Selain menentukan "persamaan garis singgung pada kurva", aplikasi lain turunan adalah menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun yang akan kita pelajari pada artikel kali ini. Interval fungsi naik dan fungsi turun menggunakan turunan akan mudah kita pelajari jika kita sudah memahami materi "turunan fungsi aljabar" atau "turunan fungsi trigonometri".
Contoh :
1). Tentukan interval-interval dari fungsi $ f(x) = x^2 - 4x $ agar fungsi:
a. naik,
b. turun.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^2 - 4x \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 4 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Interval fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow 2x - 4 > 0 \rightarrow 2x > 4 \rightarrow x > 2 $
Sehingga, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 $ .
Artinya tanpa menggunakan syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka pasti interval yang lainnya adalah turun.
Sehingga fungsinya turun pada interval : $ x < 2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 \, $ dan turun pada interval $ x < 2 $ .
2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 12x + 9 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & > 0 \\ (x - 1)(x - 3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align} $
Menyelesaikan pertidaksamaan, buat garis bilangan :
dari garis bilangan di atas, yang diminta adalah $ > 0 \, $ artinya daerah yang positif,
sehingga fungsi naik pada interval : $ x < 1 \vee x > 3 $ .
Selain interval naik di atas, pasti untuk interval turun (bisa juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun),
Sehingga fungsi turun pada interval : $ 1 < x < 3 $
Jadi, interval naik $ x < 1 \vee x > 3 \, $ dan turunnya $ 1 < x < 3 $ .
*). Gambar grafik fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $
3). Tentukan nilai $ p \, $ pada fungsi $ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \, $ agar fungsinya selalu naik ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \rightarrow y^\prime = x^2 - 2x + p $
*). Syarat fungsi naik : $ y^\prime > 0 $
Sehingga : $ x^2 - 2x + p > 0 \, $ .....pert(i).
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk $ x^2 - 2x + p \, $ nilainya selalu positif untuk semua nilai $ x \, $ yang terpenuhi jika berlaku definit positif. Materi definit positif bisa dibaca pada artikel "Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)".
Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
*). Menyelesaikan syarat definit positif :
Bentuk $ x^2 - 2x + p \rightarrow a = 1, \, b = -2 , \, c= p $
Syarat pertama : $ a > 0 \rightarrow 1 > 0 \, $ (benar)
Syarat kedua : $ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.1.p & < 0 \\ 4 - 4p & < 0 \\ - 4p & < -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ p & > 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ agar fungsinya selalu naik adalah $ \{ p > 1 \} $ .
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut,
Dari grafik di atas diperoleh interval naik dan turunnya,
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .
Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .
Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 \, $
Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .
Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .
Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 \, $
Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".
1). Tentukan interval-interval dari fungsi $ f(x) = x^2 - 4x $ agar fungsi:
a. naik,
b. turun.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^2 - 4x \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 4 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Interval fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow 2x - 4 > 0 \rightarrow 2x > 4 \rightarrow x > 2 $
Sehingga, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 $ .
Artinya tanpa menggunakan syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka pasti interval yang lainnya adalah turun.
Sehingga fungsinya turun pada interval : $ x < 2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 \, $ dan turun pada interval $ x < 2 $ .
2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 12x + 9 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & > 0 \\ (x - 1)(x - 3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align} $
Menyelesaikan pertidaksamaan, buat garis bilangan :
sehingga fungsi naik pada interval : $ x < 1 \vee x > 3 $ .
Selain interval naik di atas, pasti untuk interval turun (bisa juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun),
Sehingga fungsi turun pada interval : $ 1 < x < 3 $
Jadi, interval naik $ x < 1 \vee x > 3 \, $ dan turunnya $ 1 < x < 3 $ .
*). Gambar grafik fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $
3). Tentukan nilai $ p \, $ pada fungsi $ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \, $ agar fungsinya selalu naik ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \rightarrow y^\prime = x^2 - 2x + p $
*). Syarat fungsi naik : $ y^\prime > 0 $
Sehingga : $ x^2 - 2x + p > 0 \, $ .....pert(i).
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk $ x^2 - 2x + p \, $ nilainya selalu positif untuk semua nilai $ x \, $ yang terpenuhi jika berlaku definit positif. Materi definit positif bisa dibaca pada artikel "Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)".
Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
*). Menyelesaikan syarat definit positif :
Bentuk $ x^2 - 2x + p \rightarrow a = 1, \, b = -2 , \, c= p $
Syarat pertama : $ a > 0 \rightarrow 1 > 0 \, $ (benar)
Syarat kedua : $ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.1.p & < 0 \\ 4 - 4p & < 0 \\ - 4p & < -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ p & > 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ agar fungsinya selalu naik adalah $ \{ p > 1 \} $ .