Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Messi hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 110 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit. Pada artikel ini kita akan mempelajari Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsi yang dimaksud adalah "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut adalah notasi limit.
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi $ f(x) = x + 1 \, $ untuk $ x \, $ mendekati 2?
Penyelesaian :
*). Bentuk soal bisa ditulis : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = ... ? $
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai $ x \, $ yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi $ (x + 1) $ , hasilnya terlihat pada tabel berikut.
*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi $ f(x) = x+1 \, $ untuk $ x $ mendekati 2 adalah 3. Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = 3 $ .
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya.
Contoh :
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak :
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1.?
penyelesaian :
*). Keterangan fungsi :
Jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $
Jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk $ x \, $ mendekati 1.
*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel.
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } f(x) = 1 $
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = 2 $
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.
*). Grafik fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati 1.
Jadi, fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.
Definisi/Pengertian Limit Fungsi
Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan $ f $ sebuah fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $ .
Misalkan $ f $ sebuah fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $ .
Cara Membaca notasi limit fungsi :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $ .Penyelesaian limit fungsi
Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan
Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan
Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.
1). Tentukan nilai limit fungsi $ f(x) = x + 1 \, $ untuk $ x \, $ mendekati 2?
Penyelesaian :
*). Bentuk soal bisa ditulis : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = ... ? $
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai $ x \, $ yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi $ (x + 1) $ , hasilnya terlihat pada tabel berikut.
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya.
Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kananyang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .
Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .
Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati $ c $ .
Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .
Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati $ c $ .
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak :
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1.?
penyelesaian :
*). Keterangan fungsi :
Jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $
Jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk $ x \, $ mendekati 1.
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } f(x) = 1 $
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = 2 $
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.
*). Grafik fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati 1.