Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga", pada artikel kali ini kita khusus membahas materi Sudut-sudut pada Segitiga. Untuk mempermudah, juga baca materi yang ada kaitannya dengan sudut-sudut yaitu "hubungan antar sudut".
Contoh :
1). Diketahui pada $\Delta$PQR, besar $\angle$P =48$^\circ$ dan $\angle$Q = 72$^\circ$.
Hitunglah besar $\angle$R.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 48^\circ + 72^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ 120^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ \angle R & = 180^\circ - 120^\circ \\ \angle R & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle R = 60^\circ $.
2). Perhatikan segitiga KLM berikut,
Dari segitiga KLM di atas, tentukan nilai $ x \, $ dan besar semua sudut-sudut segitiganya.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle K + \angle L + \angle M & = 180^\circ \\ x + 2x + 3x & = 180^\circ \\ 6x & = 180^\circ \\ x & = \frac{180^\circ}{6} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x = 30^\circ $.
*). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle K & = x = 30^\circ \\ \angle L & = 2x = 2\times 30^\circ = 60^\circ \\ \angle M & = 3x = 3\times 30^\circ = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $K, $\angle $L, dan $\angle $M berturut-turut adalah 30$^\circ$, 60$^\circ$, dan 90$^\circ$.
3).Pada $\Delta$ABC diketahui $\angle $A = 50$^\circ$. Jika B : C = 2 : 3, tentukan besar $\angle $B dan $\angle $C.
Penyelesaian :
*). Kita kalikan $a $ untuk perbandingan yang ada,
$ \frac{B}{C} = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{B}{C} = \frac{2a}{3a} $
artinya besar $ \angle B = 2a \, $ dan $ \angle C = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a $,
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ 50^\circ + 2a + 3a & = 180^\circ \\ 5a & = 130^\circ \\ a & = \frac{130^\circ}{5} = 26^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut B dan C dengan $ a = 26^\circ $
$ \begin{align} \angle B & = 2a = 2 \times 26^\circ = 52^\circ \\ \angle C & = 3a = 3 \times 26^\circ = 78^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $B, dan $\angle $C berturut-turut adalah 52$^\circ$, dan 78$^\circ$.
Contoh :
4). Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai $ x $ dan $ y $. gambar soal 4.
Penyelesaian :
*). Jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} 80^\circ + 60^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ 140^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 40^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x^\circ = 40^\circ $.
*). Menentukan besar sudut $ y^\circ $ , ada dua cara yaitu :
Cara I : $ x \, $ dan $ y \, $ berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $.
$ \begin{align} x^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ 40^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ y^\circ & = 140^\circ \end{align} $
Cara II : Hubungan sudut luar dan sudut dalam,
$ y \, $ adalah sudut luar, sehingga :
$ y = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ $.
Jadi, besar sudut $ x^\circ = 40^\circ \, $ dan $ y^\circ = 140^\circ$.
5). Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi berikut dapat dibuat sebuah segitiga.
a. 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
b. 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
c. 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
d. 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
e. 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
Penyelesaian :
*). Kita cek berdasarkan ketidaksamaan segitiga. Panjang tiga sisi dapat membentuk sisi-sisi segitiga jika ketiga sisinya memenuhi ketidaksamaan segitiga.
*). Agar kita tidak memeriksa ketiga sayarat, maka cukup cek untuk sisi terpanjang saja.
a). 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
$ 3 + 6 = 9 > 8 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
b). 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
$ 4 + 7 = 11 \not{>} 11 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
c). 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
$ 5 + 8 = 13 < 14 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
d). 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
$ 10 + 10 = 20 > 12 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
e). 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
$ 6 + 9 = 15 < 16 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
Jadi, panjang sisi-sisi yang akan membentuk segitiga adalah bagian (a) dan (d).
6). Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding $\angle$P : $\angle$Q : $\angle$R = 9 : 5 : 4.
Tentukan :
a). besar $\angle$P, $\angle$Q, dan $\angle$R;
b). sisi yang terpanjang;
c). sisi yang terpendek.
Penyelesaian :
*). Untuk mempermudah pengerjaan, kita kalikan $ a $ pada perbandingannya,
$ \angle P : \angle Q : \angle R = 9 : 5 : 4 \rightarrow \angle P : \angle Q : \angle R = 9a : 5a : 4a $
artinya besar $ \angle P = 9a , \, \angle Q = 5a , \, $ dan $ \angle R = 4a $.
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 9a + 5a + 4a & = 180^\circ \\ 18a & = 180^\circ \\ a & = \frac{180^\circ}{18} \\ a & = 10^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ a = 10^\circ $.
a). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle P & = 9a = 9\times 10^\circ = 90^\circ \\ \angle Q & = 5a = 5\times 10^\circ = 50^\circ \\ \angle R & = 4a = 4\times 10^\circ = 40^\circ \end{align} $
b). Sisi terpanjang adalah sisi yang ada dihadapan sudut terbesar yaitu sudut P, sehingga sisi terpanjangnya adalah QR.
c). Sisi terpendek adalah sisi yang ada dihadapan sudut terkecil yaitu sudut R, sehingga sisi terpendeknya adalah PQ.
7). Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar tersebut $\angle B_1 = \angle B_2, \, \angle C_3 =\angle C_4, \, \angle A = 70^\circ$, dan $\angle B = 60^\circ$.
Hitunglah
a. besar $\angle C_3 + \angle C_4$;
b. besar $\angle B_2$;
c. besar $\angle D$.
Penyelesaian :
a). Perhatikan segitiga ABC, sudut $C_3 + C_4 \, $ adalah sudut luar dari segitiga ABC, sehingga :
$ \angle C_3 + \angle C_4 = \angle B + \angle A = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ $.
Jadi, nilai $ \angle C_3 + \angle C_4 = 130^\circ $.
b). Sudut $ B_1 = B_2 \, $ artinya
$ \angle B_2 = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $.
c). Perhatikan segitiga ABC,
$ \angle C = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.
*). Pada bagian a), sudut $ C_3 = C_4 \, $ artinya
$ \angle C_3 = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ $.
*). Perhatikan segitiga BCD,
$ \angle C = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ $ .
$ \angle B = \angle B_2 = 30^\circ $ .
*). Menentukan besar sudut D,
$ \begin{align} \angle B + \angle C + \angle D & = 180^\circ \\ 30^\circ + 115^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ 145^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ \angle D & = 35^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle D = 35^\circ $ .
Jumlah ketiga Sudut pada Segitiga
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
*). gambar b), pada sudut-sudut segitiga ABC dipotong berdasarkan garis k, l dan m sehingga terbentuk tiga potongan yang sudah diberi nomor seperti gambar b.
*). dari ketiga potongan pada gambar (b) kemudian disatukan sedemikian terbentuk seperti gambar (c), dimana ketiga bangun membentuk garis lurus. Artinya ketiga sudut segitiga jumlahnya $180^\circ$.
Sehingga Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180$^\circ \, $
yaitu $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.
*). dari ketiga potongan pada gambar (b) kemudian disatukan sedemikian terbentuk seperti gambar (c), dimana ketiga bangun membentuk garis lurus. Artinya ketiga sudut segitiga jumlahnya $180^\circ$.
Sehingga Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180$^\circ \, $
yaitu $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.
1). Diketahui pada $\Delta$PQR, besar $\angle$P =48$^\circ$ dan $\angle$Q = 72$^\circ$.
Hitunglah besar $\angle$R.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 48^\circ + 72^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ 120^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ \angle R & = 180^\circ - 120^\circ \\ \angle R & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle R = 60^\circ $.
2). Perhatikan segitiga KLM berikut,
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle K + \angle L + \angle M & = 180^\circ \\ x + 2x + 3x & = 180^\circ \\ 6x & = 180^\circ \\ x & = \frac{180^\circ}{6} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x = 30^\circ $.
*). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle K & = x = 30^\circ \\ \angle L & = 2x = 2\times 30^\circ = 60^\circ \\ \angle M & = 3x = 3\times 30^\circ = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $K, $\angle $L, dan $\angle $M berturut-turut adalah 30$^\circ$, 60$^\circ$, dan 90$^\circ$.
3).Pada $\Delta$ABC diketahui $\angle $A = 50$^\circ$. Jika B : C = 2 : 3, tentukan besar $\angle $B dan $\angle $C.
Penyelesaian :
*). Kita kalikan $a $ untuk perbandingan yang ada,
$ \frac{B}{C} = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{B}{C} = \frac{2a}{3a} $
artinya besar $ \angle B = 2a \, $ dan $ \angle C = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a $,
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ 50^\circ + 2a + 3a & = 180^\circ \\ 5a & = 130^\circ \\ a & = \frac{130^\circ}{5} = 26^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut B dan C dengan $ a = 26^\circ $
$ \begin{align} \angle B & = 2a = 2 \times 26^\circ = 52^\circ \\ \angle C & = 3a = 3 \times 26^\circ = 78^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $B, dan $\angle $C berturut-turut adalah 52$^\circ$, dan 78$^\circ$.
Hubungan Panjang sisi dan Sudut pada Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut yang lengkap dengan panjang sisi-sisinya,
$\clubsuit$ Ketidaksamaan Segitiga
Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut.
(i). $ a + b > c $
(ii). $ a + c > b $
(iii). $ b + c > a $
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.
$\clubsuit$ Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
Di setiap segi tiga dimana sudut terbesar akan berada saling berhadap-an dengan sisi yang paling panjang. Sementara itu, sudut yang paling kecil akan berada di depan sisi yang paling pendek.
$\clubsuit$ Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.
Keterangan :
*). Pada segitiga ABC, $ \angle CBD \, $ adalah sudut luar segitiga ABC dan sudut dalamnya adalah sudut ABC, sudut ACB, dan sudut BAC.
*). Dari hubungan sudut luar dan sudut dalam, kita peroleh persamaan :
$ \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB $.
Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut.
(i). $ a + b > c $
(ii). $ a + c > b $
(iii). $ b + c > a $
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.
$\clubsuit$ Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
Di setiap segi tiga dimana sudut terbesar akan berada saling berhadap-an dengan sisi yang paling panjang. Sementara itu, sudut yang paling kecil akan berada di depan sisi yang paling pendek.
$\clubsuit$ Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.
*). Pada segitiga ABC, $ \angle CBD \, $ adalah sudut luar segitiga ABC dan sudut dalamnya adalah sudut ABC, sudut ACB, dan sudut BAC.
*). Dari hubungan sudut luar dan sudut dalam, kita peroleh persamaan :
$ \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB $.
4). Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai $ x $ dan $ y $. gambar soal 4.
*). Jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} 80^\circ + 60^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ 140^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 40^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x^\circ = 40^\circ $.
*). Menentukan besar sudut $ y^\circ $ , ada dua cara yaitu :
Cara I : $ x \, $ dan $ y \, $ berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $.
$ \begin{align} x^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ 40^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ y^\circ & = 140^\circ \end{align} $
Cara II : Hubungan sudut luar dan sudut dalam,
$ y \, $ adalah sudut luar, sehingga :
$ y = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ $.
Jadi, besar sudut $ x^\circ = 40^\circ \, $ dan $ y^\circ = 140^\circ$.
5). Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi berikut dapat dibuat sebuah segitiga.
a. 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
b. 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
c. 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
d. 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
e. 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
Penyelesaian :
*). Kita cek berdasarkan ketidaksamaan segitiga. Panjang tiga sisi dapat membentuk sisi-sisi segitiga jika ketiga sisinya memenuhi ketidaksamaan segitiga.
*). Agar kita tidak memeriksa ketiga sayarat, maka cukup cek untuk sisi terpanjang saja.
a). 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
$ 3 + 6 = 9 > 8 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
b). 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
$ 4 + 7 = 11 \not{>} 11 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
c). 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
$ 5 + 8 = 13 < 14 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
d). 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
$ 10 + 10 = 20 > 12 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
e). 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
$ 6 + 9 = 15 < 16 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
Jadi, panjang sisi-sisi yang akan membentuk segitiga adalah bagian (a) dan (d).
6). Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding $\angle$P : $\angle$Q : $\angle$R = 9 : 5 : 4.
Tentukan :
a). besar $\angle$P, $\angle$Q, dan $\angle$R;
b). sisi yang terpanjang;
c). sisi yang terpendek.
Penyelesaian :
*). Untuk mempermudah pengerjaan, kita kalikan $ a $ pada perbandingannya,
$ \angle P : \angle Q : \angle R = 9 : 5 : 4 \rightarrow \angle P : \angle Q : \angle R = 9a : 5a : 4a $
artinya besar $ \angle P = 9a , \, \angle Q = 5a , \, $ dan $ \angle R = 4a $.
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 9a + 5a + 4a & = 180^\circ \\ 18a & = 180^\circ \\ a & = \frac{180^\circ}{18} \\ a & = 10^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ a = 10^\circ $.
a). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle P & = 9a = 9\times 10^\circ = 90^\circ \\ \angle Q & = 5a = 5\times 10^\circ = 50^\circ \\ \angle R & = 4a = 4\times 10^\circ = 40^\circ \end{align} $
b). Sisi terpanjang adalah sisi yang ada dihadapan sudut terbesar yaitu sudut P, sehingga sisi terpanjangnya adalah QR.
c). Sisi terpendek adalah sisi yang ada dihadapan sudut terkecil yaitu sudut R, sehingga sisi terpendeknya adalah PQ.
7). Perhatikan gambar berikut,
Hitunglah
a. besar $\angle C_3 + \angle C_4$;
b. besar $\angle B_2$;
c. besar $\angle D$.
Penyelesaian :
a). Perhatikan segitiga ABC, sudut $C_3 + C_4 \, $ adalah sudut luar dari segitiga ABC, sehingga :
$ \angle C_3 + \angle C_4 = \angle B + \angle A = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ $.
Jadi, nilai $ \angle C_3 + \angle C_4 = 130^\circ $.
b). Sudut $ B_1 = B_2 \, $ artinya
$ \angle B_2 = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $.
c). Perhatikan segitiga ABC,
$ \angle C = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.
*). Pada bagian a), sudut $ C_3 = C_4 \, $ artinya
$ \angle C_3 = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ $.
*). Perhatikan segitiga BCD,
$ \angle C = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ $ .
$ \angle B = \angle B_2 = 30^\circ $ .
*). Menentukan besar sudut D,
$ \begin{align} \angle B + \angle C + \angle D & = 180^\circ \\ 30^\circ + 115^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ 145^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ \angle D & = 35^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle D = 35^\circ $ .