Jika ditinjau dari besarnya sudut, maka akan kita peroleh empat kuadran. Dari setiap kuadran yang ada, ternyata nilai perbandingan trigonometrinya berbeda tandanya (ada yang positif atau negatif). Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas materi Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran. Untuk memudahkan mempelajarinya, sebaiknya pelajari dulu materi "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" dan "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".
Contoh:
1). Diketahui titik A(-12,5) dan $ \angle XOA = \alpha $ . Tentukan nilai $ \sin \alpha, \, \cos \alpha , \, $ dan $ \tan \alpha $ !
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan koordinat titik A(-12,5), sangat jelas bahwa titik tersebut terletak di kuadran kedua, karena $ x = -12 $, dan $y = 5$. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut ini.
Karena $x = 12$ , dan $y = 5 $, dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh sisi miring, $r = 13 $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{5}{13} \\ \cos \alpha & = \frac{sa}{mi} = \frac{-12}{13} = -\frac{12}{13} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{5}{-12} = - \frac{5}{12} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \alpha = \frac{5}{13} , \, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \, $ dan $ \tan \alpha = - \frac{5}{12} $
2). Diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \, $ dengan $ \theta \, $ di kuadran empat. Tentukan nilai $ \sin \theta , \, $ dan nilai $ \tan \theta $?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, gunakan segitiga siku-siku.
nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \rightarrow \frac{sa}{mi} = \frac{3}{5} , \, $ artinya sisi samping 3 dan sisi miring 5, sehingga dengan teorema pythagoras diperoleh sisi depannya 4.
*). Karena $ \theta \, $ di kuadran IV, maka nilai sin dan tan negatif.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = -\frac{4}{5} \\ \tan \theta & = \frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \theta = -\frac{4}{5} , \, $ dan $ \tan \theta = - \frac{4}{3} $
3). Untuk $ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ dan nilai $ \sin \beta = x $ . Tentukan nilai $ \cos \beta \, $ dan $ \tan \beta $ ?
Penyelesaian :
*). Analisa nilai $ x \, $ , apakah nilai $ x \, $ positif atau negatif.
$ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ , artinya $ \beta \, $ ada pada kuadran tiga, sehingga nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai tan positif. Karena nilai sin negatif, dari $ \sin \beta = x \, $ maka nilai $ x \, $ negatif ($ x < 0 $).
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-sikunya.
Bentuk : $ \sin \beta = x \rightarrow \sin \beta = \frac{x}{1} \rightarrow \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
artinya sisi depan adalah $ x $ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping $\sqrt{1-x^2} $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya,
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
Nilai cos negatif di kuadran III dan nilai $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif. Agar nilai cos negatif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} $
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align} $
Nilai tan positif di kuadran III dan nilai $ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, $ negatif karena $ x \, $ negatif dan $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif . Agar nilai tan positif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Jadi, nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} , \, $ dan $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
Secara umum untuk satu kali putaran lingkaran, kuadran dibagi menjadi empat yaitu :
Kuadran I : dengan sudut $ 0^\circ \, $ sampai $ \, 90^\circ \, $ atau $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
Kuadran II : dengan sudut $ 90^\circ \, $ sampai $ \, 180^\circ \, $ atau $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $
Kuadran III : dengan sudut $ 180^\circ \, $ sampai $ \, 270^\circ \, $ atau $ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $
Kuadran IV : dengan sudut $ 270^\circ \, $ sampai $ \, 360^\circ \, $ atau $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ untuk sudut.
Nilai perbandingan trigonometrinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar di atas diperoleh ,
Kuadran I, semua positif (sin, cos, tan, sec, csc, cot)
Kuadran II, nilai sin positif (begitu juga csc)
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot)
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec).
Untuk memudahkan mengingat, gunakan kata berikut :
Penjelasan isitilah di atas,perhatikan huruf warna biru :
Kata "semua" artinya pada kuadran I, semua positif,
Kata "sindikat" artinya pada kuadran II, sin positif,
Kata "tangan" artinya pada kuadran III, tan positif,
Kata "cosong" artinya pada kuadran IV, cos positif.
Kuadran I : dengan sudut $ 0^\circ \, $ sampai $ \, 90^\circ \, $ atau $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
Kuadran II : dengan sudut $ 90^\circ \, $ sampai $ \, 180^\circ \, $ atau $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $
Kuadran III : dengan sudut $ 180^\circ \, $ sampai $ \, 270^\circ \, $ atau $ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $
Kuadran IV : dengan sudut $ 270^\circ \, $ sampai $ \, 360^\circ \, $ atau $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ untuk sudut.
Nilai perbandingan trigonometrinya seperti gambar berikut ini.
Kuadran I, semua positif (sin, cos, tan, sec, csc, cot)
Kuadran II, nilai sin positif (begitu juga csc)
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot)
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec).
Untuk memudahkan mengingat, gunakan kata berikut :
Kata "semua" artinya pada kuadran I, semua positif,
Kata "sindikat" artinya pada kuadran II, sin positif,
Kata "tangan" artinya pada kuadran III, tan positif,
Kata "cosong" artinya pada kuadran IV, cos positif.
1). Diketahui titik A(-12,5) dan $ \angle XOA = \alpha $ . Tentukan nilai $ \sin \alpha, \, \cos \alpha , \, $ dan $ \tan \alpha $ !
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan koordinat titik A(-12,5), sangat jelas bahwa titik tersebut terletak di kuadran kedua, karena $ x = -12 $, dan $y = 5$. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut ini.
*). Menentukan nilai trigonometrinya :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{5}{13} \\ \cos \alpha & = \frac{sa}{mi} = \frac{-12}{13} = -\frac{12}{13} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{5}{-12} = - \frac{5}{12} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \alpha = \frac{5}{13} , \, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \, $ dan $ \tan \alpha = - \frac{5}{12} $
2). Diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \, $ dengan $ \theta \, $ di kuadran empat. Tentukan nilai $ \sin \theta , \, $ dan nilai $ \tan \theta $?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, gunakan segitiga siku-siku.
nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \rightarrow \frac{sa}{mi} = \frac{3}{5} , \, $ artinya sisi samping 3 dan sisi miring 5, sehingga dengan teorema pythagoras diperoleh sisi depannya 4.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = -\frac{4}{5} \\ \tan \theta & = \frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \theta = -\frac{4}{5} , \, $ dan $ \tan \theta = - \frac{4}{3} $
3). Untuk $ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ dan nilai $ \sin \beta = x $ . Tentukan nilai $ \cos \beta \, $ dan $ \tan \beta $ ?
Penyelesaian :
*). Analisa nilai $ x \, $ , apakah nilai $ x \, $ positif atau negatif.
$ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ , artinya $ \beta \, $ ada pada kuadran tiga, sehingga nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai tan positif. Karena nilai sin negatif, dari $ \sin \beta = x \, $ maka nilai $ x \, $ negatif ($ x < 0 $).
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-sikunya.
Bentuk : $ \sin \beta = x \rightarrow \sin \beta = \frac{x}{1} \rightarrow \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
artinya sisi depan adalah $ x $ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping $\sqrt{1-x^2} $ .
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
Nilai cos negatif di kuadran III dan nilai $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif. Agar nilai cos negatif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} $
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align} $
Nilai tan positif di kuadran III dan nilai $ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, $ negatif karena $ x \, $ negatif dan $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif . Agar nilai tan positif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Jadi, nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} , \, $ dan $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Jenis-jenis Sudut Berdasarkan Ukuran Sudut dan Kuadrannya
Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi lima jenis, yaitu :
1). Sudut lancip: sudut antara $ 0^\circ \, $ sampai $ 90^\circ $ ($ 0^\circ < x < 90^\circ $)
2). Sudut siku-siku: sudut yang besarnya $ 90^\circ $ ($ x = 90^\circ $)
Sudut siku-siku dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus.
3). Sudut tumpul: sudut antara $ 90^\circ \, $ sampai $ 180^\circ $ ($ 90^\circ < x < 180^\circ $)
4). Sudut lurus: sudut yang besarnya $ 180^\circ $ ($ x = 180^\circ $)
5). Sudut refleks: sudut antara $ 180^\circ \, $ sampai $ 360^\circ $ ($ 180^\circ < x < 360^\circ $)
1). Sudut lancip: sudut antara $ 0^\circ \, $ sampai $ 90^\circ $ ($ 0^\circ < x < 90^\circ $)
2). Sudut siku-siku: sudut yang besarnya $ 90^\circ $ ($ x = 90^\circ $)
Sudut siku-siku dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus.
3). Sudut tumpul: sudut antara $ 90^\circ \, $ sampai $ 180^\circ $ ($ 90^\circ < x < 180^\circ $)
4). Sudut lurus: sudut yang besarnya $ 180^\circ $ ($ x = 180^\circ $)
5). Sudut refleks: sudut antara $ 180^\circ \, $ sampai $ 360^\circ $ ($ 180^\circ < x < 360^\circ $)