Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1

Pada artikel kali ini kita akan membahas Pembahasan Soal Trigonometri 1. Soal Trigonometri ada banyak sekali, dan tentu tidak bagi kita untuk menyelesaikan soal-soalnya karena begitu banyaknya rumus yang dilibatkan. Salah satu soal trigonometri yang akan kita bahas berikut ini. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajarinya, teman-teman harus menguasai materi trigonometri diantaranya "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" yang didalamnya juga ada identitas trigonometri, dan "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda ".

Soal Trigonometri 1

Diketahui nilai trigonometri

$\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \,$ dan

$\, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2}$ . Tentukan nilai dari

$\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \,$ adalah ....

Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.

Konsep Trigonometri yang digunakan

*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :

$\sin A = \frac{de}{mi} \,$ dan

$\, \cos A = \frac{sa}{mi}$
*). Identitas trigonometri :

$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \,$ atau

$\, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A$
*). Sudut Rangkap :

$\sin 2A = 2\sin A \cos A$

$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$

Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai

$\frac{\sin 2x}{\sin 2y}$ :
Kalikan bentuk

$\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \,$ dan

$\, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2}$
Dan gunakan :

$\sin 2x = 2\sin x \cos x \,$ dan

$\, \sin 2y = 2\sin y \cos y$

$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align}$

*). Menentukan bentuk

$\sin ^2 x \,$ dan

$\cos ^2 x$ :

$\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \,$ atau

$\sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi}$
Sehingga panjang sampingnya

$(sa)$ :

$sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y }$
gambar segitiganya :

Sehingga nilai

$\cos x$ :

$\cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y }$
Kita peroleh :

$\sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y$

$\cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y$

*). Menentukan nilai

$\sin ^2 y \,$ dan

$\sin ^2 x$ :

$\begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align}$
Sehingga nilai

$\sin ^2 x$

$\sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35}$

*). Menentukan nilai

$\frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \,$ dengan sudut rangkap :

$\begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align}$

*). Menentukan hasil akhir :

$\begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align}$

Jadi, nilai

$\begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align}$ .

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk

$\sin ^2 x \,$ dan

$\cos ^2 x \,$ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui :

$\sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y$

$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y$
Bentuk

$\cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \,$ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.

Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat.

Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1

Soal Trigonometri 1

Postingan Terkait :