Rumus Trigonometri Sudut Ganda

         Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda. Sudut ganda yang dimaksud adalah $2\alpha \,$ dan juga bentuk $\frac{1}{2} \alpha$ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut".

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $\sin 2\alpha , \, \cos 2\alpha , \, \tan 2\alpha$

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$
$\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$

Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :
$\clubsuit$ Rumus $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \alpha + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$
*). Ingat rumus $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
*). Ingat rumus identitas : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - (1 - \cos ^2 \alpha ) \\ & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
*). Ingat rumus identitas : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = ( 1 - \sin ^2 \alpha ) - \sin ^2 \alpha \\ & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$
*). Ingat rumus : $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
$\begin{align} \tan 2\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$

Contoh :
1). Diketahui nilai $\sin A = - \frac{3}{5} \,$ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $\sin 2A, \, \cos 2A, \,$ dan $\tan 2A$ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $\cos A, \,$ dan $\tan A$
diketahui $\sin A = - \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = - \frac{3}{5} = \frac{de}{mi}$
artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.
Sehingga, nilai $\cos A = \frac{sa}{mi} = - \frac{4}{5} \,$ dan $\tan A = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4}$
Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.
*). Menentukan hasilnya ,
$\begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = 2 . (- \frac{3}{5}) . (- \frac{4}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A - 1 \\ & = 2. ( - \frac{4}{5} )^2 - 1 \\ & = 2. \frac{16}{25} - 1 \\ & = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} \\ & = \frac{7}{25} \\ \tan 2A & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{3}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } . \frac{16}{16} \\ & = \frac{ 24}{16 - 9 } \\ & = \frac{ 24}{7 } \end{align}$
Jadi, diperoleh : $\sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{7}{25}, \,$ dan $\tan 2A = \frac{ 24}{7 }$

Rumus Trigonometri untuk $\sin \frac{1}{2} A , \, \cos \frac{1}{2} A, \,$ dan $\tan \frac{1}{2} A$

       Berikut rumus dasarnya untuk sudut $\frac{1}{2}A$

$\begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} \\ \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align}$ Pembuktian Rumus sudut $\frac{1}{2} A$ :
Misalkan $2\alpha = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A$
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.
$\spadesuit$ Rumus : $\sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}}$
*). gunakan rumus : $\cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \\ \cos A & = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \\ 2\sin ^2 \frac{1}{2} A & = 1 - \cos A \\ \sin ^2 \frac{1}{2} A & = \frac{1 - \cos A}{2} \\ \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}}$

$\spadesuit$ Rumus : $\cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
*). gunakan rumus : $\cos 2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ \cos A & = 2\cos ^2 \frac{1}{2}A - 1 \\ 2\cos ^2 \frac{1}{2}A & = 1 + \cos A \\ \cos ^2 \frac{1}{2}A & = \frac{1 + \cos A}{2} \\ \cos \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$

$\spadesuit$ Rumus : $\tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A }$
*). gunakan rumus : $\tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} , \, \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
*). Rumus Pertama :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \end{align}$
*). Rumus kedua :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \end{align}$
*). Rumus ketiga :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 - \cos A}{1 - \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{1 - \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A }$

Contoh :
2). Hitunglah nilai dari :
a). $\sin 15^\circ$
b). $\cos 67,5^\circ$
c). $\tan 22,5^\circ$
Penyelesaian :
a). $\frac{1}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ$
$\begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} }$

b). $\frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ$
nilai $\cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{2} \sqrt{2}$
Lihat materi " Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi "
$\begin{align} \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2} \sqrt{2} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 67,5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} }$

c). $\frac{1}{2}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ$
$\begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{1+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \times \frac{2 - \sqrt{2} }{2 - \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{4 - 2} \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{2} \\ & = \sqrt{2} - 1 \end{align}$
Jadi, nilai $\tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1$

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $\sin 3\alpha , \, \cos 3\alpha , \, \tan 3\alpha$

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4\sin ^3 \alpha$
$\cos 3\alpha = 4\cos ^3 \alpha - 3\cos \alpha$
$\tan 3 \alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan ^3 \alpha}{1 - 3 \tan ^2 \alpha }$

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :
$\sin 3 \alpha = \sin (2\alpha + \alpha )$
$\cos 3 \alpha = \cos (2\alpha + \alpha )$
$\tan 3 \alpha = \tan (2\alpha + \alpha )$

Tags : trigonometri

ShareShare on Facebook

TweetShare on Twitter

Postingan Terkait :

• Ukuran Sudut - Derajat, Radian, dan Putaran
• Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
• Sudut Elevasi dan Sudut Depresi
• Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
• Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi