Satu lagi materi dasar yang harus dikuasai untuk memudahkan dalam memecahkan masalah program linear yaitu Menyusun Model Matematika untuk Program Linear. Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, kita harus membaca soal ceritanya secara cermat dan memahami soal secara mendalam. Berikut adalah alur dari permasalahan nyata (dalam bentuk soal cerita) yang diubah dalam bentuk model matematika (agar bisa diselesaikan) dan selanjutnya diselesaikan dengan program linear.
Contoh soal menyusun Model Matematika untuk Program Linear :
1). Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg telur. Jika banyaknya roti A yang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model matematikanya!
Penyelesaian :
*). Agar lebih mudah dalam membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
*). Menentukan bentuk pertidaksamaannya (fungsi kendala) berdasarkan kendalanya :
Kendala pertama tepung terigu :
Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($x + 1,5y$) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $ atau kalikan 2 : $ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala kedua telur :
Banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($0,5x + y$) kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $ atau kalikan 2 : $ x + 2y \leq 20 $
Bagian ketiga :
$ x $ dan $ y $ adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga $ x $ dan $ y $ tidak mungkin negatif. Oleh karena itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matematikanya adalah $ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $. C adalah bilangan cacah yang beranggotakan {0,1,2,3,4,5,...}.
2). Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar- besarnya!
Penyelesaian :
*). Produknya adalah pakaian anak-anak dan pakaian dewasa serta kendalanya adalah waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan banyaknya pakaian anak-anak = $ x $ dan banyaknya pakaian dewasa = $ y $. Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut!
*). Menyusun fungsi kendalanya :
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $ atau ditulis $ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Dimana fungsi tujuannya adalah fungsi keuntungan yang akan ditentukan nilai maksimumnya.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .
3). Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahan I dan 20 ml bahan II. Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan I dan 30 ml bahan II. Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakan untuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml dan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanya agar biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!
Penyelesaian :
*). Produknya adalah larutan A dan larutan B dan kendalanya adalah bahan I dan II.
Misalkan banyaknya larutan A adalah $ x $ dan banyaknya larutan B adalah $ y $. Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikan dalam tabel seperti berikut ini.
*). Menyusun fungsi kendala berdasarkan kendalanya :
di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya "$\geq$".
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.
4). Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini.
Penyelesaian :
*). Produknya adalah semangka dan melon serta kendalanya adalah kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sebanyak $ x \, $ dan melon sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendala sesuai batasannya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
banyak buah positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
5). Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m$^2$ dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.
Penyelesaian :
*). Produknya adalah mobil dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan mobil sebanyak $ x $ dan bus sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendalanya :
daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.
Jadi, model matematikanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.
Pengertian Model Matematika
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi. Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:
1. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ dan
2. Fungsi kendala (berupa sistem pertidaksamaan linear).
Langkah-langkah membuat model matematikanya :
i). Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan adalah produknya).
ii). Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala yang ada.
iii). Susun fungsi tujuannya.
Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang digunakan :
*). tanda $ \geq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
*). tanda $ \leq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling banyak.
1. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ dan
2. Fungsi kendala (berupa sistem pertidaksamaan linear).
Langkah-langkah membuat model matematikanya :
i). Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan adalah produknya).
ii). Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala yang ada.
iii). Susun fungsi tujuannya.
Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang digunakan :
*). tanda $ \geq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
*). tanda $ \leq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling banyak.
1). Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg telur. Jika banyaknya roti A yang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model matematikanya!
Penyelesaian :
*). Agar lebih mudah dalam membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
Kendala pertama tepung terigu :
Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($x + 1,5y$) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $ atau kalikan 2 : $ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala kedua telur :
Banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($0,5x + y$) kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $ atau kalikan 2 : $ x + 2y \leq 20 $
Bagian ketiga :
$ x $ dan $ y $ adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga $ x $ dan $ y $ tidak mungkin negatif. Oleh karena itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matematikanya adalah $ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $. C adalah bilangan cacah yang beranggotakan {0,1,2,3,4,5,...}.
2). Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar- besarnya!
Penyelesaian :
*). Produknya adalah pakaian anak-anak dan pakaian dewasa serta kendalanya adalah waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan banyaknya pakaian anak-anak = $ x $ dan banyaknya pakaian dewasa = $ y $. Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut!
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $ atau ditulis $ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Dimana fungsi tujuannya adalah fungsi keuntungan yang akan ditentukan nilai maksimumnya.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .
3). Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahan I dan 20 ml bahan II. Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan I dan 30 ml bahan II. Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakan untuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml dan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanya agar biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!
Penyelesaian :
*). Produknya adalah larutan A dan larutan B dan kendalanya adalah bahan I dan II.
Misalkan banyaknya larutan A adalah $ x $ dan banyaknya larutan B adalah $ y $. Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikan dalam tabel seperti berikut ini.
di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya "$\geq$".
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.
4). Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini.
Penyelesaian :
*). Produknya adalah semangka dan melon serta kendalanya adalah kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sebanyak $ x \, $ dan melon sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
banyak buah positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
5). Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m$^2$ dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.
Penyelesaian :
*). Produknya adalah mobil dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan mobil sebanyak $ x $ dan bus sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.
Jadi, model matematikanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.