Salah satu penerapan atau penggunaan turunan dalam matematika adalah menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva pada titik tertentu. Pada artikel kali ini kita akan mempelajari Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan, sebaiknya juga baca materi "definisi turunan" , "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
Contoh :
1). Tentukan persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva $ y = x^3 -3x + 4 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :$ y = x^3 -3x + 4 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 3 $
*). Menentukan gradien di titik (2,6) :
$ m = f^\prime (2) \rightarrow m = 3.2^2 - 3 = 9 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (2,6) dan $ m = 9 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-6 & = 9 (x -2 ) \\ y-6 & = 9x - 18 \\ y & = 9x - 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 9x - 12 $ .
*). Secara geometri seperti gambar berikut :
2). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - x + 2 \, $ di titik dengan absis 1, dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap sumbu X dan Sumbu Y ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung ($x_1,y_1$) dengan substitusi absis $ x = 1 $ ke persamaan kurvanya,
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 - x + 2 = 1^2 - 1 + 2 = 2 $
Sehingga titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,2) $
*). Menentukan turunan fungsi,
$ y = x^2 - x + 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 1 $
*). Menentukan gradiennya di titik (1,2)
$ m = f^\prime (1) \rightarrow m = 2.1 - 1 = 1 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (1,2) dan $ m = 1 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-2 & = 1 (x -1 ) \\ y-2 & = x - 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = x + 1 $ .
*). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ y = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow 0 = x + 1 \rightarrow x = -1 $ .
Sehingga titik potong sumbu X di titik ($-1,0$).
Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow y = 0 + 1 \rightarrow y = 1 $ .
Sehingga titik potong sumbu Y di titik ($0,1$).
3). Garis $ y = x + 1 $ memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 1 $ di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. Jika titik potong kedua garis singgung adalah ($a,b$), maka nilai $ a + b = .... $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kedua persamaan yaitu titik A dan B
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2x + 1 & = x + 1 \\ x^2 + x & = 0 \\ x(x+1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -1 \end{align} $
Substitusi $ x = 0 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke salah satu persamaan :
untuk $ x = 0 \rightarrow y = x+1 = 0 + 1 = 1 $
Sehingga titik potong pertamanya A(0,1),
untuk $ x = -1 \rightarrow y = x+1 = -1 + 1 = 0 $
Sehingga titik potong keduanya B($ -1,0$),
Diperoleh titik potongnya di A(0,1) dan B($ -1,0$)
*). Menentukan persamaan garis singgung di titik A dan B pada parabola,
Turunan fungsi : $ y = x^2 + 2x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 2 $
Titik A(0,1),
gradien : $ m = f^\prime (0) = 2.0 + 2 = 2 $
PGS : $ y - y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y - 1 = 2(x - 0) \rightarrow y = 2x + 1 $
Titik B($ -1,0$),
gradien : $ m = f^\prime (-1) = 2.(-1) + 2 = 0 $
PGS : $ y - y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y - 0 = 0(x - (-1)) \rightarrow y = 0 $
Diperoleh persamaan garis singgung di titik A adalah $ y = 2x + 1 \, $ dan di titik B adalah $ y = 0 $ .
*). Menentukan titik potong kedua garis singgung :
garis singgungnya : $ y = 0 \, $ dan $ y = 2x + 1 $
substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 2x + 1 \\ 0 & = 2x + 1 \\ 2x &= -1 \\ x & = - \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Diperoleh titik potong kedua garis singgungnya ($ - \frac{1}{2} , 0 $) ,
pada soal juga dikatakan titik potong kedua garis singgung adalah ($a,b$) ,
aritnya $ (a,b) = (- \frac{1}{2} , 0) \, $
Sehingga nilai $ a + b = - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{1}{2} $
Contoh :
4). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - 2x + 3 \, $ dengan gradien 2.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 - 2x + 3 \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 2 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 2 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2x-2 \rightarrow x = 2 $
Substitusi $ x = 2 \, $ ke parabola,
$ x = 2 \rightarrow y = x^2 - 2x + 3 = 2^2 - 2.2 + 3 = 3 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2,3) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (2,3) dan $ m = 2 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-3 & = 2 (x -2 ) \\ y-3 & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 1 $ .
5). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 + x -1 \, $ yang sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ y = 7x + 4 \, $ adalah $ m_1 = 7 $
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 \, $ , maka gradiennya sama, sehingga $ m = m_1 = 7 $
artinya gradien garis singgunya adalah 7.
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 + x -1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 1 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 7 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 7 = 2x + 1 \rightarrow x = 3 $
Substitusi $ x = 3 \, $ ke parabola,
$ x = 3 \rightarrow y = x^2 + x -1 = 3^2 + 3 -1 = 11 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (3,11) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (3,11) dan $ m = 7 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-11 & = 7 (x -3 ) \\ y-11 & = 7x - 21 \\ y & = 7x - 10 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 7x - 10 $ .
6). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = \sqrt{x-3} \, $ yang tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $
$ 6x + 3y - 4 = 0 \rightarrow 3y = -6x + 4 \rightarrow y = -2x + \frac{4}{3} $
gradiennya adalah $ m_1 = -2 $
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $ , maka berlaku
$ m . m_1 = -1 \rightarrow m . (-2) = -1 \rightarrow m = \frac{1}{2} $
artinya gradien garis singgunya adalah $ \frac{1}{2} $ .
*). Menentukan turunan,
$ y = \sqrt{x-3} \rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x) \\ \frac{1}{2} & = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} \\ 2\sqrt{x-3} & = 2 \\ \sqrt{x-3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-3})^2 & = 1^2 \\ x - 3 & = 1 \\ x & = 4 \end{align} $
Substitusi $ x = 4 \, $ ke persamaan kurva,
$ x = 4 \rightarrow y = \sqrt{x-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (4,1) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (4,1) dan $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-1 & = \frac{1}{2}(x -4 ) \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y-2 & = x-4 \\ 2y & = x - 2 \\ x - 2y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 2y = 2 $ .
Menentukan Gradien garis singgung
Perhatikan gambar berikut :
Titik P($x, y$) adalah sembarang titik pada kurva $y = f(x) $, sehingga koordinat titik P dapat dituliskan sebagai ($x, f(x)$). Absis titik Q adalah ($x + h$) sehingga koordinat titik Q adalah {$(x + h), (f(x + h)$}. Jika h $\rightarrow $ 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai berikut.
$ \begin{align} m & = \tan QPR \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = f^\prime (x) \end{align} $
Artinya gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) adalah $ m = f^\prime (a) $ .
Langkah-langkah menentukan gradien di titik A($a,f(a)$) pada kurva $ y = f(x) \, $ :
i). Tentukan turunan fungsinya ($f^\prime (x)$)
ii). Substitusi nilai $ x = a \, $ atau absis titik A($a,f(a)$)
iii). Gradiennya ($m$) adalah $ m = f^\prime (a) $
$ \begin{align} m & = \tan QPR \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = f^\prime (x) \end{align} $
Artinya gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) adalah $ m = f^\prime (a) $ .
Langkah-langkah menentukan gradien di titik A($a,f(a)$) pada kurva $ y = f(x) \, $ :
i). Tentukan turunan fungsinya ($f^\prime (x)$)
ii). Substitusi nilai $ x = a \, $ atau absis titik A($a,f(a)$)
iii). Gradiennya ($m$) adalah $ m = f^\prime (a) $
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Secara umum persamaan garis di titik A($x_1, y_1$) pada kurva $ y = f(x) \, $ dapat ditentukan dengan rumus :
Persamaan garis lurus : $ y - y_1 = m(x-x_1) \, $
dengan gradiennya : $ m = f^\prime (x_1) $ .
Untuk lebih lengkap tentang persamaan garis lurus, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus".
Persamaan garis lurus : $ y - y_1 = m(x-x_1) \, $
dengan gradiennya : $ m = f^\prime (x_1) $ .
Untuk lebih lengkap tentang persamaan garis lurus, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus".
1). Tentukan persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva $ y = x^3 -3x + 4 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
*). Menentukan gradien di titik (2,6) :
$ m = f^\prime (2) \rightarrow m = 3.2^2 - 3 = 9 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (2,6) dan $ m = 9 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-6 & = 9 (x -2 ) \\ y-6 & = 9x - 18 \\ y & = 9x - 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 9x - 12 $ .
*). Secara geometri seperti gambar berikut :
2). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - x + 2 \, $ di titik dengan absis 1, dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap sumbu X dan Sumbu Y ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung ($x_1,y_1$) dengan substitusi absis $ x = 1 $ ke persamaan kurvanya,
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 - x + 2 = 1^2 - 1 + 2 = 2 $
Sehingga titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,2) $
*). Menentukan turunan fungsi,
$ y = x^2 - x + 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 1 $
*). Menentukan gradiennya di titik (1,2)
$ m = f^\prime (1) \rightarrow m = 2.1 - 1 = 1 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (1,2) dan $ m = 1 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-2 & = 1 (x -1 ) \\ y-2 & = x - 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = x + 1 $ .
*). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ y = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow 0 = x + 1 \rightarrow x = -1 $ .
Sehingga titik potong sumbu X di titik ($-1,0$).
Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow y = 0 + 1 \rightarrow y = 1 $ .
Sehingga titik potong sumbu Y di titik ($0,1$).
3). Garis $ y = x + 1 $ memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 1 $ di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. Jika titik potong kedua garis singgung adalah ($a,b$), maka nilai $ a + b = .... $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kedua persamaan yaitu titik A dan B
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2x + 1 & = x + 1 \\ x^2 + x & = 0 \\ x(x+1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -1 \end{align} $
Substitusi $ x = 0 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke salah satu persamaan :
untuk $ x = 0 \rightarrow y = x+1 = 0 + 1 = 1 $
Sehingga titik potong pertamanya A(0,1),
untuk $ x = -1 \rightarrow y = x+1 = -1 + 1 = 0 $
Sehingga titik potong keduanya B($ -1,0$),
Diperoleh titik potongnya di A(0,1) dan B($ -1,0$)
*). Menentukan persamaan garis singgung di titik A dan B pada parabola,
Turunan fungsi : $ y = x^2 + 2x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 2 $
Titik A(0,1),
gradien : $ m = f^\prime (0) = 2.0 + 2 = 2 $
PGS : $ y - y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y - 1 = 2(x - 0) \rightarrow y = 2x + 1 $
Titik B($ -1,0$),
gradien : $ m = f^\prime (-1) = 2.(-1) + 2 = 0 $
PGS : $ y - y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y - 0 = 0(x - (-1)) \rightarrow y = 0 $
Diperoleh persamaan garis singgung di titik A adalah $ y = 2x + 1 \, $ dan di titik B adalah $ y = 0 $ .
*). Menentukan titik potong kedua garis singgung :
garis singgungnya : $ y = 0 \, $ dan $ y = 2x + 1 $
substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 2x + 1 \\ 0 & = 2x + 1 \\ 2x &= -1 \\ x & = - \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Diperoleh titik potong kedua garis singgungnya ($ - \frac{1}{2} , 0 $) ,
pada soal juga dikatakan titik potong kedua garis singgung adalah ($a,b$) ,
aritnya $ (a,b) = (- \frac{1}{2} , 0) \, $
Sehingga nilai $ a + b = - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{1}{2} $
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika diketahi gradiennya
Dalam menyusun persamaan garis singgung pada kurva, yang kita butuhkan adalah titik singgung dan gradiennya. Jika diketahui gradiennya, maka kita tinggal mencari titik singgungnya dengan menggunakan hubungan $ m = f^\prime (x) $ .
Gradien yang diketahui terkadang harus kita cari dulu karena biasanya ada kaitannya dengan garis lain yaitu sejajar atau tegak lurus. Silahkan baca materi "hubungan dua garis" untuk lebih jelasnya.
Dua garis sejajar maka gradiennya sama ($m_1 = m_2$)
Dua garis tegak lurus berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $ .
Gradien yang diketahui terkadang harus kita cari dulu karena biasanya ada kaitannya dengan garis lain yaitu sejajar atau tegak lurus. Silahkan baca materi "hubungan dua garis" untuk lebih jelasnya.
Dua garis sejajar maka gradiennya sama ($m_1 = m_2$)
Dua garis tegak lurus berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $ .
4). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - 2x + 3 \, $ dengan gradien 2.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 - 2x + 3 \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 2 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 2 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2x-2 \rightarrow x = 2 $
Substitusi $ x = 2 \, $ ke parabola,
$ x = 2 \rightarrow y = x^2 - 2x + 3 = 2^2 - 2.2 + 3 = 3 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2,3) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (2,3) dan $ m = 2 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-3 & = 2 (x -2 ) \\ y-3 & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 1 $ .
5). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 + x -1 \, $ yang sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ y = 7x + 4 \, $ adalah $ m_1 = 7 $
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 \, $ , maka gradiennya sama, sehingga $ m = m_1 = 7 $
artinya gradien garis singgunya adalah 7.
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 + x -1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 1 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 7 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 7 = 2x + 1 \rightarrow x = 3 $
Substitusi $ x = 3 \, $ ke parabola,
$ x = 3 \rightarrow y = x^2 + x -1 = 3^2 + 3 -1 = 11 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (3,11) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (3,11) dan $ m = 7 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-11 & = 7 (x -3 ) \\ y-11 & = 7x - 21 \\ y & = 7x - 10 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 7x - 10 $ .
6). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = \sqrt{x-3} \, $ yang tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $
$ 6x + 3y - 4 = 0 \rightarrow 3y = -6x + 4 \rightarrow y = -2x + \frac{4}{3} $
gradiennya adalah $ m_1 = -2 $
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $ , maka berlaku
$ m . m_1 = -1 \rightarrow m . (-2) = -1 \rightarrow m = \frac{1}{2} $
artinya gradien garis singgunya adalah $ \frac{1}{2} $ .
*). Menentukan turunan,
$ y = \sqrt{x-3} \rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x) \\ \frac{1}{2} & = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} \\ 2\sqrt{x-3} & = 2 \\ \sqrt{x-3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-3})^2 & = 1^2 \\ x - 3 & = 1 \\ x & = 4 \end{align} $
Substitusi $ x = 4 \, $ ke persamaan kurva,
$ x = 4 \rightarrow y = \sqrt{x-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (4,1) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (4,1) dan $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-1 & = \frac{1}{2}(x -4 ) \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y-2 & = x-4 \\ 2y & = x - 2 \\ x - 2y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 2y = 2 $ .