Sebelumnya telah di poskan materi "penyelesaian limit fungsi trigonometri" dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Kali ini kita akan pelajari Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri yang sangat berguna pada limit fungsi trigonometri.
Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri sangat penting bagi kita, karena jika sifat-sifat limit fungsi trigonometri tersebut tidak benar maka hasil limit fungsi trigonometrinya juga tidak akan benar, sehingga kita pastikan sifat-sifat tersebut benar dengan cara membuktikannya. Untuk pembuktiannya memang tidak mudah karena rumusnya berkaitan langsung dengan rumus-rumus trigonometri, tapi rumus-rumus yang dibutuhkan sudah kami daftarkan di artikel ini. Semoga pembuktian sifat-sifat limit fungsi aljabar ini bisa bermanfaat bagi kita dalam mempelajari limit fungsi trigonometri.
Perhatikan gambar berikut :
*). Perhatikan segitiga BOC : $ \angle BOC = x $
$ \sin x = \frac{BC}{OB} \rightarrow \sin x = \frac{BC}{r} \rightarrow BC = r \sin x $
$ \cos x = \frac{OC}{OB} \rightarrow \cos x = \frac{OC}{r} \rightarrow OC = r \cos x $
*). Perhatikan segitiga AOB : $ \angle AOD = x $
$ \tan x = \frac{AD}{OA} \rightarrow \tan x = \frac{AD}{r} \rightarrow AD = r \tan x $
*). Kita hitung luas segitiga BOC, Luas juring AOB, dan luas segitiga AOD
$ \begin{align} \text{Luas BOC } = \frac{1}{2} . OC . BC = \frac{1}{2}. r \cos x . r \sin x = \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x \end{align} $
$ \begin{align} \text{Luas juring AOB } = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2 = \frac{1}{2} x r^2 \end{align} $
$ \begin{align} \text{Luas AOD } = \frac{1}{2} . OA . AD = \frac{1}{2}. r . r \tan x = \frac{1}{2} r^2 \tan x \end{align} $
*). Pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD.
$ \begin{align} \text{Luas BOC } < \, & \text{ Luas juring AOB } < \, \text{ Luas AOD } \\ \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x < \, & \frac{1}{2} x r^2 < \frac{1}{2} r^2 \tan x \, \, \, \, \text{ (bagi } \frac{1}{2}r^2 ) \\ \frac{\frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x }{\frac{1}{2}r^2} < \, & \frac{\frac{1}{2} x r^2 }{\frac{1}{2}r^2} < \frac{ \frac{1}{2} r^2 \tan x }{\frac{1}{2}r^2} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{(bagi } \sin x ) \\ \frac{\cos x \sin x }{\sin x} < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \tan x }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{\cos x} \\ \cos 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos 0} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{1} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \end{align} $
Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \, $ berlaku $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x} = 1 $
Gunakan sifat-sifat Limit, silahkan baca materinya pada "Sifat-sifat Limit Fungsi".
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\sin x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{ \tan x} = 1 $
Dari pers(i) di atas : $ \cos x \sin x < \, x < \tan x \, $ dibagi dengan $ \tan x $
$ \begin{align} \cos x \sin x < \, & x < \tan x \\ \frac{\cos x \sin x }{\tan x} < \, & \frac{ x }{\tan x} < \frac{ \tan x }{\tan x} \\ \frac{\cos x \sin x }{\frac{\sin x}{\cos x}} < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \cos ^2 x < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos ^2 x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \cos ^2 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \end{align} $
Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \, $ berlaku $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1 $
Gunakan juga sifat-sifat limit fungsi :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\tan x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
Berdasarkan : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1 , \, $ berlaku juga untuk $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} = 1 $
Misalkan $ y = ax \, $ , untuk $ x \, $ mendekati 0, maka $ y \, $ juga mendekati 0.
Substitusi bentuk $ ax = y $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = \displaystyle \lim_{ax \to a.0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{ax \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $
Berdasarkan : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} \times \frac{ax}{ax} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{ax}{bx} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{a}{b} \\ & = 1 \times \frac{a}{b} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \frac{a}{b} \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk yang lainnya caranya sama saja pembuktiannya.
Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri sangat penting bagi kita, karena jika sifat-sifat limit fungsi trigonometri tersebut tidak benar maka hasil limit fungsi trigonometrinya juga tidak akan benar, sehingga kita pastikan sifat-sifat tersebut benar dengan cara membuktikannya. Untuk pembuktiannya memang tidak mudah karena rumusnya berkaitan langsung dengan rumus-rumus trigonometri, tapi rumus-rumus yang dibutuhkan sudah kami daftarkan di artikel ini. Semoga pembuktian sifat-sifat limit fungsi aljabar ini bisa bermanfaat bagi kita dalam mempelajari limit fungsi trigonometri.
Teori-teori yang dibutuhkan dalam pembuktian
Berikut beberapa teori yang dibuthkan dalam pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \spadesuit $ Teorema Apit
Misalkan $ f, g, \, $ dan $ h \, $ fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka $ I $ yang memuat $ a \, $ kecuali mungkin di $ a \, $ itu sendiri, sehingga $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \, $ untuk setiap $ x \in I , \, x \neq a . \, $ Jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) = L , \, $ maka $ \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L $ .
Atau penulisannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) \\ L \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq L \end{align} $
Artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L $
$ \spadesuit $ Luas Segitiga
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \, \times \, $ tinggi .
$ \spadesuit $ Luas Juring lingkaran :
Luas juring AOB $ = \frac{\angle AOB}{2\pi } . \pi r^2 = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2 $
$ \spadesuit $ Teorema Apit
Misalkan $ f, g, \, $ dan $ h \, $ fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka $ I $ yang memuat $ a \, $ kecuali mungkin di $ a \, $ itu sendiri, sehingga $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \, $ untuk setiap $ x \in I , \, x \neq a . \, $ Jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) = L , \, $ maka $ \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L $ .
Atau penulisannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) \\ L \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq L \end{align} $
Artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L $
$ \spadesuit $ Luas Segitiga
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \, \times \, $ tinggi .
$ \spadesuit $ Luas Juring lingkaran :
Luas juring AOB $ = \frac{\angle AOB}{2\pi } . \pi r^2 = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2 $
Pembuktian Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
$ \sin x = \frac{BC}{OB} \rightarrow \sin x = \frac{BC}{r} \rightarrow BC = r \sin x $
$ \cos x = \frac{OC}{OB} \rightarrow \cos x = \frac{OC}{r} \rightarrow OC = r \cos x $
*). Perhatikan segitiga AOB : $ \angle AOD = x $
$ \tan x = \frac{AD}{OA} \rightarrow \tan x = \frac{AD}{r} \rightarrow AD = r \tan x $
*). Kita hitung luas segitiga BOC, Luas juring AOB, dan luas segitiga AOD
$ \begin{align} \text{Luas BOC } = \frac{1}{2} . OC . BC = \frac{1}{2}. r \cos x . r \sin x = \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x \end{align} $
$ \begin{align} \text{Luas juring AOB } = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2 = \frac{1}{2} x r^2 \end{align} $
$ \begin{align} \text{Luas AOD } = \frac{1}{2} . OA . AD = \frac{1}{2}. r . r \tan x = \frac{1}{2} r^2 \tan x \end{align} $
*). Pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD.
$ \begin{align} \text{Luas BOC } < \, & \text{ Luas juring AOB } < \, \text{ Luas AOD } \\ \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x < \, & \frac{1}{2} x r^2 < \frac{1}{2} r^2 \tan x \, \, \, \, \text{ (bagi } \frac{1}{2}r^2 ) \\ \frac{\frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x }{\frac{1}{2}r^2} < \, & \frac{\frac{1}{2} x r^2 }{\frac{1}{2}r^2} < \frac{ \frac{1}{2} r^2 \tan x }{\frac{1}{2}r^2} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{(bagi } \sin x ) \\ \frac{\cos x \sin x }{\sin x} < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \tan x }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{\cos x} \\ \cos 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos 0} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{1} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \end{align} $
Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \, $ berlaku $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x} = 1 $
Gunakan sifat-sifat Limit, silahkan baca materinya pada "Sifat-sifat Limit Fungsi".
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\sin x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{ \tan x} = 1 $
Dari pers(i) di atas : $ \cos x \sin x < \, x < \tan x \, $ dibagi dengan $ \tan x $
$ \begin{align} \cos x \sin x < \, & x < \tan x \\ \frac{\cos x \sin x }{\tan x} < \, & \frac{ x }{\tan x} < \frac{ \tan x }{\tan x} \\ \frac{\cos x \sin x }{\frac{\sin x}{\cos x}} < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \cos ^2 x < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos ^2 x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \cos ^2 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \end{align} $
Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \, $ berlaku $ \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1 $
Gunakan juga sifat-sifat limit fungsi :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\tan x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
Berdasarkan : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1 , \, $ berlaku juga untuk $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} = 1 $
Misalkan $ y = ax \, $ , untuk $ x \, $ mendekati 0, maka $ y \, $ juga mendekati 0.
Substitusi bentuk $ ax = y $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = \displaystyle \lim_{ax \to a.0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{ax \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
*). Pembuktian bentuk : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $
Berdasarkan : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} \times \frac{ax}{ax} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{ax}{bx} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{a}{b} \\ & = 1 \times \frac{a}{b} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \frac{a}{b} \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $
Catatan : Untuk yang lainnya caranya sama saja pembuktiannya.