Setelah mempelajari materi "penyelesaian limit fungsi aljabar", kali ini kita akan lanjutkan materi limit untuk penyelesaian limit fungsi trigonometri. Disini kita akan melibatkan fungsi trigonometri, sehingga kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan trigonometri. Persamaan trigonometri yang biasa dipakai pada limit adalah persamaan identitas trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" , "rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan", dan "rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut".
Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \times \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3x}{5x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3}{5} \\ & = 1 \times \frac{3}{5} \\ & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
Cara II : Menggunakan sifat umum , $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 7 \times \frac{ \tan 2x }{ 4x} = 7 \times \frac{2}{4} = \frac{7}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ \tan 2x} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{9} $
2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} . \frac{2x}{2x} . \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2}{3} \\ & = 1 . 1 . \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} $
Cara II : Mengunakan sifat umum : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} \end{align} $
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} = \frac{6}{2} = 3 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} = \frac{3}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \frac{1}{\tan 7x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x }{\tan 7x} = \frac{3}{7} $
Ingat : $ \cot A = \frac{1}{\tan A } $
3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - \cos 2x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - [ 1 - 2\sin ^2 x ] ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - 1 + 2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin x \sin x }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 4. \frac{\sin x }{3x } . \frac{\sin x }{ x} \\ & = 4. \frac{1 }{3 } . 1 \\ & = \frac{ 4 }{3 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} = \frac{ 4 }{3 } $
b). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x \, $ dan $ \, \cos (\frac{\pi}{2} + A) = - \sin A $
Misalkan : $ p = x - \frac{\pi}{4} \rightarrow x = p + \frac{\pi}{4} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \frac{\pi}{4} \, $ maka $ p \, $ mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} & = \displaystyle \lim_{x - \frac{\pi}{4} \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos 2(p + \frac{\pi}{4}) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos ( \frac{\pi}{2} + 2p ) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{ - \sin 2p }{p} \\ & = - \frac{2}{1} \\ & = - 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} = -2 $
c). Ingat rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} x $
Sehingga : $ \cos x = \cos 1.x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - 1 + 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 2 . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\sin 2x} \\ & = 2 . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{ \frac{1}{2} }{ 2 } \\ & = 2 . \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} = \frac{1}{4} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{3x }{5x} + \frac{ \sin 2 x }{5x} \right) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} $
Penyelesaian :
a). Misalkan : $ y = \frac{1}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \infty \, $ maka $ y \, $ mendekati 0. ($ y = \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \frac{1}{\infty} } x \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{1}{y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{\sin y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} = $
b). Ingat rumus : $ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \, $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x - \sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x - \sin x \cos x }{4x^3 . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - \cos x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - [ 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ] ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin x . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2}{4} . \frac{ \sin x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{ \frac{1}{2} }{1 } . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{1}{\cos 0} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} = \frac{1}{8} $
Contoh :
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } $
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : $ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)} . \frac{1}{x+1} \\ & = 1 . \frac{1}{1+1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} = \frac{1}{2} $
b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)(x+3)}{ \tan ( x - 2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)}{ \tan ( x - 2) } . (x+3) \\ & = 1 . (2+3) \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } = 5 $
c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } \times \frac{\sqrt{ 4 + x} + 2 }{\sqrt{ 4 + x} + 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ (4+x) - 4 } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = 1 \times (\sqrt{ 4 + 0} + 2 ) \\ & = 1 \times (2 + 2 ) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } = 4 $
6). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = \cos x $
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ & = 0- \sin x \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = - \sin x \end{align} $
Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.
Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri salah satu caranya adalah menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri yaitu :
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin ax} = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan ax} = 1 $
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dulu menjadi bentuk $ sin $ agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin ax} = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan ax} = 1 $
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dulu menjadi bentuk $ sin $ agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \times \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3x}{5x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3}{5} \\ & = 1 \times \frac{3}{5} \\ & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
Cara II : Menggunakan sifat umum , $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{\sin 5 x} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 7 \times \frac{ \tan 2x }{ 4x} = 7 \times \frac{2}{4} = \frac{7}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ \tan 2x} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{9} $
2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} . \frac{2x}{2x} . \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2}{3} \\ & = 1 . 1 . \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} $
Cara II : Mengunakan sifat umum : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} \end{align} $
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} = \frac{6}{2} = 3 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} = \frac{3}{2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \frac{1}{\tan 7x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x }{\tan 7x} = \frac{3}{7} $
Ingat : $ \cot A = \frac{1}{\tan A } $
3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - \cos 2x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - [ 1 - 2\sin ^2 x ] ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 - 1 + 2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin x \sin x }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 4. \frac{\sin x }{3x } . \frac{\sin x }{ x} \\ & = 4. \frac{1 }{3 } . 1 \\ & = \frac{ 4 }{3 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 - 2 \cos 2x }{3x^2} = \frac{ 4 }{3 } $
b). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x \, $ dan $ \, \cos (\frac{\pi}{2} + A) = - \sin A $
Misalkan : $ p = x - \frac{\pi}{4} \rightarrow x = p + \frac{\pi}{4} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \frac{\pi}{4} \, $ maka $ p \, $ mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} & = \displaystyle \lim_{x - \frac{\pi}{4} \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos 2(p + \frac{\pi}{4}) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos ( \frac{\pi}{2} + 2p ) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{ - \sin 2p }{p} \\ & = - \frac{2}{1} \\ & = - 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x - \frac{\pi}{4}} = -2 $
c). Ingat rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} x $
Sehingga : $ \cos x = \cos 1.x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - 1 + 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 2 . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\sin 2x} \\ & = 2 . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{ \frac{1}{2} }{ 2 } \\ & = 2 . \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos x }{x \sin 2x} = \frac{1}{4} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{3x }{5x} + \frac{ \sin 2 x }{5x} \right) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} $
Penyelesaian :
a). Misalkan : $ y = \frac{1}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \infty \, $ maka $ y \, $ mendekati 0. ($ y = \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \frac{1}{\infty} } x \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{1}{y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{\sin y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} = $
b). Ingat rumus : $ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \, $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x - \sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x - \sin x \cos x }{4x^3 . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - \cos x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 - [ 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ] ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin x . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2}{4} . \frac{ \sin x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{ \frac{1}{2} }{1 } . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{1}{\cos 0} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x - \sin x}{4x^3} = \frac{1}{8} $
Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar
Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat berikut :
i). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
Dengan syarat : $ f(k) = 0 $
i). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
Dengan syarat : $ f(k) = 0 $
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } $
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : $ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{(x-1)} . \frac{1}{x+1} \\ & = 1 . \frac{1}{1+1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x - 1) }{x^2 - 1} = \frac{1}{2} $
b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)(x+3)}{ \tan ( x - 2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)}{ \tan ( x - 2) } . (x+3) \\ & = 1 . (2+3) \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x - 2) } = 5 $
c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } \times \frac{\sqrt{ 4 + x} + 2 }{\sqrt{ 4 + x} + 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ (4+x) - 4 } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = 1 \times (\sqrt{ 4 + 0} + 2 ) \\ & = 1 \times (2 + 2 ) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} - 2 } = 4 $
6). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = \cos x $
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ & = 0- \sin x \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = - \sin x \end{align} $