Setelah meguasai rumus-rumus trigonometri, seperti "rumus jumlah dan selisih dua sudut", "rumus trigonometri sudut ganda", "rumus trigonometri perkalian, penjumlahan, dan pengurangan" dan rumus identitas trigonometri pada materi "perbandingan trigonometri segitiga siku-siku", serta materi "sudut-sudut berelasi". Kali ini kita akan coba untuk melatih dalam membuktikan rumus-rumus trigonometri yang diberikan pada artikel Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri .
Soal-soal latihan pembuktian trigonometri ini bertujuan agar kita lebih memperdalam materi trigonometri. Pembuktian yang diminta biasanya bentuk ruas kiri harus sama dengan ruas kanan suatu persamaan trigonometri. Tentu pembuktian bentuk trigonometri akan sangat sulit bagi kita karena akan melibatkan banyak rumus-rumus trigonometri yang kita gunakan. Cobalah untuk membuktikan bentuk atau soal yang paling sederhana dulu, baru kita buktikan bentuk yang lebih kompleks lagi. Saran kami, bersabarlah dalam melakukan pembuktian karena tidak cukup menggunakan satu rumus, atapi harus lebih dan itupun terkadang belum bisa ketemu pembuktiannya. Jadi, kuncinya sabar dan lebih telaten dalam menyelesaikan pembuktiannya.
1). Buktikan : $ \begin{align} \frac{1 - \cos 2 A}{1 - \cos ^2 A} = 2 \end{align} $
Hint : Gunakan identitas dan sudut ganda.
2). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\cos 3A - \cos 5A}{\sin 3A + \sin 5A} = \tan A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri
3). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{\tan \frac{1}{2} (A-B) }{\tan \frac{1}{2} (A+B)} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
4). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 3A + \sin A}{\cos 3A + \cos A} = \tan 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
5). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin 3A}{\cos A - \cos 3A} = \cot A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
6). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin B}{\cos A - \cos B} = \cot \frac{B-A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
7). Buktikan : $ \begin{align} \frac{1 + \cot ^2 A}{2 \cot A} = \csc 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan identitas trigonometri dan $ \, \csc A = \frac{1 }{\sin A } $
8). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sec A - 1}{\sec A + 1} = \tan ^2 \frac{A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan $ \, \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{1 + \cos A}} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
9). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 2 A}{\sin A} = \frac{1 + \cos 2 A}{\cos A } \end{align} $
Hint : Gunakan sudut ganda sinus dan cosinus
10). Buktikan : $ \begin{align} \frac{ \cos (x + y) + \cos (x-y) }{ \sin (x + y) + \sin (x-y)} = \cot x \end{align} $
Hint : Gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri
11). Jika $ x + y = 45^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} (1 + \tan x)(1+ \tan y) = 2 . \end{align} $
Hint : gunakan $ \tan (x + y ) = \frac{\tan x + \tan y }{1 - \tan x \tan y } \, $ dan persamaan dikalikan.
12). Diketahui $ a + b + c = \pi , \, $ maka tunjukkan bahwa $ \begin{align} \tan a + \tan b + \tan c = \tan a . \tan b . \tan c \end{align} $
Hint : gunakan $ a + b = \pi - c \, $ dengan $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ \tan (a + b ) = \tan (180^\circ - c) $
13). Buktikan $ \begin{align} (2\cos A -1) (2\cos A + 1) = 2\cos 2A + 1 \end{align} $
Hint : gunakan sudut ganda cosinus , $ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
14). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
15). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
16). Jika $ a + b + c = 90^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} \tan a \tan b + \tan b \tan c + \tan c \tan a = 1 \end{align} $
Hint : gunakan jumlah sudut dan $ \tan (a + b ) = \tan (90^\circ - c ) $
17). Diketahui A, B, dan C adalah sudut-sudut pada segitiga ABC. Buktikan persamaan-persaman berikut.
a). $ \begin{align} \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 \end{align} $
b). $ \begin{align} \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1 \end{align} $
c). $ \begin{align} \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C \end{align} $
d). $ \begin{align} \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1- 4 \cos A \cos B \cos C \end{align} $
e). $ \begin{align} \sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C \end{align} $
f). $ \begin{align} \cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C + 2\cos A \cos B \cos C = 1 \end{align} $
18). Buktikan $ \begin{align} (4\cos ^2 9^\circ -3 )(4\cos ^2 27^\circ - 3 ) = \tan 9^\circ \end{align} $
Hint : gunakan rumus $ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3 \cos x \rightarrow 4 \cos ^2 x - 3 = \frac{\cos 3x }{\cos x } \, $ dan sudut komplemen.
Bagaimana dengan kumpulan Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri di atas, semoga bisa menambah wawasan dalam memahami materi trigonometri. Selamat mengerjakan ya, soal-soalnya sebagai bahan latihan. ^_^ .
Berikut kumpulan soal-soal pembuktian trigonometri :
Hint : Gunakan identitas dan sudut ganda.
2). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\cos 3A - \cos 5A}{\sin 3A + \sin 5A} = \tan A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri
3). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{\tan \frac{1}{2} (A-B) }{\tan \frac{1}{2} (A+B)} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
4). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 3A + \sin A}{\cos 3A + \cos A} = \tan 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
5). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin 3A}{\cos A - \cos 3A} = \cot A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
6). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin B}{\cos A - \cos B} = \cot \frac{B-A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
7). Buktikan : $ \begin{align} \frac{1 + \cot ^2 A}{2 \cot A} = \csc 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan identitas trigonometri dan $ \, \csc A = \frac{1 }{\sin A } $
8). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sec A - 1}{\sec A + 1} = \tan ^2 \frac{A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan $ \, \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{1 + \cos A}} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
9). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 2 A}{\sin A} = \frac{1 + \cos 2 A}{\cos A } \end{align} $
Hint : Gunakan sudut ganda sinus dan cosinus
10). Buktikan : $ \begin{align} \frac{ \cos (x + y) + \cos (x-y) }{ \sin (x + y) + \sin (x-y)} = \cot x \end{align} $
Hint : Gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri
11). Jika $ x + y = 45^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} (1 + \tan x)(1+ \tan y) = 2 . \end{align} $
Hint : gunakan $ \tan (x + y ) = \frac{\tan x + \tan y }{1 - \tan x \tan y } \, $ dan persamaan dikalikan.
12). Diketahui $ a + b + c = \pi , \, $ maka tunjukkan bahwa $ \begin{align} \tan a + \tan b + \tan c = \tan a . \tan b . \tan c \end{align} $
Hint : gunakan $ a + b = \pi - c \, $ dengan $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ \tan (a + b ) = \tan (180^\circ - c) $
13). Buktikan $ \begin{align} (2\cos A -1) (2\cos A + 1) = 2\cos 2A + 1 \end{align} $
Hint : gunakan sudut ganda cosinus , $ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
14). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
15). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $
16). Jika $ a + b + c = 90^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} \tan a \tan b + \tan b \tan c + \tan c \tan a = 1 \end{align} $
Hint : gunakan jumlah sudut dan $ \tan (a + b ) = \tan (90^\circ - c ) $
17). Diketahui A, B, dan C adalah sudut-sudut pada segitiga ABC. Buktikan persamaan-persaman berikut.
a). $ \begin{align} \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 \end{align} $
b). $ \begin{align} \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1 \end{align} $
c). $ \begin{align} \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C \end{align} $
d). $ \begin{align} \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1- 4 \cos A \cos B \cos C \end{align} $
e). $ \begin{align} \sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C \end{align} $
f). $ \begin{align} \cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C + 2\cos A \cos B \cos C = 1 \end{align} $
18). Buktikan $ \begin{align} (4\cos ^2 9^\circ -3 )(4\cos ^2 27^\circ - 3 ) = \tan 9^\circ \end{align} $
Hint : gunakan rumus $ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3 \cos x \rightarrow 4 \cos ^2 x - 3 = \frac{\cos 3x }{\cos x } \, $ dan sudut komplemen.
Bagaimana dengan kumpulan Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri di atas, semoga bisa menambah wawasan dalam memahami materi trigonometri. Selamat mengerjakan ya, soal-soalnya sebagai bahan latihan. ^_^ .