Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Karena perbandingan trigonometri melibatkan sudut-sudut, silahkan juga baca materi "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".
Contoh :
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :
*). Deskripsi gambarnya,
Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.
*). Menentukan nilai perbandingan trigonometrinya
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $
2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?
Penyelesaian :
a). Dari gambar (a),
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $
b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b).
diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ berdasarkan pythagoras, diperoleh nilai depannya yaitu 4, sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ x $.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $
3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 1 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $!
Penyelesaian :
*). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $
*). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $
$ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $
Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $
Contoh :
Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A adalah sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).!
Penyelesaian :
Sebenarnya ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu dengan menggambar segitiganya atau dengan menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 - x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
*). Sehingga nilai trigonometri yang lainnya :
$ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $
Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku :
*). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ .
*). ilustrasi gambarnya :
*). Menentukan nilai trigonometrinya dari segitiga siku-siku
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Berikut Perbandingan Trigonometrinya :
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :
*). Deskripsi gambarnya,
Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $
2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?
a). Dari gambar (a),
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $
b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b).
diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ berdasarkan pythagoras, diperoleh nilai depannya yaitu 4, sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ x $.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $
3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 1 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $!
Penyelesaian :
*). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $
*). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $
$ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $
Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $
Identitas Trigonometri
Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Perbandingan trigonometri yang berlaku adalah :
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A adalah sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).!
Penyelesaian :
Sebenarnya ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu dengan menggambar segitiganya atau dengan menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 - x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
*). Sehingga nilai trigonometri yang lainnya :
$ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $
Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku :
*). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ .
*). ilustrasi gambarnya :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $