Salah satu penerapan trigonometri adalah untuk menentukan luas segi empat tali busur yang akan dibahas pada artikel kali ini. Untuk memudahkan dalam mempelajarinya, sebaiknya kita baca dulu materi "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga", "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", dan "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku".
Pembuktian Rumus luas segi empat tali busurnya :
Misalkan panjang $ AB = a, \, BC = b, \, CD = c, \, AD = a $
*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^\circ $
$ B + D = 180^\circ \rightarrow D = 180^\circ - B $
Sehingga dengan sudut-sudut berelasi diperoleh :
$ \cos D = \cos (180^\circ - B) \rightarrow \cos D = - \cos B $
$ \sin D = \sin (180^\circ - B) \rightarrow \sin D = \sin B $
*). Aturan cosinus untuk menentukan panjang AC
Segitiga BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B $
Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $
*). Panjang AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC
$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
*). Identitas trigonometri : $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $
Misalkan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga :
$ \text{Luas BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $
$ \text{Luas DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Jadi, terbukti luas segi empat tali busurnya.
Contoh :
Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.
Tentukan luas segi empat ABCD tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan $ a = 1, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{1+2+3+4}{2} = 5 $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas segi empat tali busurnya adalah $ 2 \sqrt{6} $ .
Rumus Luas Segi Empat Tali Busur
Bangun segi empat tali busur adalah sebuah bangun datar yang memiliki empat sisi dimana keempat sisinya ada pada sebuah lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah $ 180^\circ $ . Untuk lebih jelas, perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.
Luas segi empat tali busur ABCD adalah :
$ \begin{align} L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
Misalkan panjang $ AB = a, \, BC = b, \, CD = c, \, AD = a $
*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^\circ $
$ B + D = 180^\circ \rightarrow D = 180^\circ - B $
Sehingga dengan sudut-sudut berelasi diperoleh :
$ \cos D = \cos (180^\circ - B) \rightarrow \cos D = - \cos B $
$ \sin D = \sin (180^\circ - B) \rightarrow \sin D = \sin B $
*). Aturan cosinus untuk menentukan panjang AC
Segitiga BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B $
Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $
*). Panjang AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC
$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
*). Identitas trigonometri : $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $
Misalkan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga :
$ \text{Luas BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $
$ \text{Luas DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Jadi, terbukti luas segi empat tali busurnya.
Contoh :
Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.
Penyelesaian :
Misalkan $ a = 1, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{1+2+3+4}{2} = 5 $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas segi empat tali busurnya adalah $ 2 \sqrt{6} $ .