Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut digunakan untuk menentukan nilai trigonometri dengan sudut yaang tidak istimewa. Mialkan, nilai sin75∘ dapat ditentukan dengan memecah sudutnya menjadi sin(45∘+30∘) . contoh yang lain adalah nilai cos15∘ dapat dipecah menjadi cos(45∘−30∘) . Untuk memudahkan memahami materi rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, silahkan baca dulu materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", "Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri", "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "jarak antara dua titik".
Pembuktian rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Untuk membuktikan rumus cosinus, ada dua cara yaitu :
Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,
♣ Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r. Dari gambar tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA=r dan koordinat titik-titik kutubnya yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D, adalah A(r,0),B(rcosα,rsinα),C(rcos(α+β),rsin(α+β)) , dan D(rcosβ,−rsinβ).
♣ Konsep jarak (AB) dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) :
AB=√(x2−x1)2+(y2−y1)2AB2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
♣ Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
♣ Jarak AC : A(r,0) dan C(rcos(α+β),rsin(α+β))
AC2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=r2cos2(α+β)−2r2cos(α+β)+r2+r2sin2(α+β)=r2[cos2(α+β)+sin2(α+β)]−2r2cos(α+β)+r2=r2[1]−2r2cos(α+β)+r2AC2=2r2−2r2cos(α+β)
♣ Jarak DB : D(rcosβ,−rsinβ) dan B(rcosα,rsinα)
DB2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα−(−rsinβ)]2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα+rsinβ]2=(r2cos2α−2r2cosαcosβ+r2cos2β)+(r2sin2α+2r2sinαsinβ+r2sin2β)=r2(cos2α+sin2α)+r2(cos2β+sin2β)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)=r2(1)+r2(1)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)DB2=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)
♣ Panjang AC sama dengan panjang DB
AC=DBAC2=DB22r2−2r2cos(α+β)=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
Sehingga Terbukti : cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
♣ Membuktikan rumus cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Konsep sudut negatif : sin(−A)=−sinA dan cos(−A)=cosA
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cos(α+(−β))=cosαcos(−β)−sinαsin(−β)=cosαcosβ−sinα.(−sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Sehingga terbukti : cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cara II : Menggunakan aturan cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar, lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat lingkaran O. Titik koordinat kutubnya adalah titik P dan titik Q yaitu P(cosa,sina) dan Q(cosb,sinb) serta PO = QO = 1.
♠ Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
♠ Jarak titik P dan Q :
PQ2=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ2=(cosa−cosb)2+(sina−sinb)2=(cos2a−2cosacosb+cos2a)+(sin2a−2sinasinb+sin2a)=(sin2a+cos2a)+(sin2b+cos2b)−2(cosacosb+sinasinb)=(1)+(1)−2(cosacosb+sinasinb)PQ2=2−2(cosacosb+sinasinb)
♠ Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga PQ2=2−2(cosacosb+sinasinb)
PQ2=PO2+QO2−2.PO.QO.cos(a−b)PQ2=12+12−2.1.1.cos(a−b)2−2cos(a−b)=PQ2(substitusi PQ2)2−2cos(a−b)=2−2(cosacosb+sinasinb)cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
sehingga terbukti : cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). cos75∘
b). cos15∘
c). cos105∘
Penyelesaian :
a). Nilai cos75∘
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
cos75∘=cos(45∘+30∘)=cos45∘cos30∘−sin45∘sin30∘=12√2.12√3−12√2.12=14√2(12√3−1)
Sehingga nilai cos75∘=14√2(√3−1)
b). Nilai cos15∘
Gunakan rumus : cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘−+sin45∘sin30∘=12√2.12√3+12√2.12=14√2(12√3+1)
Sehingga nilai cos15∘=14√2(√3+1)
c). Nilai cos105∘
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
cos105∘=cos(60∘+45∘)=cos60∘cos45∘−sin60∘sin45∘=12.12√2−12√3.12√2=14√2(1−√3)
Rumus Trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus adalah :
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Untuk membuktikan rumus cosinus, ada dua cara yaitu :
Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,
♣ Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r. Dari gambar tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA=r dan koordinat titik-titik kutubnya yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D, adalah A(r,0),B(rcosα,rsinα),C(rcos(α+β),rsin(α+β)) , dan D(rcosβ,−rsinβ).
♣ Konsep jarak (AB) dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) :
AB=√(x2−x1)2+(y2−y1)2AB2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
♣ Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
♣ Jarak AC : A(r,0) dan C(rcos(α+β),rsin(α+β))
AC2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=[rcos(α+β)−r]2+[rsin(α+β)−0]2=r2cos2(α+β)−2r2cos(α+β)+r2+r2sin2(α+β)=r2[cos2(α+β)+sin2(α+β)]−2r2cos(α+β)+r2=r2[1]−2r2cos(α+β)+r2AC2=2r2−2r2cos(α+β)
♣ Jarak DB : D(rcosβ,−rsinβ) dan B(rcosα,rsinα)
DB2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα−(−rsinβ)]2=[rcosα−rcosβ]2+[rsinα+rsinβ]2=(r2cos2α−2r2cosαcosβ+r2cos2β)+(r2sin2α+2r2sinαsinβ+r2sin2β)=r2(cos2α+sin2α)+r2(cos2β+sin2β)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)=r2(1)+r2(1)−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)DB2=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)
♣ Panjang AC sama dengan panjang DB
AC=DBAC2=DB22r2−2r2cos(α+β)=2r2−2r2(cosαcosβ−sinαsinβ)cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
Sehingga Terbukti : cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
♣ Membuktikan rumus cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Konsep sudut negatif : sin(−A)=−sinA dan cos(−A)=cosA
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cos(α+(−β))=cosαcos(−β)−sinαsin(−β)=cosαcosβ−sinα.(−sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
Sehingga terbukti : cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cara II : Menggunakan aturan cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar, lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat lingkaran O. Titik koordinat kutubnya adalah titik P dan titik Q yaitu P(cosa,sina) dan Q(cosb,sinb) serta PO = QO = 1.
♠ Identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1
♠ Jarak titik P dan Q :
PQ2=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ2=(cosa−cosb)2+(sina−sinb)2=(cos2a−2cosacosb+cos2a)+(sin2a−2sinasinb+sin2a)=(sin2a+cos2a)+(sin2b+cos2b)−2(cosacosb+sinasinb)=(1)+(1)−2(cosacosb+sinasinb)PQ2=2−2(cosacosb+sinasinb)
♠ Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga PQ2=2−2(cosacosb+sinasinb)
PQ2=PO2+QO2−2.PO.QO.cos(a−b)PQ2=12+12−2.1.1.cos(a−b)2−2cos(a−b)=PQ2(substitusi PQ2)2−2cos(a−b)=2−2(cosacosb+sinasinb)cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
sehingga terbukti : cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). cos75∘
b). cos15∘
c). cos105∘
Penyelesaian :
a). Nilai cos75∘
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
cos75∘=cos(45∘+30∘)=cos45∘cos30∘−sin45∘sin30∘=12√2.12√3−12√2.12=14√2(12√3−1)
Sehingga nilai cos75∘=14√2(√3−1)
b). Nilai cos15∘
Gunakan rumus : cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘−+sin45∘sin30∘=12√2.12√3+12√2.12=14√2(12√3+1)
Sehingga nilai cos15∘=14√2(√3+1)
c). Nilai cos105∘
Gunakan rumus : cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
cos105∘=cos(60∘+45∘)=cos60∘cos45∘−sin60∘sin45∘=12.12√2−12√3.12√2=14√2(1−√3)
Sehingga nilai cos105∘=14√2(1−√3)
Pembuktian rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut komplemen pada materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi" .
Sudut komplemen : sinA=cos(90∘−A) dan cosA=sin(90∘−A)
*). Menenrapkan sudut komplemen dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
sin(α+β)=cos[90∘−(α+β)]=cos[90∘−α−β]=cos[(90∘−α)−β]=cos(90∘−α)cosβ+sin(90∘−α)sinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
*). Pembuktian rumus sinus : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin(α−β)=sin(α+(−β))=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ+cosα.(−sinβ)sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). sin75∘
b). sin15∘
penyelesaian :
a). Nilai sin75∘
gunakan rumus : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=12√2.12√3+12√2.12=14√2(√3+1)
Sehingga nilai sin75∘=14√2(√3+1)
b). Nilai sin15∘
gunakan rumus : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=12√2.12√3−12√2.12=14√2(√3−1)
Sehingga nilai sin15∘=14√2(√3−1)
Pembuktian rumus Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan tanA=sinAcosA
tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ.1cosαcosβ1cosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ=sinαcosα+sinβcosβ1−sinαcosαsinβcosβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
*). Pembuktian rumus : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
*). sudut negatif : tan(−A)=−tanA
tan(α−β)=tan(α+(−β))=tanα+tan(−β)1−tanαtan(−β)=tanα−tanβ1−tanα.(−tanβ)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). tan75∘
b). tan15∘
Penyelesaian :
a). tan75∘
gunakan : tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
tan75∘=tan(45∘+30∘)=tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+13√31−1.13√3=1+13√31−13√3.33=3+√33−√3=3+√33−√3.3+√33+√3=9+6√3+39−3=12+6√36tan75∘=2+√3
Jadi, nilai tan75∘=2+√3
b). tan15∘
gunakan : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan45∘tan30∘=1−13√31+1.13√3=1−13√31+13√3.33=3−√33+√3=3−√33+√3.3−√33−√3=9−6√3+39−3=12−6√36tan15∘=2−√3
Jadi, nilai tan15∘=2−√3
4). Jika diketahui sin5∘=x , tentukan nilai dari :
a). sin50∘
b). cos65∘
c). tan25∘
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cos5∘ dan tan5∘
Diketahui sin5∘=x→sin5∘=demi=x1
artinya sisi depan adalah x dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping adalah √1−x2 .
sehingga nilai : cos5∘=sami=√1−x21=√1−x2 dan tan5∘=desa=x√1−x2
a). Nilai sin50∘
sin50∘=sin(45∘+5∘)=sin45∘cos5∘+cos45∘sin5∘=12√2.√1−x2+12√2.x=12√2(√1−x2+x)
jadi, nilai sin50∘=12√2(√1−x2+x)
b). Nilai cos65∘
cos65∘=cos(60∘+5∘)=cos60∘cos5∘−sin60∘sin5∘=12.√1−x2−12√3.x=12(√1−x2−√3x)
jadi, nilai cos65∘=12(√1−x2−√3x)
c). Nilai tan25∘
tan25∘=tan(30∘−5∘)=tan30∘−tan5∘1+tan30∘tan5∘=13√3−x√1−x21+13√3.x√1−x2=13√3−x√1−x21+13√3x√1−x2.33=√3−3x√1−x23+√3x√1−x2
jadi, nilai tan25∘=√3−3x√1−x23+√3x√1−x2
Rumus Trigonometri sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus adalah :
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut komplemen pada materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi" .
Sudut komplemen : sinA=cos(90∘−A) dan cosA=sin(90∘−A)
*). Menenrapkan sudut komplemen dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
sin(α+β)=cos[90∘−(α+β)]=cos[90∘−α−β]=cos[(90∘−α)−β]=cos(90∘−α)cosβ+sin(90∘−α)sinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
*). Pembuktian rumus sinus : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin(α−β)=sin(α+(−β))=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ+cosα.(−sinβ)sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Jadi, terbukti : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). sin75∘
b). sin15∘
penyelesaian :
a). Nilai sin75∘
gunakan rumus : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=12√2.12√3+12√2.12=14√2(√3+1)
Sehingga nilai sin75∘=14√2(√3+1)
b). Nilai sin15∘
gunakan rumus : sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=12√2.12√3−12√2.12=14√2(√3−1)
Sehingga nilai sin15∘=14√2(√3−1)
Rumus Trigonometri Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut
Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk Tan adalah :
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan tanA=sinAcosA
tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ.1cosαcosβ1cosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ=sinαcosα+sinβcosβ1−sinαcosαsinβcosβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
*). Pembuktian rumus : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
*). sudut negatif : tan(−A)=−tanA
tan(α−β)=tan(α+(−β))=tanα+tan(−β)1−tanαtan(−β)=tanα−tanβ1−tanα.(−tanβ)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
Sehingga terbukti : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). tan75∘
b). tan15∘
Penyelesaian :
a). tan75∘
gunakan : tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
tan75∘=tan(45∘+30∘)=tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+13√31−1.13√3=1+13√31−13√3.33=3+√33−√3=3+√33−√3.3+√33+√3=9+6√3+39−3=12+6√36tan75∘=2+√3
Jadi, nilai tan75∘=2+√3
b). tan15∘
gunakan : tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan45∘tan30∘=1−13√31+1.13√3=1−13√31+13√3.33=3−√33+√3=3−√33+√3.3−√33−√3=9−6√3+39−3=12−6√36tan15∘=2−√3
Jadi, nilai tan15∘=2−√3
4). Jika diketahui sin5∘=x , tentukan nilai dari :
a). sin50∘
b). cos65∘
c). tan25∘
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cos5∘ dan tan5∘
Diketahui sin5∘=x→sin5∘=demi=x1
artinya sisi depan adalah x dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping adalah √1−x2 .
sehingga nilai : cos5∘=sami=√1−x21=√1−x2 dan tan5∘=desa=x√1−x2
a). Nilai sin50∘
sin50∘=sin(45∘+5∘)=sin45∘cos5∘+cos45∘sin5∘=12√2.√1−x2+12√2.x=12√2(√1−x2+x)
jadi, nilai sin50∘=12√2(√1−x2+x)
b). Nilai cos65∘
cos65∘=cos(60∘+5∘)=cos60∘cos5∘−sin60∘sin5∘=12.√1−x2−12√3.x=12(√1−x2−√3x)
jadi, nilai cos65∘=12(√1−x2−√3x)
c). Nilai tan25∘
tan25∘=tan(30∘−5∘)=tan30∘−tan5∘1+tan30∘tan5∘=13√3−x√1−x21+13√3.x√1−x2=13√3−x√1−x21+13√3x√1−x2.33=√3−3x√1−x23+√3x√1−x2
jadi, nilai tan25∘=√3−3x√1−x23+√3x√1−x2