-->

Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut

         Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut digunakan untuk menentukan nilai trigonometri dengan sudut yaang tidak istimewa. Mialkan, nilai sin75 dapat ditentukan dengan memecah sudutnya menjadi sin(45+30) . contoh yang lain adalah nilai cos15 dapat dipecah menjadi cos(4530) . Untuk memudahkan memahami materi rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, silahkan baca dulu materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", "Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri", "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "jarak antara dua titik".

Rumus Trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus adalah :
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβcos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Pembuktian rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Untuk membuktikan rumus cosinus, ada dua cara yaitu :

Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,


Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r. Dari gambar tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA=r dan koordinat titik-titik kutubnya yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D, adalah A(r,0),B(rcosα,rsinα),C(rcos(α+β),rsin(α+β)) , dan D(rcosβ,rsinβ).
Konsep jarak (AB) dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) :
AB=(x2x1)2+(y2y1)2AB2=(x2x1)2+(y2y1)2
Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
Jarak AC : A(r,0) dan C(rcos(α+β),rsin(α+β))
AC2=[rcos(α+β)r]2+[rsin(α+β)0]2=[rcos(α+β)r]2+[rsin(α+β)0]2=r2cos2(α+β)2r2cos(α+β)+r2+r2sin2(α+β)=r2[cos2(α+β)+sin2(α+β)]2r2cos(α+β)+r2=r2[1]2r2cos(α+β)+r2AC2=2r22r2cos(α+β)
Jarak DB : D(rcosβ,rsinβ) dan B(rcosα,rsinα)
DB2=[rcosαrcosβ]2+[rsinα(rsinβ)]2=[rcosαrcosβ]2+[rsinα+rsinβ]2=(r2cos2α2r2cosαcosβ+r2cos2β)+(r2sin2α+2r2sinαsinβ+r2sin2β)=r2(cos2α+sin2α)+r2(cos2β+sin2β)2r2(cosαcosβsinαsinβ)=r2(1)+r2(1)2r2(cosαcosβsinαsinβ)DB2=2r22r2(cosαcosβsinαsinβ)
Panjang AC sama dengan panjang DB
AC=DBAC2=DB22r22r2cos(α+β)=2r22r2(cosαcosβsinαsinβ)cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
Sehingga Terbukti : cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

Membuktikan rumus cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Konsep sudut negatif : sin(A)=sinA dan cos(A)=cosA
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
cos(αβ)=cos(α+(β))=cosαcos(β)sinαsin(β)=cosαcosβsinα.(sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Sehingga terbukti : cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ

Cara II : Menggunakan aturan cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar, lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat lingkaran O. Titik koordinat kutubnya adalah titik P dan titik Q yaitu P(cosa,sina) dan Q(cosb,sinb) serta PO = QO = 1.
Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
Jarak titik P dan Q :
PQ2=(x2x1)2+(y2y1)2PQ2=(cosacosb)2+(sinasinb)2=(cos2a2cosacosb+cos2a)+(sin2a2sinasinb+sin2a)=(sin2a+cos2a)+(sin2b+cos2b)2(cosacosb+sinasinb)=(1)+(1)2(cosacosb+sinasinb)PQ2=22(cosacosb+sinasinb)
Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga PQ2=22(cosacosb+sinasinb)
PQ2=PO2+QO22.PO.QO.cos(ab)PQ2=12+122.1.1.cos(ab)22cos(ab)=PQ2(substitusi PQ2)22cos(ab)=22(cosacosb+sinasinb)cos(ab)=cosacosb+sinasinb
sehingga terbukti : cos(ab)=cosacosb+sinasinb

Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). cos75
b). cos15
c). cos105
Penyelesaian :
a). Nilai cos75
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosbsinasinb
cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30=122.123122.12=142(1231)
Sehingga nilai cos75=142(31)

b). Nilai cos15
Gunakan rumus : cos(ab)=cosacosb+sinasinb
cos15=cos(4530)=cos45cos30+sin45sin30=122.123+122.12=142(123+1)
Sehingga nilai cos15=142(3+1)

c). Nilai cos105
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosbsinasinb
cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45=12.122123.122=142(13)
Sehingga nilai cos105=142(13)

Rumus Trigonometri sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus adalah :
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
Pembuktian rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut komplemen pada materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi" .
Sudut komplemen : sinA=cos(90A) dan cosA=sin(90A)
*). Menenrapkan sudut komplemen dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
sin(α+β)=cos[90(α+β)]=cos[90αβ]=cos[(90α)β]=cos(90α)cosβ+sin(90α)sinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

*). Pembuktian rumus sinus : sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
sin(αβ)=sin(α+(β))=sinαcos(β)+cosαsin(β)=sinαcosβ+cosα.(sinβ)sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ

Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). sin75
b). sin15
penyelesaian :
a). Nilai sin75
gunakan rumus : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=122.123+122.12=142(3+1)
Sehingga nilai sin75=142(3+1)

b). Nilai sin15
gunakan rumus : sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
sin15=sin(4530)=sin45cos30cos45sin30=122.123122.12=142(31)
Sehingga nilai sin15=142(31)

Rumus Trigonometri Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk Tan adalah :
tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβtan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ
Pembuktian rumus Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan tanA=sinAcosA
tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ.1cosαcosβ1cosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=sinαcosα+sinβcosβ1sinαcosαsinβcosβtan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ

*). Pembuktian rumus : tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ
*). sudut negatif : tan(A)=tanA
tan(αβ)=tan(α+(β))=tanα+tan(β)1tanαtan(β)=tanαtanβ1tanα.(tanβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ

Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). tan75
b). tan15
Penyelesaian :
a). tan75
gunakan : tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ
tan75=tan(45+30)=tan45+tan301tan45tan30=1+13311.133=1+1331133.33=3+333=3+333.3+33+3=9+63+393=12+636tan75=2+3
Jadi, nilai tan75=2+3

b). tan15
gunakan : tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ
tan15=tan(4530)=tan45tan301+tan45tan30=11331+1.133=11331+133.33=333+3=333+3.3333=963+393=12636tan15=23
Jadi, nilai tan15=23

4). Jika diketahui sin5=x , tentukan nilai dari :
a). sin50
b). cos65
c). tan25
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cos5 dan tan5
Diketahui sin5=xsin5=demi=x1
artinya sisi depan adalah x dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping adalah 1x2 .
sehingga nilai : cos5=sami=1x21=1x2 dan tan5=desa=x1x2
a). Nilai sin50
sin50=sin(45+5)=sin45cos5+cos45sin5=122.1x2+122.x=122(1x2+x)
jadi, nilai sin50=122(1x2+x)

b). Nilai cos65
cos65=cos(60+5)=cos60cos5sin60sin5=12.1x2123.x=12(1x23x)
jadi, nilai cos65=12(1x23x)

c). Nilai tan25
tan25=tan(305)=tan30tan51+tan30tan5=133x1x21+133.x1x2=133x1x21+133x1x2.33=33x1x23+3x1x2
jadi, nilai tan25=33x1x23+3x1x2