Sebelumnya kita telah mempelajari "Penerapan Limit pada Laju Perubahan". Kali ini kita akan mempelajari penerapan limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu (misalkan $ x = a$) jika grafik fungsinya tidak terputus di titik tersebut.
Perhatikan grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ berikut,
Dari grafik terlihat bahwa untuk titik $ x = 1 \, $ grafiknya terputus, ini artinya fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak kontinu di titik $ x = 1 . \, $ Dilain pihak, selain titik $ x = 1 \, $ , grafik $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak terputus, sehingga fungsi tersebut dikatakan kontinu di semua titik selain titik $ x = 1 $ .
Contoh :
1). Tunjukkan fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = 2.1 - 1 = 1 $
Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } 2x - 1 = 1 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } 2x - 1 = 1 $
ii). Artnya nilai limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 = f(1) $
Karena ketika syarat terpenuhi, maka fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ .
2). Apakah fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = \frac{1^2 - 1}{1-1} = \frac{0}{0} \, $ . Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ maka nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi.
Satu syarat tidak terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak kontinu (diskontinu) di titik $ x = 1 $ .
3). Tentukan titik dimana fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu. ?
Penyelesaian :
*). Suatu fungsi dikatakan kontinu harus memenuhi ketiga syarat yang ada, jika salah satu saja tidak terpenuhi maka fungsi tersebut sudah dipastikan tidak kontinu. Karena fungsinya dalam bentuk pecahan, maka fungsi pecahan tidak ada nilai atau tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai 0.
*). Penyebut bernilai 0.
$ x^2 - x - 6 = 0 \rightarrow (x - 3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu pada titik $ x = 3 \, $ dan $ x = -2 $ .
4). Misalkan terdapat fungsi ,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ k \, $ sehingga $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 4 $ . ?
Penyelesaian :
*). Syarat agar fungsi kontinu di $ x = 4 \, $ adalah $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } f(x) = f(4) \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) = f(4) $ .
*). Nilai fungsi : $ f(4) $
Untuk $ x = 4, \, $ maka fungsinya adalah $ f(x) = 3x+7 $
Sehingga nilai fungsinya : $ f(4) = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kiri : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kiri, maka fungsi $ f(x) = 3x + 7 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kanan : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kanan, maka fungsi $ f(x) = kx - 1 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ 19 & = 4k-1 \\ 4k & = 20 \\ k & = 5 \end{align} $
Jadi, agar fungsi $ f(x) \, $ kontinu, maka nilai $ k \, $ adalah 5.
5). Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} ax+3 & , \text{ untuk } x \leq 2 \\ x^2 + 1 & , \text{ untuk } 2 < x \leq 4 \\ 5 - bx & , \text{ untuk } x > 4 \\ \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a + b \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x) \, $ tidak kontinu di titik $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $
*). penyelesaian di titik $ x = 2 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 2^- } ax+3 & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } x^2 + 1 \\ a.2+3 & = 2^2 + 1 \\ 2a+3 & = 5 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1 \end{align} $
*). penyelesaian di titik $ x = 4 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } x^2 + 1 & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } 5 - bx \\ 4^2 + 1 & = 5-b.4 \\ 17 & = 5-4b \\ 4b & = 5 - 17 \\ 4b & = -12 \\ b & = -3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-3) = -2 $ .
Jadi, nilai $ a + b = -2 $.
Perhatikan grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ berikut,
Penjelasan Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi
Untuk menentukan suatu fungsi apakah kontinu atau tidak kontinu di suatu titik tertentu, kita tidak mungkin selalu menggunakan grafiknya secara langsung, karena akan sulit dalam menggambarnya. Nah, untuk memudahkan dalam mengecek kekontinuan fungsi, kita akan menggunakan limit.
Fungsi $ f(x) \, $ dikatakan kontinu di titik $ x = a , \, $ jika memenuhi ketiga syarat berikut,
i). $ f(a) \, $ ada,
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada,
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Keterangan :
i). $ f(a) \, $ ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di $ x = a \, $ (bisa dihitung).
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama.
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.
Untuk limit kiri dan limit kanan, lihat materi "Pengertian Limit Fungsi".
Fungsi $ f(x) \, $ dikatakan kontinu di titik $ x = a , \, $ jika memenuhi ketiga syarat berikut,
i). $ f(a) \, $ ada,
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada,
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Keterangan :
i). $ f(a) \, $ ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di $ x = a \, $ (bisa dihitung).
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama.
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.
Untuk limit kiri dan limit kanan, lihat materi "Pengertian Limit Fungsi".
1). Tunjukkan fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = 2.1 - 1 = 1 $
Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } 2x - 1 = 1 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } 2x - 1 = 1 $
ii). Artnya nilai limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x - 1 = 1 = f(1) $
Karena ketika syarat terpenuhi, maka fungsi $ f(x) = 2x - 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ .
2). Apakah fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = \frac{1^2 - 1}{1-1} = \frac{0}{0} \, $ . Karena hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ maka nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi.
Satu syarat tidak terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} \, $ tidak kontinu (diskontinu) di titik $ x = 1 $ .
3). Tentukan titik dimana fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu. ?
Penyelesaian :
*). Suatu fungsi dikatakan kontinu harus memenuhi ketiga syarat yang ada, jika salah satu saja tidak terpenuhi maka fungsi tersebut sudah dipastikan tidak kontinu. Karena fungsinya dalam bentuk pecahan, maka fungsi pecahan tidak ada nilai atau tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai 0.
*). Penyebut bernilai 0.
$ x^2 - x - 6 = 0 \rightarrow (x - 3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6 } \, $ tidak kontinu pada titik $ x = 3 \, $ dan $ x = -2 $ .
4). Misalkan terdapat fungsi ,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ k \, $ sehingga $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 4 $ . ?
Penyelesaian :
*). Syarat agar fungsi kontinu di $ x = 4 \, $ adalah $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } f(x) = f(4) \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) = f(4) $ .
*). Nilai fungsi : $ f(4) $
Untuk $ x = 4, \, $ maka fungsinya adalah $ f(x) = 3x+7 $
Sehingga nilai fungsinya : $ f(4) = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kiri : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kiri, maka fungsi $ f(x) = 3x + 7 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kanan : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kanan, maka fungsi $ f(x) = kx - 1 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ 19 & = 4k-1 \\ 4k & = 20 \\ k & = 5 \end{align} $
Jadi, agar fungsi $ f(x) \, $ kontinu, maka nilai $ k \, $ adalah 5.
5). Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} ax+3 & , \text{ untuk } x \leq 2 \\ x^2 + 1 & , \text{ untuk } 2 < x \leq 4 \\ 5 - bx & , \text{ untuk } x > 4 \\ \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a + b \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x) \, $ tidak kontinu di titik $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $
*). penyelesaian di titik $ x = 2 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 2^- } ax+3 & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } x^2 + 1 \\ a.2+3 & = 2^2 + 1 \\ 2a+3 & = 5 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1 \end{align} $
*). penyelesaian di titik $ x = 4 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } x^2 + 1 & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } 5 - bx \\ 4^2 + 1 & = 5-b.4 \\ 17 & = 5-4b \\ 4b & = 5 - 17 \\ 4b & = -12 \\ b & = -3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-3) = -2 $ .
Jadi, nilai $ a + b = -2 $.