II : $\tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

d). Kuadran III : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\tan 210^\circ = \tan (180^\circ + 30^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3}$
Cara II : $\tan 210^\circ = \tan (270^\circ - 60^\circ) = \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ } = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

e). Kuadran III : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$

f). Kuadran IV : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\sin 300^\circ = \sin (270^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$

g). Kuadran IV : $\cos 330^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 330^\circ = \cos (270^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

3). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari
a). $\sin 360^\circ$
b). $\cos 420^\circ$
c). $\tan 510^\circ$
d). $\sin 1290^\circ$
Penyelesaian :
a). $\sin 360^\circ = \sin (360^\circ + 0^\circ ) = \sin 0^\circ = 0$
b). $\cos 420^\circ = \cos (360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
c). $\tan 510^\circ = \tan (360^\circ + 150^\circ) = \tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = - \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3}$
d). $\sin 1290^\circ = \sin (3\times 360^\circ + 210^\circ) = \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Catatan :
Untuk nilai negatif atau psositif, bergantung dari sudut awal pada soal, terletak pada kuadran berapa. Misalkan, nilai $\cos 210^\circ \,$, sudut $210^\circ \,$ ada pada kuadran III sehingga nilai cos nya negatif, sehingga bentuk sederhananya ditambahkan negatif. perhatikan perhitungan berikut,
Cara I : $\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ \,$ , bentuk sederhananya $\cos 210^\circ = \cos 30^\circ \,$ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$\cos 210^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Cara II : $\cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \,$ , bentuk sederhananya $\cos 210^\circ = \sin 60^\circ \,$ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$\cos 210^\circ = - \sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Sudut Komplemen pada Kuadran I

       Sudut komplemen maksudnya sudut yang jumlahnya $90^\circ \,$ pada kuadran I. Berikut bentuk-bentuk perbandingan trigonometri sudut-sudut komplemen :
$\sin \theta = \cos (90^\circ - \theta)$
$\cos \theta = \sin (90^\circ - \theta)$
$\tan \theta = \cot (90^\circ - \theta)$
$\cot \theta = \tan (90^\circ - \theta)$
$\sec \theta = \csc (90^\circ - \theta)$
$\csc \theta = \sec (90^\circ - \theta)$

Pada sudut komplemen, terjadi perubahan trigonometri yaitu :
sin berubah menjadi cos (dan sebalikny)
tan berubah menjadi cot (dan sebalikny)
sec berubah menjadi csc (dan sebalikny)

Contoh :
4). Tentukan perbandingan trigonometri sudut komplemen dari bentuk berikut :
a). $\sin 30^\circ$
b). $\cot 60^\circ$
c). $\cos 35^\circ$
Penyelesaian :
a). $\sin 30^\circ = \cos ( 90^\circ - 30^\circ ) = \cos 60^\circ$
artinya nilai $\sin 30^\circ \,$ sama dengan $\cos 60^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$
b). $\cot 60^\circ = \tan ( 90^\circ - 60^\circ ) = \tan 30^\circ$
artinya nilai $\cot 60^\circ \,$ sama dengan $\tan 30^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$
c). $\cos 35^\circ = \sin ( 90^\circ - 35^\circ ) = \sin 55^\circ$
artinya nilai $\cos 35^\circ \,$ sama dengan $\sin 55^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$

5). Tentukan nilai $\sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ$ ?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas trigonometri : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$
*). Gunakan sudut komplemen :
$\sin 25^\circ = \cos ( 90^\circ - 25^\circ ) = \cos 65^\circ$
Sehingga : $\sin ^2 25^\circ = \cos ^2 65^\circ$
$\sin 40^\circ = \cos ( 90^\circ - 40^\circ ) = \cos 50^\circ$
Sehingga : $\sin ^2 40^\circ = \cos ^2 50^\circ$
*). Menentukan hasilnya :
$\begin{align} & \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = \cos ^2 65^\circ + \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = ( \cos ^2 65^\circ + \sin ^2 65^\circ) + ( \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ ) \\ & = ( 1 ) + ( 1 ) \\ & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $\sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ = 2$ .

Nilai fungsi trigonometri untuk seudut negatif

       Berikut nilai fungsi trigonometri untuk sudut negatif :
$\sin (- \alpha ) = - \sin \alpha$
$\cos (- \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (- \alpha ) = - \tan \alpha$
$\sec (- \alpha ) = \sec \alpha$
$\csc (- \alpha ) = - \csc \alpha$
$\cot (- \alpha ) = - \cot \alpha$

Contoh :
Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :
a). $\sin (- 30^\circ )$
b). $\cos (- 60^\circ )$
c). $\sin (- 210^\circ )$
d). $\cos (- 210^\circ )$
Penyelesaian :
a). $\sin (- 30^\circ ) = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2}$
b). $\cos (- 60^\circ ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
c). $\sin (- 210^\circ ) = - \sin 210^\circ = - \sin (180^\circ + 30^\circ) = -[-\sin 30^\circ] = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
d). $\cos (- 210^\circ ) = \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Tags : trigonometri

ShareShare on Facebook

TweetShare on Twitter

Postingan Terkait :

• Rumus Penjumlahan Pengurangan dan Perkalian Trigonometri
• Contoh Soal dan Pembahasan Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
• Rumus Trigonometri Sudut Ganda
• Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut
• Contoh Soal Pembuktian Trigonometri