Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga ini maksudnya bisa hasil limitnya adalah tak hingga (∞) atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga (x→∞). Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar".
Contoh :
1). Tentukan nilai limx→21(x−2)2 ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi f(x)=1(x−2)2
Dari tabel terlihat bahwa untuk x mendekati 2, maka hasil fungsinya (nilai y ) semakin besar menuju tak hingga.
Jadi, hasil dari limx→21(x−2)2=∞
2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). limx→5+x+2(x−5)5 b). limx→3−x(x−3)8 c). limx→3−x(x−3)7
Penyelesaian :
a). Karena x→5+ (artinya x mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai x−5 positif.
limx→5+x+2(x−5)5=5+2(5+−5)5=7(+0)5=+∞
b). limx→3−x(x−3)8=3(3−−3)8=3(−0)8=30=+∞
c). limx→3−x(x−3)7=3(3−−3)7=3(−0)7=3−0=−∞
Contoh :
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1 b). limx→∞−2x2−55x8−4x+3 c). limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1
d). limx→∞2x+1√9x2+2x−7 e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3
Penyelesaian :
a). Bagi dengan x3 untuk pembilang dan penyebutnya.
limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=limx→∞2x3+3x2+5x35x3−4x+1x3=limx→∞2x3x3+3x2x3+5x35x3x3−4xx3+1x3=limx→∞2+3x+5x35−4x2+1x3=2+3∞+5∞35−4∞2+1∞3=2+0+05−0+0=25
Sehingga hasilnya limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=25
b). Bagi dengan x8 untuk pembilang dan penyebutnya,
limx→∞−2x2−55x8−4x+3=limx→∞−2x2−5x85x8−4x+3x8=limx→∞−2x6−5x85−4x7+3x8=−2∞6−5∞85−4∞7+3∞8=0−05−0+0=05=0
Sehingga nilai limx→∞−2x2−55x8−4x+3=0
c). Bagi dengan x5 untuk pembilang dan penyebutnya,
limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=limx→∞x5−2x3+5x−1x53x2−4x+1x5=limx→∞1−2x2+5x4−1x53x3−4x4+1x5=1−2∞2+5∞4−1∞53∞3−4∞4+1∞5=1−0+0−00−0+0=10=∞
Sehingga nilai limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=∞
d). Bagi dengan x untuk pembilang dan penyebutnya,
Hasil Limit Tak hingga
Suatu limit hasilnya tak hingga (∞) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 (10=∞ ) .
Berikut teorinya :
limx→(+0)1xn=+∞ dan limx→(−0)1xn={+∞, untuk n genap−∞, untuk n ganjil
dengan n bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap (n genap) maka hasilnya selalu positif.
Berikut teorinya :
limx→(+0)1xn=+∞ dan limx→(−0)1xn={+∞, untuk n genap−∞, untuk n ganjil
dengan n bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap (n genap) maka hasilnya selalu positif.
1). Tentukan nilai limx→21(x−2)2 ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi f(x)=1(x−2)2
Jadi, hasil dari limx→21(x−2)2=∞
2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). limx→5+x+2(x−5)5 b). limx→3−x(x−3)8 c). limx→3−x(x−3)7
Penyelesaian :
a). Karena x→5+ (artinya x mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai x−5 positif.
limx→5+x+2(x−5)5=5+2(5+−5)5=7(+0)5=+∞
b). limx→3−x(x−3)8=3(3−−3)8=3(−0)8=30=+∞
c). limx→3−x(x−3)7=3(3−−3)7=3(−0)7=3−0=−∞
Penyelesaian Limit di Tak Hingga
Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga (x→∞ ), kita gunakan limit dasarnya yaitu : limx→∞axn=0
dengan a bilangan real dan n bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
dengan a bilangan real dan n bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1 b). limx→∞−2x2−55x8−4x+3 c). limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1
d). limx→∞2x+1√9x2+2x−7 e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3
Penyelesaian :
a). Bagi dengan x3 untuk pembilang dan penyebutnya.
limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=limx→∞2x3+3x2+5x35x3−4x+1x3=limx→∞2x3x3+3x2x3+5x35x3x3−4xx3+1x3=limx→∞2+3x+5x35−4x2+1x3=2+3∞+5∞35−4∞2+1∞3=2+0+05−0+0=25
Sehingga hasilnya limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=25
b). Bagi dengan x8 untuk pembilang dan penyebutnya,
limx→∞−2x2−55x8−4x+3=limx→∞−2x2−5x85x8−4x+3x8=limx→∞−2x6−5x85−4x7+3x8=−2∞6−5∞85−4∞7+3∞8=0−05−0+0=05=0
Sehingga nilai limx→∞−2x2−55x8−4x+3=0
c). Bagi dengan x5 untuk pembilang dan penyebutnya,
limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=limx→∞x5−2x3+5x−1x53x2−4x+1x5=limx→∞1−2x2+5x4−1x53x3−4x4+1x5=1−2∞2+5∞4−1∞53∞3−4∞4+1∞5=1−0+0−00−0+0=10=∞
Sehingga nilai limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=∞
d). Bagi dengan x untuk pembilang dan penyebutnya,
limx→∞2x+1√9x2+2x−7=limx→∞2x+1x√9x2+2x−7x=limx→∞2+1x√9x2+2x−7√x2=limx→∞2+1x√9x2+2x−7x2=limx→∞2+1x√9+2x−7x2=2+1∞√9+2∞−7∞2=2+0√9+0−0=2√9=23
Sehingga nilai limx→∞2x+1√9x2+2x−7=23
e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi x
limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3×√4x2+2x−3+√4x2−x+3√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞(4x2+2x−3)−(4x2−x+3)√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞3x−6√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞3x−6x√4x2+2x−3+√4x2−x+3x=limx→∞3−6x√4x2+2x−3+√4x2−x+3√x2=limx→∞3−6x√4x2+2x−3√x2+√4x2−x+3√x2=limx→∞3−6x√4+2x−3x2+√4−1x+3x2=3−6∞√4+2∞−3∞2+√4−1∞+3∞2=3−0√4+0−0+√4−0+0=3√4+√4=32+2=34
Sehingga nilai limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=34
Contoh :
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1 b). limx→∞−2x2−55x8−4x+3 c). limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1
d). limx→∞2x+1√9x2+2x−7 e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3
f). limx→∞√9x8+3x4−3−√9x8+5x4+1
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya x3 , artinya ambil koefisien x3 ,
limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=25
b). Pangkat tertingginya x8 , artinya ambil koefisien x8,
limx→∞−2x2−55x8−4x+3=limx→∞0x8−2x2−55x8−4x+3=05=0
c). Pangkat tertingginya x5 , artinya ambil koefisien x5 ,
limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=limx→∞x5−2x3+5x−10x5+3x2−4x+1=10=∞
d). Pangkat tertingginya x , artinya ambil koefisien x ,
limx→∞2x+1√9x2+2x−7=limx→∞2x+1√9x2=limx→∞2x+13x=23
e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=b−p2√a=2−(−1)2√4=34
f). limx→∞√9x8+3x4−3−√9x8+5x4+1=b−p2√a=3−52√9=−26=−13
5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). limx→∞√x2−5x−(x+2)
b). limx→∞2x−3−√4x2+x−7
c). limx→∞5x+35x+2−7
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
limx→∞√x2−5x−(x+2)=limx→∞√x2−5x−√(x+2)2=limx→∞√x2−5x−√x2+4x+4=b−p2√a=−5−42√1limx→∞√x2−5x−(x+2)=−92
b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
limx→∞2x−3−√4x2+x−7=limx→∞(2x−3)−√4x2+x−7=limx→∞√(2x−3)2−√4x2+x−7=limx→∞√4x2−12x+9−√4x2+x−7=b−p2√a=−12−12√4limx→∞2x−3−√4x2+x−7=−134
c). Misalkan y=5x, untuk x menuju tak hingga, maka y juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
limx→∞5x+35x+2−7=lim5x→5∞5x+35x+2−7=lim5x→5∞5x+35x.52−7=limy→∞y+3y.52−7=limy→∞y+325y−7limx→∞5x+35x+2−7=125
Sehingga nilai limx→∞2x+1√9x2+2x−7=23
e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi x
limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3×√4x2+2x−3+√4x2−x+3√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞(4x2+2x−3)−(4x2−x+3)√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞3x−6√4x2+2x−3+√4x2−x+3=limx→∞3x−6x√4x2+2x−3+√4x2−x+3x=limx→∞3−6x√4x2+2x−3+√4x2−x+3√x2=limx→∞3−6x√4x2+2x−3√x2+√4x2−x+3√x2=limx→∞3−6x√4+2x−3x2+√4−1x+3x2=3−6∞√4+2∞−3∞2+√4−1∞+3∞2=3−0√4+0−0+√4−0+0=3√4+√4=32+2=34
Sehingga nilai limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=34
Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis
Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah :
♣ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya f(x)=axn+a1xn−1+... dengan pangkat tertinggi n dan g(x)=bxm+b1xm−1+.... dengan pangkat tertinggi m , maka limit di tak hingganya :
limx→∞axn+a1xn−1+...bxm+b1xm−1+....{=0b=0,untuk n<m=ab,untuk n=m=a0=∞,untuk n>m
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
♣ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
limx→∞√ax2+bx+c−√ax2+px+q=b−p2√a
*). Bentuk kedua,
limx→∞√axn+bxn2+c−√axn+pxn2+q=b−p2√a
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai a sama pada kedua akar.
♣ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya f(x)=axn+a1xn−1+... dengan pangkat tertinggi n dan g(x)=bxm+b1xm−1+.... dengan pangkat tertinggi m , maka limit di tak hingganya :
limx→∞axn+a1xn−1+...bxm+b1xm−1+....{=0b=0,untuk n<m=ab,untuk n=m=a0=∞,untuk n>m
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
♣ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
limx→∞√ax2+bx+c−√ax2+px+q=b−p2√a
*). Bentuk kedua,
limx→∞√axn+bxn2+c−√axn+pxn2+q=b−p2√a
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai a sama pada kedua akar.
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1 b). limx→∞−2x2−55x8−4x+3 c). limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1
d). limx→∞2x+1√9x2+2x−7 e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3
f). limx→∞√9x8+3x4−3−√9x8+5x4+1
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya x3 , artinya ambil koefisien x3 ,
limx→∞2x3+3x2+55x3−4x+1=25
b). Pangkat tertingginya x8 , artinya ambil koefisien x8,
limx→∞−2x2−55x8−4x+3=limx→∞0x8−2x2−55x8−4x+3=05=0
c). Pangkat tertingginya x5 , artinya ambil koefisien x5 ,
limx→∞x5−2x3+5x−13x2−4x+1=limx→∞x5−2x3+5x−10x5+3x2−4x+1=10=∞
d). Pangkat tertingginya x , artinya ambil koefisien x ,
limx→∞2x+1√9x2+2x−7=limx→∞2x+1√9x2=limx→∞2x+13x=23
e). limx→∞√4x2+2x−3−√4x2−x+3=b−p2√a=2−(−1)2√4=34
f). limx→∞√9x8+3x4−3−√9x8+5x4+1=b−p2√a=3−52√9=−26=−13
5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). limx→∞√x2−5x−(x+2)
b). limx→∞2x−3−√4x2+x−7
c). limx→∞5x+35x+2−7
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
limx→∞√x2−5x−(x+2)=limx→∞√x2−5x−√(x+2)2=limx→∞√x2−5x−√x2+4x+4=b−p2√a=−5−42√1limx→∞√x2−5x−(x+2)=−92
b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
limx→∞2x−3−√4x2+x−7=limx→∞(2x−3)−√4x2+x−7=limx→∞√(2x−3)2−√4x2+x−7=limx→∞√4x2−12x+9−√4x2+x−7=b−p2√a=−12−12√4limx→∞2x−3−√4x2+x−7=−134
c). Misalkan y=5x, untuk x menuju tak hingga, maka y juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
limx→∞5x+35x+2−7=lim5x→5∞5x+35x+2−7=lim5x→5∞5x+35x.52−7=limy→∞y+3y.52−7=limy→∞y+325y−7limx→∞5x+35x+2−7=125
