Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menyelesaikan masalah program linear yaitu materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan. Pada materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan ini kita akan bahas cara-cara menentukan daerah penyelesaiannya (arsiran) yang biasa disingkat DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan cara uji sembarang titik.
Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.
Contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
1). Berikut adalah beberapa contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
a). $ 2x + 3 \geq 3 $
b). $ -x + 2y \leq 20 $
c). $ 5x - 4y < -25 $
d). $ -3x - 2y > 17 $
Catatan :
Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ yaitu :
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh (tanpa putus) garisnya.
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya.
Contoh soal Menentukan DHP nya :
2). Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a). $ 2x - y \leq 6 $
b). $ 5x + 3y > 15 $
c). $ x \geq 3 $
d). $ y < -1 $
Penyelesaian :
Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".
a). $ 2x - y \leq 6 $
*). Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $.
tipotnya adalah (0,-6).
gambar grafiknya yaitu :
*). Pilih satu titik uji, biasanya titik (0,0) karena paling mudah dihitung. Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 2x - y & \leq 6 \\ 2.0 - 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kiri (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.
b). $ 5x + 3y > 15 $
*). Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $.
tipotnya adalah (0,5).
gambar grafiknya yaitu :
*). Pilih satu titik uji yaitu titik (0,0). Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kanan (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.
c). $ x \geq 3 $
*). Grafik dari $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti gambar berikut ini.
*). Karena yang diminta lebih besar dari 3 ($x \geq 3 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di sebelah kanan garis.
d). $ y < -1 $
*). Grafik dari $ y = -1 \, $ adalah mendatar seperti gambar berikut ini.
*). Karena yang diminta lebih kecil dari -1 ($y < -1 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di bawah garis.
Contoh soal Menentukan DHP sistem pertidaksamaan :
3). Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini:
$ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$.
Penyelesaian :
*). Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan :
Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :
*). Mengambil sembarang titik uji, misalnya (0, 0), untuk disubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya.
$ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x - y & \leq 3 \\ 0 - 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
*). DHP masing-masing :
*). Daerah yang terkena arsiran paling banyak ditunjukkan gambar berikut ini :
*). Bisa juga dengan mengarsir daerah yang salah, sehingga DHP nya adalah daerah yang bersih seperti gambar berikut ini :
Contoh soal :
4). Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!
Penyelesaian :
Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".
*). Menentukan persamaan masing-masing garis :
Garis I : Kali silang,
$ 2x + (-4)y = 2 . (-4) \rightarrow 2x - 4y = - 8 \rightarrow x - 2y = - 4 $.
Garis II : Kali silang,
$ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $.
Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $.
Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $.
*). Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing :
Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling mudah adalah titik (0,0). Sebenarnya bisa kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya.
Garis I : $ x - 2y = - 4 $
$ \begin{align} x - 2y & = - 4 \\ 0 - 2.0 \, & \text{(tandanya)} \, - 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $.
Artinya 0 lebih besar dari -4, sehingga tanda ketaksamaannya $ > $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ x - 2y \geq - 4 $.
Garis II : $ 4x + 5y = 20 $
$ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{(tandanya)} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $.
Artinya 0 lebih kecil dari 20, sehingga tanda ketaksamaannya $ < $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ 4x + 5y \leq 20 $.
Garis III : $ x = 0 \, $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ x \geq 0$.
Garis IV : $ y = 0 $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ y \geq 0 $
Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut yaitu :
$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .
Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah $ >, <, \leq, \, $ atau $ \, \geq $ .
1). Berikut adalah beberapa contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
a). $ 2x + 3 \geq 3 $
b). $ -x + 2y \leq 20 $
c). $ 5x - 4y < -25 $
d). $ -3x - 2y > 17 $
Perbedaan Persamaan (baik linear atau tidak) dengan Pertidaksamaan
Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan yaitu :
Persamaan hasilnya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.
Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.
Persamaan hasilnya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.
Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) untuk satu pertidaksamaan dengan metode uji sembarang titik
Langkah-langkah Menentukan DHP nya :
i). Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $.
ii). Pilih satu titik sembarang yang tidak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertidaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik yang diuji tersebut adalah DHP nya. Jika titik yang diuji tidak memenuhi pertidaksamaan, maka DPH nya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.
iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.
i). Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $.
ii). Pilih satu titik sembarang yang tidak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertidaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik yang diuji tersebut adalah DHP nya. Jika titik yang diuji tidak memenuhi pertidaksamaan, maka DPH nya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.
iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.
Catatan :
Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ yaitu :
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh (tanpa putus) garisnya.
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya.
Contoh soal Menentukan DHP nya :
2). Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a). $ 2x - y \leq 6 $
b). $ 5x + 3y > 15 $
c). $ x \geq 3 $
d). $ y < -1 $
Penyelesaian :
Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".
a). $ 2x - y \leq 6 $
*). Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $.
tipotnya adalah (0,-6).
gambar grafiknya yaitu :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 2x - y & \leq 6 \\ 2.0 - 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kiri (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.
b). $ 5x + 3y > 15 $
*). Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $.
tipotnya adalah (0,5).
gambar grafiknya yaitu :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kanan (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.
c). $ x \geq 3 $
*). Grafik dari $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti gambar berikut ini.
d). $ y < -1 $
*). Grafik dari $ y = -1 \, $ adalah mendatar seperti gambar berikut ini.
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem Pertidaksamaan
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian (DHP) yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada.
Langkah-langkah menentukan DHP nya :
1). Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya.
2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu :
i). DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.
ii). DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.
Langkah-langkah menentukan DHP nya :
1). Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya.
2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu :
i). DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.
ii). DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.
3). Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini:
$ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$.
Penyelesaian :
*). Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan :
Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :
$ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x - y & \leq 3 \\ 0 - 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
*). DHP masing-masing :
Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika diketahui DHP nya
Pada bagian terakhir dari artikel ini kita membahas kebalikannya yaitu diketahui Daerah Himpunan Penyelesaiannya dan kita diminta untuk menentukan sistem pertidaksamaannya.
Langkah-langkahnya :
i). Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.
ii). Menentukan tanda ketaksamaannya ($>, \, \leq , \, \geq , \, < $) sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.
Langkah-langkahnya :
i). Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.
ii). Menentukan tanda ketaksamaannya ($>, \, \leq , \, \geq , \, < $) sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.
4). Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!
Penyelesaian :
Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".
*). Menentukan persamaan masing-masing garis :
$ 2x + (-4)y = 2 . (-4) \rightarrow 2x - 4y = - 8 \rightarrow x - 2y = - 4 $.
Garis II : Kali silang,
$ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $.
Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $.
Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $.
*). Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing :
Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling mudah adalah titik (0,0). Sebenarnya bisa kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya.
Garis I : $ x - 2y = - 4 $
$ \begin{align} x - 2y & = - 4 \\ 0 - 2.0 \, & \text{(tandanya)} \, - 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $.
Artinya 0 lebih besar dari -4, sehingga tanda ketaksamaannya $ > $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ x - 2y \geq - 4 $.
Garis II : $ 4x + 5y = 20 $
$ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{(tandanya)} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $.
Artinya 0 lebih kecil dari 20, sehingga tanda ketaksamaannya $ < $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ 4x + 5y \leq 20 $.
Garis III : $ x = 0 \, $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ x \geq 0$.
Garis IV : $ y = 0 $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ y \geq 0 $
Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut yaitu :
$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .