Fungsi merupakan salah satu materi penting yang harus dipelajari dalam matematika. Ada banyak sekali macam-macam fungsi, diantaranya fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, dan lainnya. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang fungsi secara umum. Sebelum mempelajari fungsi, kita harus menguasai materi relasi dulu, silahkan baca artikel "Relasi".
Contoh :
1). Perhatikan relasi-relasi berikut. Tentukan manankah yang merupakan fungsi?
Penyelesaian :
Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan Q.
Sehingga relasi yang merupakan fungsi adalah relasi 1, relasi 2, relasi 4 dan relasi 6.
2). Diketahui fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan rumus fungsi $ f(x) = x^2 - 2 $
a). Hitunglah nilai $ f(1), \, f(0), \, f(-2), \, f(-3), \, f(3) $
b). Jika $ f(a) = 2, \, $ maka tentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi.
c). Jika daerah asal fungsi tersebut adalah $ D_f = \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ tentukan daerah hasilnya.
Penyelesaian :
a). Langsung substitusi ke fungsinya, diperoleh
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 2 \\ f(1) & = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\ f(0) & = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \\ f(-2) & = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ f(-3) & = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \\ f(3) & = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \end{align} $
b). Menentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi $ f(a) = 2 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 - 2 \\ f(a) & = 2 \\ a^2 - 2 & = 2 \\ a^2 & = 2 + 2 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ atau $ a = -2 $
c). Daerah hasil dari fungsi $ y = f(x) = x^2 -2 \, $ dengan daerah asal
$ D_f = \{x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ adalah $ R_f = \{ y | -2 \leq y \leq 7 \} , \, y \in R \}, \, $ hasil ini diperoleh dari bagian a) sebelumnya.
3). Diketahui fungsi $ f : x \rightarrow f(x) $ dengan rumus fungsi $ f(x) = px - q$. Jika $f(1) = -3 $ dan $ f(4) = 3$, tentukanlah nilai $p$ dan $q$ kemudian tuliskanlah rumus fungsinya.
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan dalam bentuk $ p \, $ dan $ q \, $ dari $ f(x) = px - q $
$ f(1) = p.1 - q = p-q \rightarrow f(1) = -3 \rightarrow p-q = -3 \, $ ...pers(i)
$ f(4) = p.4 - q = 4p-q \rightarrow f(4) = 3 \rightarrow 4p-q = 3 \, $ ...pers(ii)
*). ELiminasi pers(i) dan (ii)
$ \begin{array}{c} 4p-q = 3 & \\ p-q = -3 & - \\ \hline 3p = 6 & \\ p = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = -3 \rightarrow 2 - q = -3 \rightarrow q = 5 $
Sehingga diperoleh nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = 5 $
Dari nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dan $ f(x) = px - q \, $
fungsinya menjadi : $ f(x) = px - q = 2x - 5 $
Jadi rumus fungsinya adalah $ f(x) = 2x - 5 $
4). Diketahui fungsi $f$ dengan rumus $f(x) = \sqrt{2x + 6} $ . Tentukanlah domain fungsi $f$ agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real.
Penyelesaian :
Domain fungsi $f$ memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila dalam akar nilainya positif.
$ \begin{align} 2x + 6 & \geq 0 \\ 2x & \geq -6 \\ x & \geq \frac{-6}{2} \\ x & \geq -3 \end{align} $
Jadi, domain fungsi $ f \, $ adalah $ D_f =\{x | x \geq -3 , \, x \in R \} $
5). Diketahui $f$ suatu fungsi $f : x \rightarrow f(x)$. Jika 1 berpasangan dengan 4 dan $f(x+1) = 2f(x)$. Tentukan pasangan $x = 4$?
Penyelesaian :
*). Diketahui 1 berpasangan dengan 4, artinya $ f(1) = 4 $
*). Menentukan nilai $ f(4) \, $ dari $ f(1) = 4 \, $ dan $f(x+1) = 2f(x)$
Substitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ f(x+1) = 2f(x) \, $ dan gunakan $ f(1) = 4 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(1+1) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2 \times 4 = 8 \\ x=2 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(2+1) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2 \times 8 = 16 \\ x=3 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(3+1) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2 \times 16 = 32 \end{align} $
Karena nilai $ f(4) = 32 \, $, maka pasangan $ x = 4 \, $ adalah 32.
6). Diketahui $f$ sebuah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$ dengan rumus $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, x \neq 3 . \, $ Tentukan rumus fungsi jika $g$ memetakan $y$ ke $x$.
Penyelesaian :
*). Fungsi $g $ memetakan $y$ ke $x$ dari fungsi $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, $ artinya kita harus mengubah dalam bentuk $ x = .... $
$ \begin{align} y & = \frac{x+2}{2x-6} \\ y(2x-6) & = x+2 \\ 2xy - 6y & = x+ 2 \\ 2xy - x & = 6y + 2 \\ x(2y -1) & = 6y + 2 \\ x & = \frac{6y+2}{2y-1} \end{align} $
Diperoleh fungsi $ g \, $ memetakan $ y $ ke $ x $ : $ g(y) = \frac{6y+2}{2y-1}, \, y \neq \frac{1}{2} $
Catatan : Jika diketahui fungsi $f$ memetakan $ x \, $ ke $ y \, $, dan kita mencari bentuk fungsi $g$ memetakan $ y \, $ ke $ x \, $ (kebalikan dari fungsi awal), fungsi $ g $ ini disebut fungsi invers dari fungsi $ f $ yang disimbolkan $ f^{-1} (x)$ .
Contoh
1). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi injektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi injektif, karena setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi injektif, karena ada domain memiliki pasangan yang sama pada kodomain yaitu 2 dan 3 sama-sama dipasangkan ke r.
2). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi surjektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi surjektif, karena daerah hasilnya sama dengan kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi surjektif tetapi merupakan fungsi into, karena daerah hasilnya tidak sama dengan kodomain.
3). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ , kita cek apakah termasuk fungsi injektif, surjektif, atau keduanya.
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi injektif karena setiap domain yang berbeda memiliki pasangan yang berbeda. Misal, $ x_1 = -1 \rightarrow f(-1) = 4(-1) = -4 \, $ dan $ x_2 = 1 \rightarrow f(1) = 4.1 = 4 \, $ ini artinya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi surjektif karena daerah hasilnya sama dengan kodomainnya yaitu bilangan real.
*). Karena fungsi $ f(x) = 4x \, $ memenuhi fungsi injektif dan surjektif, maka fungsi $f \, $ merupakan fungsi bijektif.
4). Apakah fungsi $ g(x) = x^2 \, $ merupakan fungsi bijektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ g(x) = x^2 \, $ bukan merupakan fungsi injektif karena ada anggota domain yang berbenda memberikan hasil yang sama pada kodomain. Misalnya : $ x_1 = -2 \rightarrow g(-2)= (-2)^2 = 4 \, $ dan $ x_2 = 2 \rightarrow g(2) = 2^2 = 4 , \, $ aritnya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ .
Karena fungsi $ g \, $ bukan fungsi injektif, secara otomatis fungsi $ g \, $ juga bukan fungsi bijektif.
5). Tunjukkan bahwa $f $ adalah bukan fungsi surjektif dan fungsi $ g $ adalah fungsi surjektif!
a). $ f : R \rightarrow R \, $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $
b). $ g : R \rightarrow R \, $ dengan $ g(x) = x^3 $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ f $ bukan fungsi surjektif karena terdapat $ -1 \in R \, $ tetapi tidak ada $ x \in R \, $ sehingga $ f(x) = -1 $ , artinya tidak semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain), misalnya $ -1 $ di daerah kawan dan tidak ada pasangannya di daerah asalnya (tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan fungsi $ f $ menghasilkan -1).
b). Jika diambil $ y \in R $ , maka terdapat $ x = y^\frac{1}{3} \in R \, $ sehingga $ g(x) = \left( y^\frac{1}{3} \right)^3 = y . $ Jadi, $ g $ adalah fungsi surjektif.
6). Berikut contoh fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu !
a). Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu ntara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka.
b). Setiap negara mempunyai satu ibu kota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibu kota negara.
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = x + 3 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 - 9 \, $ . Tentukan fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a). $ (f+g)(x) \, \, $ b). $ (f-g)(x) \, \, $ c). $(f \times g)(x) \, \, $ d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
Penyelesaian :
*). Daerah asal fungsi $ f(x) = x+3 \, $ adalah $ D_f = \{ x | x \in R \} \, $ dan daerah asal fungsi $ g(x) = x^2 - 9 \, $ adalah $ D_g = \{ x | x \in R \} $
a. Menentukan $ (f+g)(x) $
$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (x+3) + (x^2 - 9) \\ & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f + g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
b. Menentukan $ (f-g)(x) $
$\begin{align} (f-g)(x) & = f(x) - g(x) \\ & = (x+3) - (x^2 - 9) \\ & = -x^2 + x + 12 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f-g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f - g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
c. Menentukan $ (f\times g)(x) $
$\begin{align} (f\times g)(x) & = f(x) \times g(x) \\ & = (x+3) \times (x^2 - 9) \\ & = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f \times g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
d. Menentukan $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
$\begin{align} \left( \frac{f}{g} \right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ & = \frac{x+3}{x^2 - 9} \\ & = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \\ & = \frac{1}{x-3} , \, x \neq -3, \, x \neq 3 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x^2 - 9 \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, (x-3)(x+3) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -3, x \neq 3 \\ & = \{ x | x \in R, \, x \neq -3, x \neq 3 \} \end{align} $
2). Misalkan $ f(x) = x^2 \, $ dan $ g(x) = \sqrt{x+1}. \, $ Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
a). $ 4f \, \, \, $ b). $ f + g \, \, \, $ c). $ f g \, \, \, $ d). $ \frac{f}{g} $
Penyelesaian :
*) Menentukan daerah asal fungsi masing-masing.
fungsi $ f(x) = x^2 \, $ daerah asalnya $ D_f = \{ x | x \in R \} $
fungsi $ g(x) = \sqrt{x+1} \, $ daerah asalnya : nilai dalam akar harus positif sehingga $ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \, $ sehingga daerah asalnya $ D_g = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
*) Menentukan fungsi yang diminta
a). $ (4f)(x) = 4f(x) = 4 (x^2) = 4x^2 $
Daerah asalnya : $ D_{4f} = \{ x | x \in R \} $
b). $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
c). $ (fg)(x) = f(x) \times g(x) = (x^2).(\sqrt{x+1}) = x^2\sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{fg} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} $
Daerah asalnya : Nilai $ g(x) \neq 0 \, $ jika $ x \neq -1 $ , sehingga
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x > -1 , \, x \in R \} \end{align} $
Contoh :
Diketahui $f : R \rightarrow R$ dengan rumus $f(x) = 3$ dengan daerah domain: $\{x | -3 \leq x < 2\}$. Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi linear
Contoh :
Jika diketahui $f(x) = 2x + 3$, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi kuadrat
Contoh :
Fungsi pada $R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x$ untuk setiap $x$. a. Carilah $f(-2), f(0), f(1), f(3)$. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi tangga (bertingkat)
contoh :
Diketahui fungsi : $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1, & \text{ jika } x \leq -1 \\ 0, & \text{ jika } -1 < x \leq 2 \\ 2, & \text{ jika } 2 < x \leq 4 \\ 3, & \text{ jika } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukanlah :
a). $ f(-2) $
b). $ f(0) $
c). $ f(3) $
d). $ f(5) $
e). Gambar grafiknya
Penyelesaian :
Fungsi modulus (Mutlak)
$ f(x) = |x| \, $ artinya : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{ jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{ jika } x < 0 \end{array} \right. $
Grafiknya :
Fungsi ganjil dan fungsi genap
Contoh :
Tentukan fungsi $f$ di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
b). $ f(x) = 3 \cos x - 5 $
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
$ \begin{align} f(-x) & = 2(-x)^3 + (-x) \\ & = -2x^3 - x \\ & = -(2x^3 + x) \\ f(-x) & = -f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
b). $ f(x) = f(x) = 3 \cos x - 5 $
$ \begin{align} f(-x) & = 3 \cos (-x) - 5 \\ & = 3 \cos x - 5 \\ f(-x) & = f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi genap.
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
$ \begin{align} f(-x) & = (-x)^2 - 8(-x) \\ & = x^2 + 8x \end{align} $
Karena $ f(-x) \neq -f(x) \, $ dan $ f(-x) \neq f(x) $, fungsi $f(x)$ tidak genap atau tidak ganjil.
Pengertian Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).
Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.
Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).
Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.
Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).
Contoh :
1). Perhatikan relasi-relasi berikut. Tentukan manankah yang merupakan fungsi?
Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan Q.
Sehingga relasi yang merupakan fungsi adalah relasi 1, relasi 2, relasi 4 dan relasi 6.
2). Diketahui fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan rumus fungsi $ f(x) = x^2 - 2 $
a). Hitunglah nilai $ f(1), \, f(0), \, f(-2), \, f(-3), \, f(3) $
b). Jika $ f(a) = 2, \, $ maka tentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi.
c). Jika daerah asal fungsi tersebut adalah $ D_f = \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ tentukan daerah hasilnya.
Penyelesaian :
a). Langsung substitusi ke fungsinya, diperoleh
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 2 \\ f(1) & = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\ f(0) & = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \\ f(-2) & = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ f(-3) & = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \\ f(3) & = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \end{align} $
b). Menentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi $ f(a) = 2 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 - 2 \\ f(a) & = 2 \\ a^2 - 2 & = 2 \\ a^2 & = 2 + 2 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ atau $ a = -2 $
c). Daerah hasil dari fungsi $ y = f(x) = x^2 -2 \, $ dengan daerah asal
$ D_f = \{x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ adalah $ R_f = \{ y | -2 \leq y \leq 7 \} , \, y \in R \}, \, $ hasil ini diperoleh dari bagian a) sebelumnya.
3). Diketahui fungsi $ f : x \rightarrow f(x) $ dengan rumus fungsi $ f(x) = px - q$. Jika $f(1) = -3 $ dan $ f(4) = 3$, tentukanlah nilai $p$ dan $q$ kemudian tuliskanlah rumus fungsinya.
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan dalam bentuk $ p \, $ dan $ q \, $ dari $ f(x) = px - q $
$ f(1) = p.1 - q = p-q \rightarrow f(1) = -3 \rightarrow p-q = -3 \, $ ...pers(i)
$ f(4) = p.4 - q = 4p-q \rightarrow f(4) = 3 \rightarrow 4p-q = 3 \, $ ...pers(ii)
*). ELiminasi pers(i) dan (ii)
$ \begin{array}{c} 4p-q = 3 & \\ p-q = -3 & - \\ \hline 3p = 6 & \\ p = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = -3 \rightarrow 2 - q = -3 \rightarrow q = 5 $
Sehingga diperoleh nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = 5 $
Dari nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dan $ f(x) = px - q \, $
fungsinya menjadi : $ f(x) = px - q = 2x - 5 $
Jadi rumus fungsinya adalah $ f(x) = 2x - 5 $
4). Diketahui fungsi $f$ dengan rumus $f(x) = \sqrt{2x + 6} $ . Tentukanlah domain fungsi $f$ agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real.
Penyelesaian :
Domain fungsi $f$ memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila dalam akar nilainya positif.
$ \begin{align} 2x + 6 & \geq 0 \\ 2x & \geq -6 \\ x & \geq \frac{-6}{2} \\ x & \geq -3 \end{align} $
Jadi, domain fungsi $ f \, $ adalah $ D_f =\{x | x \geq -3 , \, x \in R \} $
5). Diketahui $f$ suatu fungsi $f : x \rightarrow f(x)$. Jika 1 berpasangan dengan 4 dan $f(x+1) = 2f(x)$. Tentukan pasangan $x = 4$?
Penyelesaian :
*). Diketahui 1 berpasangan dengan 4, artinya $ f(1) = 4 $
*). Menentukan nilai $ f(4) \, $ dari $ f(1) = 4 \, $ dan $f(x+1) = 2f(x)$
Substitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ f(x+1) = 2f(x) \, $ dan gunakan $ f(1) = 4 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(1+1) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2 \times 4 = 8 \\ x=2 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(2+1) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2 \times 8 = 16 \\ x=3 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(3+1) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2 \times 16 = 32 \end{align} $
Karena nilai $ f(4) = 32 \, $, maka pasangan $ x = 4 \, $ adalah 32.
6). Diketahui $f$ sebuah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$ dengan rumus $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, x \neq 3 . \, $ Tentukan rumus fungsi jika $g$ memetakan $y$ ke $x$.
Penyelesaian :
*). Fungsi $g $ memetakan $y$ ke $x$ dari fungsi $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, $ artinya kita harus mengubah dalam bentuk $ x = .... $
$ \begin{align} y & = \frac{x+2}{2x-6} \\ y(2x-6) & = x+2 \\ 2xy - 6y & = x+ 2 \\ 2xy - x & = 6y + 2 \\ x(2y -1) & = 6y + 2 \\ x & = \frac{6y+2}{2y-1} \end{align} $
Diperoleh fungsi $ g \, $ memetakan $ y $ ke $ x $ : $ g(y) = \frac{6y+2}{2y-1}, \, y \neq \frac{1}{2} $
Catatan : Jika diketahui fungsi $f$ memetakan $ x \, $ ke $ y \, $, dan kita mencari bentuk fungsi $g$ memetakan $ y \, $ ke $ x \, $ (kebalikan dari fungsi awal), fungsi $ g $ ini disebut fungsi invers dari fungsi $ f $ yang disimbolkan $ f^{-1} (x)$ .
Sifat - sifat Fungsi
Fungsi Injektif
Jika $f$ fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka $f$ disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Dapat ditulis untuk setiap domain $x_1$ dan $x_2 \, (x_1 \neq x_2) \, $ maka $ f(x_1) \neq f(x_2) $
Fungsi Surjektif
Secara umum, jika pada suatu fungsi $f$ dari A ke B daerah hasilnya $R_f = B \, $ maka fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada. Akan tetapi, jika $R_f \subset B$ maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi surjektif $f$ tetapi disebut fungsi into. Dengan kata lain, fungsi $f $ dari himpunan A ke himpunan B dikatakan surjektif jika daerah hasil dari $ f $ sama dengan daerah kawan (kodomain) artinya semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain).
Fungsi Bijektif atau Korespondensi satu-satu
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.
Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.
Contoh
1). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi injektif?
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi injektif, karena setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi injektif, karena ada domain memiliki pasangan yang sama pada kodomain yaitu 2 dan 3 sama-sama dipasangkan ke r.
2). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi surjektif?
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi surjektif, karena daerah hasilnya sama dengan kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi surjektif tetapi merupakan fungsi into, karena daerah hasilnya tidak sama dengan kodomain.
3). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ , kita cek apakah termasuk fungsi injektif, surjektif, atau keduanya.
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi injektif karena setiap domain yang berbeda memiliki pasangan yang berbeda. Misal, $ x_1 = -1 \rightarrow f(-1) = 4(-1) = -4 \, $ dan $ x_2 = 1 \rightarrow f(1) = 4.1 = 4 \, $ ini artinya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi surjektif karena daerah hasilnya sama dengan kodomainnya yaitu bilangan real.
*). Karena fungsi $ f(x) = 4x \, $ memenuhi fungsi injektif dan surjektif, maka fungsi $f \, $ merupakan fungsi bijektif.
4). Apakah fungsi $ g(x) = x^2 \, $ merupakan fungsi bijektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ g(x) = x^2 \, $ bukan merupakan fungsi injektif karena ada anggota domain yang berbenda memberikan hasil yang sama pada kodomain. Misalnya : $ x_1 = -2 \rightarrow g(-2)= (-2)^2 = 4 \, $ dan $ x_2 = 2 \rightarrow g(2) = 2^2 = 4 , \, $ aritnya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ .
Karena fungsi $ g \, $ bukan fungsi injektif, secara otomatis fungsi $ g \, $ juga bukan fungsi bijektif.
5). Tunjukkan bahwa $f $ adalah bukan fungsi surjektif dan fungsi $ g $ adalah fungsi surjektif!
a). $ f : R \rightarrow R \, $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $
b). $ g : R \rightarrow R \, $ dengan $ g(x) = x^3 $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ f $ bukan fungsi surjektif karena terdapat $ -1 \in R \, $ tetapi tidak ada $ x \in R \, $ sehingga $ f(x) = -1 $ , artinya tidak semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain), misalnya $ -1 $ di daerah kawan dan tidak ada pasangannya di daerah asalnya (tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan fungsi $ f $ menghasilkan -1).
b). Jika diambil $ y \in R $ , maka terdapat $ x = y^\frac{1}{3} \in R \, $ sehingga $ g(x) = \left( y^\frac{1}{3} \right)^3 = y . $ Jadi, $ g $ adalah fungsi surjektif.
6). Berikut contoh fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu !
a). Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu ntara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka.
b). Setiap negara mempunyai satu ibu kota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibu kota negara.
Operasi Aljabar pada Fungsi
Jika $f$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_f$ dan $g$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_g$ , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = x + 3 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 - 9 \, $ . Tentukan fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a). $ (f+g)(x) \, \, $ b). $ (f-g)(x) \, \, $ c). $(f \times g)(x) \, \, $ d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
Penyelesaian :
*). Daerah asal fungsi $ f(x) = x+3 \, $ adalah $ D_f = \{ x | x \in R \} \, $ dan daerah asal fungsi $ g(x) = x^2 - 9 \, $ adalah $ D_g = \{ x | x \in R \} $
a. Menentukan $ (f+g)(x) $
$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (x+3) + (x^2 - 9) \\ & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f + g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
b. Menentukan $ (f-g)(x) $
$\begin{align} (f-g)(x) & = f(x) - g(x) \\ & = (x+3) - (x^2 - 9) \\ & = -x^2 + x + 12 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f-g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f - g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
c. Menentukan $ (f\times g)(x) $
$\begin{align} (f\times g)(x) & = f(x) \times g(x) \\ & = (x+3) \times (x^2 - 9) \\ & = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f \times g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
d. Menentukan $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
$\begin{align} \left( \frac{f}{g} \right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ & = \frac{x+3}{x^2 - 9} \\ & = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \\ & = \frac{1}{x-3} , \, x \neq -3, \, x \neq 3 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x^2 - 9 \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, (x-3)(x+3) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -3, x \neq 3 \\ & = \{ x | x \in R, \, x \neq -3, x \neq 3 \} \end{align} $
2). Misalkan $ f(x) = x^2 \, $ dan $ g(x) = \sqrt{x+1}. \, $ Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
a). $ 4f \, \, \, $ b). $ f + g \, \, \, $ c). $ f g \, \, \, $ d). $ \frac{f}{g} $
Penyelesaian :
*) Menentukan daerah asal fungsi masing-masing.
fungsi $ f(x) = x^2 \, $ daerah asalnya $ D_f = \{ x | x \in R \} $
fungsi $ g(x) = \sqrt{x+1} \, $ daerah asalnya : nilai dalam akar harus positif sehingga $ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \, $ sehingga daerah asalnya $ D_g = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
*) Menentukan fungsi yang diminta
a). $ (4f)(x) = 4f(x) = 4 (x^2) = 4x^2 $
Daerah asalnya : $ D_{4f} = \{ x | x \in R \} $
b). $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
c). $ (fg)(x) = f(x) \times g(x) = (x^2).(\sqrt{x+1}) = x^2\sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{fg} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} $
Daerah asalnya : Nilai $ g(x) \neq 0 \, $ jika $ x \neq -1 $ , sehingga
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x > -1 , \, x \in R \} \end{align} $
Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi $ f : A \rightarrow B $ ditentukan dengan rumus $f(x)$ disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku $f(x) = C$, di mana $C$ bilangan konstan.
Contoh :
Diketahui $f : R \rightarrow R$ dengan rumus $f(x) = 3$ dengan daerah domain: $\{x | -3 \leq x < 2\}$. Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi linear
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax + b$, di mana $a \neq 0, \, a $ dan $b$ bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
Contoh :
Jika diketahui $f(x) = 2x + 3$, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a \neq 0 $ dan $a, b$, dan $c$ bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Untuk lebih lengkap mengenai materi fungsi kuadrat, silahkan langsung baca artikel "Fungsi Kuadrat"
Fungsi identitas
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku $f(x) = x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh $f(x) = x$.
Contoh :
Fungsi pada $R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x$ untuk setiap $x$. a. Carilah $f(-2), f(0), f(1), f(3)$. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi $f(x)$ berbentuk interval-interval yang sejajar.
contoh :
Diketahui fungsi : $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1, & \text{ jika } x \leq -1 \\ 0, & \text{ jika } -1 < x \leq 2 \\ 2, & \text{ jika } 2 < x \leq 4 \\ 3, & \text{ jika } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukanlah :
a). $ f(-2) $
b). $ f(0) $
c). $ f(3) $
d). $ f(5) $
e). Gambar grafiknya
Penyelesaian :
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $
$ f(x) = |x| \, $ artinya : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{ jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{ jika } x < 0 \end{array} \right. $
Grafiknya :
Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(-x) = -f(x)$ dan disebut fungsi genap apabila berlaku $f(-x) = f(x)$. Jika $f(-x) \neq -f(x)$ maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh :
Tentukan fungsi $f$ di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
b). $ f(x) = 3 \cos x - 5 $
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
$ \begin{align} f(-x) & = 2(-x)^3 + (-x) \\ & = -2x^3 - x \\ & = -(2x^3 + x) \\ f(-x) & = -f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
b). $ f(x) = f(x) = 3 \cos x - 5 $
$ \begin{align} f(-x) & = 3 \cos (-x) - 5 \\ & = 3 \cos x - 5 \\ f(-x) & = f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi genap.
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
$ \begin{align} f(-x) & = (-x)^2 - 8(-x) \\ & = x^2 + 8x \end{align} $
Karena $ f(-x) \neq -f(x) \, $ dan $ f(-x) \neq f(x) $, fungsi $f(x)$ tidak genap atau tidak ganjil.