Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Aturan Sinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :

$\begin{align} \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} \end{align} \,$ atau

$\, \begin{align} \frac{\sin \angle A }{a} = \frac{\sin \angle B}{b} = \frac{\sin \angle C}{c} \end{align}$

Pembuktian Rumus aturan sinus :

*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC,

$\sin A = \frac{CD}{AC} \rightarrow CD = AC \sin A \rightarrow CD_1 = b \sin A$
Segitiga BDC,

$\sin B = \frac{CD}{BC} \rightarrow CD = BC \sin B \rightarrow CD_2 = a \sin B$
Dari panjang CD,
diperoleh

$CD_1 = CD_2 \rightarrow b \sin A = a \sin B \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B}$
persamaan (i) :

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B}$

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB,

$\sin A = \frac{EB}{AB} \rightarrow EB = AB \sin A \rightarrow EB_1 = c \sin A$
Segitiga CEB,

$\sin C = \frac{EB}{CB} \rightarrow EB = CB \sin C \rightarrow EB_2 = a \sin C$
Dari panjang EB,
diperoleh

$EB_1 = EB_2 \rightarrow c \sin A = a \sin C \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C}$
persamaan (ii) :

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C}$

Dari pers(i) :

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B}$ dan pers(ii) :

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C}$
Diperoleh :

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C}$
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.

Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :

$\begin{align} \frac{AC}{\sin B} & = \frac{BC}{\sin A} \\ \frac{AC}{\sin 60^\circ} & = \frac{4}{\sin 45^\circ} \\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{AC}{\sqrt{3}} & = \frac{4}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{6} }{2} \\ AC & = 2 \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang

$AC = 2 \sqrt{6}$ .

2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.

Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut

$y^\circ$ :

$\begin{align} \frac{\sin C }{AB} & = \frac{\sin A}{BC} \\ \frac{\sin y^\circ }{8} & = \frac{\sin 45^\circ}{8\sqrt{2}} \\ \frac{\sin y^\circ }{1} & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \sin y^\circ & = \frac{1}{2} \\ y^\circ & = 30^\circ \end{align}$
*). Menentukan besarnya sudut

$x^\circ$

$\begin{align} \text{jumlah sudut segitiga ABC } & = 180^\circ \\ A + B + C & = 180^\circ \\ 45^\circ + x^\circ + 30^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 105^\circ \end{align}$
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus

$\begin{align} \frac{AC}{\sin B } & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\sin 30^\circ} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\frac{1}{2}} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = 16 \\ AC & = 16 \sin 105^\circ \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ AC & = 16 \times 0,9659 \\ AC & = 15,4548 \end{align}$
Jadi, panjang AC = 15,4548 .

Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :

$\begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \end{align}$

Pembuktian Rumus aturan Cosinus :

Panjang

$AD = x , \,$ maka panjang

$BD = c -x , \,$ dengan

$AB = c$ .
*). Perhatikan segitiga ADC,

$\cos A = \frac{AD}{AC} \rightarrow \cos A = \frac{x}{b} \rightarrow x = b \cos A \, \,$ ...pers(i)
Pythagoras :

$CD^2 = AC^2 - AD^2 \rightarrow CD^2 = b^2 - x^2 \,$ ....pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras :

$CD^2 = BC^2 - BD^2 \rightarrow CD^2 = a^2 - (c-x)^2 \,$ ....pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :

$\begin{align} CD^2 & = CD^2 \\ b^2 - x^2 & = a^2 - (c-x)^2 \\ b^2 - x^2 & = a^2 - (c^2 - 2cx + x^2) \\ b^2 - x^2 & = a^2 - c^2 + 2cx - x^2 \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2cx \, \, \, \, \, \text{[ substitusi pers(i) ]} \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2c. b \cos A \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \end{align}$
Diperoleh aturan cosinus pertama :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.

Contoh :
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :

Berdasarkan aturan cosinus sudut A :

$\begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 - 2.AC.AB. \cos A \\ BC^2 & = 5^2 + 8^2 - 2.5.8. \cos 60^\circ \\ BC^2 & = 25 + 64 - 80. \frac{1}{2} \\ BC^2 & = 89 - 40 \\ BC^2 & = 49 \\ BC & = \sqrt{49} \\ BC & = 7 \end{align}$
Jadi, panjang BC = 7.

4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!

Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, menentukan BC dengan aturan sinus

$\begin{align} \frac{BC}{\sin A} & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{BC}{\sin 60^\circ} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} \\ \frac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{BC}{\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{6} . \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{18} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2 . 3\sqrt{2} }{\sqrt{2}} \\ BC & = 6 \end{align}$
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, menentukan BD dengan aturan cosinus

$\begin{align} BD^2 & = BC^2 + DC^2 - 2.BC.DC. \cos \angle BCD \\ BD^2 & = 6^2 + 7^2 - 2.6.7. \cos 60^\circ \\ BD^2 & = 36 + 49 - 2.6.7. \frac{1}{2} \\ BD^2 & = 36 + 49 - 42 \\ BD^2 & = 43 \\ BD & = \sqrt{43} \end{align}$
Jadi, panjang

$BD = \sqrt{43}$

5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P

$\begin{align} QR^2 & = PR^2 + PQ^2 - 2.PR.PQ . \cos P \\ (2\sqrt{x+2})^2 & = (x-1)^2 + (x+1)^2 - 2.(x-1).(x+1) . \cos 60^\circ \\ 4(x+2) & = (x^2 -2x + 1) + (x^2+2x+1) - 2.(x^2 - 1) . \frac{1}{2} \\ 4x + 8 & = (2x^2+2) - (x^2 - 1) \\ x^2 -4x -5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 5 \end{align}$
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah

$x = 5$
Sehingga, panjang sisi-sisi segitiga adalah :

$x-1, \, x+1, \, 2\sqrt{x+2} \rightarrow 4, \, 6, \, 2\sqrt{7}$
Jadi, sisi-sisi segitiga adalah

$4, \, 6, \,$ dan

$\, 2\sqrt{7}$

Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya adalah :

Luas segitiga ABC

$\, = \frac{1}{2}.b.c. \sin A$
Luas segitiga ABC

$\, = \frac{1}{2}.a.c. \sin B$
Luas segitiga ABC

$\, = \frac{1}{2}.a.b. \sin C$
Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.

Pembuktian Rumus Luas segitiga

Perhatikan segitiga ADC :

$\sin A = \frac{t}{b} \rightarrow t = b \sin A$
Luas segitiga ABC :

$\begin{align} \text{ Luas segitiga ABC } & = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times c \times t \\ & = \frac{1}{2} \times c \times b \sin A \\ & = \frac{1}{2} c b \sin A \end{align}$
Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.

Contoh :
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!

Penyelesaian :

$\begin{align} \text{ Luas ABC } = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A = \frac{1}{2}.6.8 . \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.6.8 . \frac{1}{2} = 12 \end{align}$
Jadi, luas segitiga ABC adalah 12 satuan luas.

Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya

Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut.

Luas segitiga ABC adalah

$\begin{align} L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align}$
dengan

$s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2} \times \text{ (keliling segitiga ABC)}$

Pembuktian Rumus Heron :

*). Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut A

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \,$ ....pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran :

$P^2 - Q^2 = (P+Q)(P-Q)$
*). Identitas Trigonometri :

$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A$
*). Menentukan bentuk

$\sin A \,$ dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan :

$s = \frac{1}{2}(a+b+c)$

$\begin{align} \sin ^2 A & = 1 - \cos ^2 A \\ \sin ^2 A & = (1 - \cos A )(1 + \cos A ) \\ & = \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} \right) \\ & = \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{4b^2c^2} \\ & = \frac{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{4b^2c^2} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{ 4(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{2.2.2.2.b^2c^2} \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c-a}{2} \right) \left( \frac{a+c-b}{2} \right) \left( \frac{a+b-c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a - 2a}{2} \right) \left( \frac{a+c+b-2b}{2} \right) \left( \frac{a+b+c-2c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a}{2}-a \right) \left( \frac{a+c+b}{2} -b \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) \\ \sin ^2 A & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) \\ \sin A & = \sqrt{ \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) } \\ \sin A & = \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align}$
*). Luas segitiga ABC menggunakan sudut A :

$\begin{align} L & = \frac{1}{2}.AB.AC. \sin A \\ & = \frac{1}{2}.c.b. \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align}$
Jadi, terbukti luas segitiganya.

Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Menentukan nilai

$s$ :
diketahui nilai

$a = 6, \, b = 4, \, c = 8$

$s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2}(6 + 4 + 8 ) = 9$
*). Luas segitiga menggunakan rumus Heron.

$\begin{align} L & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ L & = \sqrt{ 9. (9-6)(9-4)(9-8) } \\ L & = \sqrt{ 9. 3.5.1 } \\ L & = 3\sqrt{ 15 } \end{align}$
Jadi, luas segitiga ABC adalah

$3\sqrt{ 15 } \,$ satuan luas.