Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga ini maksudnya bisa hasil limitnya adalah tak hingga ($ \infty $) atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga ($ x \to \infty $). Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar".
Contoh :
1). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} \, $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} $
Dari tabel terlihat bahwa untuk $ x \, $ mendekati 2, maka hasil fungsinya (nilai $y $ ) semakin besar menuju tak hingga.
Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} = \infty $
2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x \to 5^+ \, $ (artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x - 5 \, $ positif.
$ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} = \frac{5+2}{(5^+ - 5)^5} = \frac{7}{(+0)^5} = + \infty $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} = \frac{3}{(3^- - 3)^8 } = \frac{3}{(-0)^8} = \frac{3}{0} = +\infty $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} =\frac{3}{(3^- - 3)^7 } = \frac{3}{(-0)^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $
Contoh :
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 - 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} - \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 - \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 - \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $
Sehingga hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $
b). Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 - 5}{x^8}}{\frac{5x^8 - 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} - \frac{5}{x^8} }{ 5 - \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} - \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 - \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 - 0 }{ 5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = 0 $
c). Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{x^5}}{\frac{3x^2 - 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} - \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} - \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} - \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 - 0 + 0 - 0 }{ 0 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \infty $
d). Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x - 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} - \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} - \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 - 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \frac{ 2 }{3} $
e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ (4x^2 +2x-3) - (4x^2 - x + 3) }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x - 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x - 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 - \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} - \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 - 0}{ \sqrt{4 + 0 - 0 } + \sqrt{4 - 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $
Contoh :
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $
b). Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $
d). Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $
5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $
b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x - 3) - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x - 3)^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $
c). Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $
Hasil Limit Tak hingga
Suatu limit hasilnya tak hingga ($\infty$) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 ($ \frac{1}{0} = \infty $ ) .
Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka hasilnya selalu positif.
Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka hasilnya selalu positif.
1). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} \, $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} $
Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} = \infty $
2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x \to 5^+ \, $ (artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x - 5 \, $ positif.
$ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} = \frac{5+2}{(5^+ - 5)^5} = \frac{7}{(+0)^5} = + \infty $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} = \frac{3}{(3^- - 3)^8 } = \frac{3}{(-0)^8} = \frac{3}{0} = +\infty $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} =\frac{3}{(3^- - 3)^7 } = \frac{3}{(-0)^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $
Penyelesaian Limit di Tak Hingga
Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga ($ x \to \infty $ ), kita gunakan limit dasarnya yaitu : $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{a}{x^n} = 0 $
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 - 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} - \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 - \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 - \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $
Sehingga hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $
b). Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 - 5}{x^8}}{\frac{5x^8 - 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} - \frac{5}{x^8} }{ 5 - \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} - \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 - \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 - 0 }{ 5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = 0 $
c). Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{x^5}}{\frac{3x^2 - 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} - \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} - \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} - \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 - 0 + 0 - 0 }{ 0 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \infty $
d). Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x - 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} - \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} - \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 - 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \frac{ 2 }{3} $
e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ (4x^2 +2x-3) - (4x^2 - x + 3) }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x - 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x - 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 - \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} - \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 - 0}{ \sqrt{4 + 0 - 0 } + \sqrt{4 - 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $
Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis
Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah :
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
$\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
$\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $
b). Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $
d). Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $
5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $
b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x - 3) - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x - 3)^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $
c). Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $