Hal utama yang harus dikuasai dalam mempelajari Program Linear adalah Persamaan dan Grafik Bentuk Linear Pada Program linear. Sebenarnya materi Persamaan dan Grafik Bentuk Linear sudah ada kita bahas sebelumnya. Bagi teman-taman yang belum mempelajarinya, silahkan baca materinya yaitu untuk grafik persamaan linear pada artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya"; dan untuk menyusun persamaan garis linearnya pada artikel "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Tapi tenang saja, pada artikel ini akan kita singgung kembali tentang cara membuat grafik dan menyusun persamaan linear.
Contoh soal menentukan grafik bentuk linear:
1). gambarlah grafik :
a). $ 2x - 3y = 12 $
b). $ x = 3 $
c). $ y = -2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 3y = 12 $
*). Menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2.0 - 3y = 12 \rightarrow -3y = 12 \rightarrow y = -4 $.
titik potongnya adalah ($0,-4$).
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2x - 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
titik potongnya adalah ($6,0$).
*). Grafiknya adalah :
b). $ x = 3 $
Grafik dari persamaan $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti berikut ini.
c). $ y = -2 $
Grafik dari persamaan $ y = -2 \, $ adalah vertikal seperti berikut ini.
Contoh soal menyusun persamaan linear diketahui grafiknya :
2). Tentukan persamaan linear dari masing-masing grafik berikut ini.
Penyelesaian :
a). Gambar (a), grafiknya melalui titik (1,2) dan (5,3).
artinya : $(x_1,y_1) = (1,2) \, $ dan $ \, (x_2,y_2) = (5,3) $.
*). Menyusun persamaan garisnya :
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{3-2} & = \frac{x-1}{5-1} \\ \frac{y-2}{1} & = \frac{x-1}{4} \\ y-2 & = \frac{x-1}{4} \\ 4(y-2) & = x-1 \\ 4y - 8 & = x-1 \\ x - 4y + 7 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 4y + 7 = 0 \, $ atau $ \, x - 4y = -7 $.
b). Gambar (b), diketahui titik potong sumbu-sumbu, sehingga bisa dikalikan silang :
2 pada sumbu Y dan 3 pada sumbu X, sehingga persamaannya :
$ 2x + 3y = 2 \times 3 \rightarrow 2x + 3y = 6 $.
jadi, persamaan linearnya adalah $ 2x + 3y = 6 $.
Cara Menggambar grafik persamaan linear untuk program linear
Ada beberapa bentuk persamaan linear yaitu :
a). Bentuk $ ax + by = c $.
Untuk menggambar grafiknya, cukup kita tentukan dua titik yang berbeda lalu kita hubungan kedua titik sehingga membentuk garis lurus. Biasanya dua titik yang dipakai adalah titik potong terhadap kedua sumbu yaitu sumbu X dan sumbu Y.
Untuk sumbu X, substitusi nilai $ y = 0 $,
Untuk sumbu Y, substitusi nilai $ x = 0 $,
b). Bentuk $ x = a \, $ dan $ \, y = b $.
grafik $ x = a \, $ adalah grafik tegak atau vertikal.
grafik $ y = b \, $ adalah grafik horizontal atau mendatar.
a). Bentuk $ ax + by = c $.
Untuk menggambar grafiknya, cukup kita tentukan dua titik yang berbeda lalu kita hubungan kedua titik sehingga membentuk garis lurus. Biasanya dua titik yang dipakai adalah titik potong terhadap kedua sumbu yaitu sumbu X dan sumbu Y.
Untuk sumbu X, substitusi nilai $ y = 0 $,
Untuk sumbu Y, substitusi nilai $ x = 0 $,
b). Bentuk $ x = a \, $ dan $ \, y = b $.
grafik $ x = a \, $ adalah grafik tegak atau vertikal.
grafik $ y = b \, $ adalah grafik horizontal atau mendatar.
1). gambarlah grafik :
a). $ 2x - 3y = 12 $
b). $ x = 3 $
c). $ y = -2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 3y = 12 $
*). Menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2.0 - 3y = 12 \rightarrow -3y = 12 \rightarrow y = -4 $.
titik potongnya adalah ($0,-4$).
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2x - 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
titik potongnya adalah ($6,0$).
*). Grafiknya adalah :
b). $ x = 3 $
Grafik dari persamaan $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti berikut ini.
c). $ y = -2 $
Grafik dari persamaan $ y = -2 \, $ adalah vertikal seperti berikut ini.
Menyusun persamaan linear pada program linear yang diketahui grafiknya
Ada dua tipe yang sering digunakan dalam program linear yaitu :
a). Diketahui grafik yang melalui dua titik sembarang, misalkan titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$). Rumus yang digunakan adalah $ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \end{align} $.
b). Diketahui grafik memotong sumbu X dan Y, cara menyusun persamaannya bisa menggunakan cara (a) di atas atau langusung seperti berikut ini.
persamaan linearnya adalah $ ax + by = a.b $.
Caranya : kalikan silang saja, tipot (titik potong) yang ada di sumbu Y mengalikan $ x \, $ dan tipot yang ada di sumbu X mengalikan $ y \, $ kemudian dijumlahkan dan hasilnya perkalian kedua tipot sehingga hasilnya $ ax + by = a.b $.
a). Diketahui grafik yang melalui dua titik sembarang, misalkan titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$). Rumus yang digunakan adalah $ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \end{align} $.
b). Diketahui grafik memotong sumbu X dan Y, cara menyusun persamaannya bisa menggunakan cara (a) di atas atau langusung seperti berikut ini.
Caranya : kalikan silang saja, tipot (titik potong) yang ada di sumbu Y mengalikan $ x \, $ dan tipot yang ada di sumbu X mengalikan $ y \, $ kemudian dijumlahkan dan hasilnya perkalian kedua tipot sehingga hasilnya $ ax + by = a.b $.
2). Tentukan persamaan linear dari masing-masing grafik berikut ini.
Penyelesaian :
a). Gambar (a), grafiknya melalui titik (1,2) dan (5,3).
artinya : $(x_1,y_1) = (1,2) \, $ dan $ \, (x_2,y_2) = (5,3) $.
*). Menyusun persamaan garisnya :
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{3-2} & = \frac{x-1}{5-1} \\ \frac{y-2}{1} & = \frac{x-1}{4} \\ y-2 & = \frac{x-1}{4} \\ 4(y-2) & = x-1 \\ 4y - 8 & = x-1 \\ x - 4y + 7 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 4y + 7 = 0 \, $ atau $ \, x - 4y = -7 $.
b). Gambar (b), diketahui titik potong sumbu-sumbu, sehingga bisa dikalikan silang :
2 pada sumbu Y dan 3 pada sumbu X, sehingga persamaannya :
$ 2x + 3y = 2 \times 3 \rightarrow 2x + 3y = 6 $.
jadi, persamaan linearnya adalah $ 2x + 3y = 6 $.