Pada kali ini kita akan membahas materi Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang. Pada materi sebelumnya "Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut", kita telah mempelajari jenis-jenis sudut yang salah satunya sudut siku-siku ($90^\circ$) dan sudut lurus ($180^\circ$). Dari hubungan antar sudut, kita akan mempelajari tiga jenis hubungan yaitu sudut berpelurus, sudut berpenyiku, dan sudut bertolak belakang. Perhatikan gambarnya berikut ini,
Contoh :
1). Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut
a). $ 37^\circ $
b). $ 65^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut penyiku dari $ 37^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow x = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 37^\circ \, $ adalah $ 53^\circ $ .
b). Misalkan sudut penyiku dari $ 65^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 65^\circ = 90^\circ \rightarrow y = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 65^\circ \, $ adalah $ 25^\circ $ .
2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut penyikunya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan penyikunya?
Penyelesaian :
*). Misalkan penyiku dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpenyiku adalah $ 90^\circ $
$ z + x = 90^\circ \rightarrow z + 3z = 90^\circ \rightarrow 4z = 90^\circ \rightarrow z = \frac{90^\circ}{4} = 22,5^\circ $
Diperoleh besar $ z = 22,5^\circ $
Sudut penyikunya : $ x = 3z = 3 \times 22,5^\circ = 67,5^\circ $
Jadi, besar $ z = 22,5^\circ \, $ dan penyikunya adalah $ 67,5^\circ $
3). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ x \, $ dan $ b \, $ dari masing-masing gambarnya!
Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2x, \, 3x , \, $ dan $ x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 3x + x = 90^\circ \rightarrow 6x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{6} = 15^\circ $
Jadi, besar $ x = 15^\circ $
*). Gambar b), sudut-sudut $ 6x, \, $ dan $ 14x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 6x + 14x = 90^\circ \rightarrow 20x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{20} = 4,5^\circ $
Jadi, besar $ x = 4,5^\circ $
*). Gambar c), sudut-sudut $ 2x, \, 5x , \, $ dan $ 2x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 5x + 2x = 90^\circ \rightarrow 9x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{9} = 10^\circ $
Jadi, besar $ x = 10^\circ $
*). Gambar a), sudut-sudut $ b, \, $ dan $ 37^\circ \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ b + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow b = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, besar $ b = 53^\circ $
Contoh :
1). Tentukan besar sudut pelurus dari sudut-sudut
a). $ 70^\circ $
b). $ 120^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut pelurus dari $ 70^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 70^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 70^\circ \, $ adalah $ 110^\circ $ .
b). Misalkan sudut pelurus dari $ 120^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 120^\circ = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 120^\circ \, $ adalah $ 60^\circ $ .
2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut pelurusnya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan pelurusnya?
Penyelesaian :
*). Misalkan pelurus dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpelurus adalah $ 180^\circ $
$ z + x = 180^\circ \rightarrow z + 3z = 180^\circ \rightarrow 4z = 180^\circ \rightarrow z = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $
Diperoleh besar $ z = 45^\circ $
Sudut pelurusnya : $ x = 3z = 3 \times 45^\circ = 135^\circ $
Jadi, besar $ z = 45^\circ \, $ dan pelurusnya adalah $ 135^\circ $
3). Dari gambar di bawah ini, tentukan besar sudut KON dan sudut MON ?
Penyelesaian :
*). Dari gambar, sudut $ 2x , \, 3x , \, $ dan $ 85 \, $ adalah berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ 2x + 3x + 85^\circ = 180^\circ \rightarrow 5x = 180^\circ - 85^\circ \rightarrow 5x = 95^\circ \rightarrow x = \frac{95^\circ}{5} = 19^\circ $
*). Menentukan besar sudut KON dan MON :
$ \angle KON = 2x = 2 \times 19^\circ = 38^\circ $
$ \angle MON = 3x = 3 \times 19^\circ = 57^\circ $
Jadi, besar $ \angle KON = 38^\circ \, $ dan $ \, \angle MON = 57^\circ $ .
4). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ a \, $ dan $ c \, $ dari masing-masing gambarnya!
Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2a, \, $ dan $ a \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ 2a + a = 180^\circ \rightarrow 3a = 180^\circ \rightarrow a = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ a = 60^\circ $
*). Gambar b), ketiga sudut $ c \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ c + c + c = 180^\circ \rightarrow 3c = 180^\circ \rightarrow c = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ c = 60^\circ $
Contoh :
1). Perhatikan gambar berikut, tentukan nilai $ x + y + z $ ?
Penyelesaian :
*). Sudut $ 2x \, $ dan $ 120^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 2x = 120^\circ \rightarrow x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $
*). Sudut $ 3y \, $ dan $ 42^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 3y = 42^\circ \rightarrow y = \frac{42^\circ}{3} = 14^\circ $
*). Sudut $ 5z+3 \, $ dan $ 68^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 5z + 3 = 68^\circ \rightarrow 5z = 65^\circ \rightarrow z = \frac{65^\circ}{5} = 13^\circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ x + y + z = 60^\circ + 14^\circ + 13^\circ = 87^\circ $
Jadi, nilai $ x + y + z = 87^\circ $ .
2). Perhatikan gambar berikut,
a). tentukan pasangan sudut yang saling bertolak belakang,
b). tentukan besar ketiga sudut yang lainnya.
Penyelesaian :
a). Pasangan sudut-sudut yang bertolak belakang :
$ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
$ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
b). Menentukan besar sudut yang lainnya, dengan $ \angle AOC = 35^\circ $
*). $ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
sehingga $ \angle BOD = \angle AOC \rightarrow \angle BOD = 35^\circ $
*). $ \angle AOC \, $ dan $ \angle BOC \, $ berpelurus sehingga :
$ \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow 35^\circ + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow \angle BOC = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ $
*). $ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
sehingga $ \angle AOD = \angle BOC = 145^\circ $
Jadi, diperoleh : $ \angle BOD = 35^\circ , \, \angle BOC = 145^\circ , \, $ dan $ \, \angle AOD = 145^\circ $
Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku (berkomplemen)
Dua atau lebih sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah semua sudutnya $ 90^\circ \, $ atau semua sudutnya membentuk sudut siku-siku. Misalkan gambar di bawah ini,
Keterangan :
*). Sudut $ r \, $ dan $ s \, $ disebut saling berpenyiku, artinya penyiku dari $ r \, $ adalah $ s \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpenyiku.
*). Sudut $ r \, $ dan $ s \, $ disebut saling berpenyiku, artinya penyiku dari $ r \, $ adalah $ s \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpenyiku.
1). Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut
a). $ 37^\circ $
b). $ 65^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut penyiku dari $ 37^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow x = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 37^\circ \, $ adalah $ 53^\circ $ .
b). Misalkan sudut penyiku dari $ 65^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 65^\circ = 90^\circ \rightarrow y = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 65^\circ \, $ adalah $ 25^\circ $ .
2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut penyikunya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan penyikunya?
Penyelesaian :
*). Misalkan penyiku dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpenyiku adalah $ 90^\circ $
$ z + x = 90^\circ \rightarrow z + 3z = 90^\circ \rightarrow 4z = 90^\circ \rightarrow z = \frac{90^\circ}{4} = 22,5^\circ $
Diperoleh besar $ z = 22,5^\circ $
Sudut penyikunya : $ x = 3z = 3 \times 22,5^\circ = 67,5^\circ $
Jadi, besar $ z = 22,5^\circ \, $ dan penyikunya adalah $ 67,5^\circ $
3). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ x \, $ dan $ b \, $ dari masing-masing gambarnya!
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2x, \, 3x , \, $ dan $ x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 3x + x = 90^\circ \rightarrow 6x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{6} = 15^\circ $
Jadi, besar $ x = 15^\circ $
*). Gambar b), sudut-sudut $ 6x, \, $ dan $ 14x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 6x + 14x = 90^\circ \rightarrow 20x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{20} = 4,5^\circ $
Jadi, besar $ x = 4,5^\circ $
*). Gambar c), sudut-sudut $ 2x, \, 5x , \, $ dan $ 2x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 5x + 2x = 90^\circ \rightarrow 9x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{9} = 10^\circ $
Jadi, besar $ x = 10^\circ $
*). Gambar a), sudut-sudut $ b, \, $ dan $ 37^\circ \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ b + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow b = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, besar $ b = 53^\circ $
Hubungan Antar Sudut : Berpelurus (bersuplemen)
Dua atau lebih sudut dikatakan berpelurus jika jumlah semua sudutnya $ 180^\circ \, $ atau semua sudutnya membentuk sudut lurus (garis lurus). Misalkan gambar di bawah ini,
Keterangan :
*). Sudut $ t \, $ dan $ u \, $ disebut saling berpelurus, artinya pelurus dari $ t \, $ adalah $ u \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpelurus.
*). Sudut $ t \, $ dan $ u \, $ disebut saling berpelurus, artinya pelurus dari $ t \, $ adalah $ u \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpelurus.
1). Tentukan besar sudut pelurus dari sudut-sudut
a). $ 70^\circ $
b). $ 120^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut pelurus dari $ 70^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 70^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 70^\circ \, $ adalah $ 110^\circ $ .
b). Misalkan sudut pelurus dari $ 120^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 120^\circ = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 120^\circ \, $ adalah $ 60^\circ $ .
2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut pelurusnya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan pelurusnya?
Penyelesaian :
*). Misalkan pelurus dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpelurus adalah $ 180^\circ $
$ z + x = 180^\circ \rightarrow z + 3z = 180^\circ \rightarrow 4z = 180^\circ \rightarrow z = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $
Diperoleh besar $ z = 45^\circ $
Sudut pelurusnya : $ x = 3z = 3 \times 45^\circ = 135^\circ $
Jadi, besar $ z = 45^\circ \, $ dan pelurusnya adalah $ 135^\circ $
3). Dari gambar di bawah ini, tentukan besar sudut KON dan sudut MON ?
*). Dari gambar, sudut $ 2x , \, 3x , \, $ dan $ 85 \, $ adalah berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ 2x + 3x + 85^\circ = 180^\circ \rightarrow 5x = 180^\circ - 85^\circ \rightarrow 5x = 95^\circ \rightarrow x = \frac{95^\circ}{5} = 19^\circ $
*). Menentukan besar sudut KON dan MON :
$ \angle KON = 2x = 2 \times 19^\circ = 38^\circ $
$ \angle MON = 3x = 3 \times 19^\circ = 57^\circ $
Jadi, besar $ \angle KON = 38^\circ \, $ dan $ \, \angle MON = 57^\circ $ .
4). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ a \, $ dan $ c \, $ dari masing-masing gambarnya!
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2a, \, $ dan $ a \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ 2a + a = 180^\circ \rightarrow 3a = 180^\circ \rightarrow a = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ a = 60^\circ $
*). Gambar b), ketiga sudut $ c \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ c + c + c = 180^\circ \rightarrow 3c = 180^\circ \rightarrow c = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ c = 60^\circ $
Hubungan Antar Sudut : Bertolak Belakang
Jika dua sudut bertolak belakang, maka besar sudutnya sama.
Perhatikan gambar berikut,
*). Sudut AOB bertolak belakang dengan sudut COD,
sehingga $ \angle AOB = \angle COD $
*). Sudut BOC bertolak belakang dengan sudut AOD,
sehingga $ \angle BOC = \angle AOD $
Perhatikan gambar berikut,
sehingga $ \angle AOB = \angle COD $
*). Sudut BOC bertolak belakang dengan sudut AOD,
sehingga $ \angle BOC = \angle AOD $
1). Perhatikan gambar berikut, tentukan nilai $ x + y + z $ ?
*). Sudut $ 2x \, $ dan $ 120^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 2x = 120^\circ \rightarrow x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $
*). Sudut $ 3y \, $ dan $ 42^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 3y = 42^\circ \rightarrow y = \frac{42^\circ}{3} = 14^\circ $
*). Sudut $ 5z+3 \, $ dan $ 68^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 5z + 3 = 68^\circ \rightarrow 5z = 65^\circ \rightarrow z = \frac{65^\circ}{5} = 13^\circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ x + y + z = 60^\circ + 14^\circ + 13^\circ = 87^\circ $
Jadi, nilai $ x + y + z = 87^\circ $ .
2). Perhatikan gambar berikut,
b). tentukan besar ketiga sudut yang lainnya.
Penyelesaian :
a). Pasangan sudut-sudut yang bertolak belakang :
$ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
$ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
b). Menentukan besar sudut yang lainnya, dengan $ \angle AOC = 35^\circ $
*). $ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
sehingga $ \angle BOD = \angle AOC \rightarrow \angle BOD = 35^\circ $
*). $ \angle AOC \, $ dan $ \angle BOC \, $ berpelurus sehingga :
$ \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow 35^\circ + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow \angle BOC = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ $
*). $ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
sehingga $ \angle AOD = \angle BOC = 145^\circ $
Jadi, diperoleh : $ \angle BOD = 35^\circ , \, \angle BOC = 145^\circ , \, $ dan $ \, \angle AOD = 145^\circ $