Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tak linier secara numerik. Secara numerik maksudnya penyelesaian persamaan dengan pendekatan angka tertentu, yang hasilnya akan mendekati hasil secara eksak (hasil sebenarnya) atau bahkan sama dengan hasil secara numerik tergantung galat yang digunakan. Persamaan tak linier adalah persamaan yang pangkat salah satu variabelnya lebih dari satu atau kurang dari satu (pangkat pecahan), misalkan $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 , \, x^3 - +2x^2 - x + 5 = 0 , \, 5x^\frac{3}{2} + x - 1 = 0 , \, $ dan lainnya. Sementara penyelesaian dari persamaan tak linier adalah nilai dari variabelnya (misalkan $x$) yang memenuhi persamaan tersebut atau biasa disebut dengan akar dari persamaan tersebut.
Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 4x + 3 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ (salah satu contoh pemilihan nilai $ x_0\, $ , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 3 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 - 2.3^2 + 3.3 - 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 - 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 - \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 - \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 - \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 - \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $
iterasi ke-5 : menentukan nilai $ x_5 $
$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah $ x = 2 $.
Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ adalah 2.
Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.
2). Tentukan salah satu akar persamaan linier $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^5 + 2x^2 - 4 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 - 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 - \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 - x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 - 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 - \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 - x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 - 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 - \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 - x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 - 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah $ x = 1,09739 $ .
Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.
3). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^2 - x -6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^2 - x -6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 2x - 1 $.
*). Untuk soal nomor 3 ini, caranya sama dengan soal nomor 1 dan nomor 2 sebelumnya. Kita lebih menenkankan pada penggunaan nilai $ x_0 \, $ yang dipilih. Sebenarnya persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ mempunyai dua akar yaitu -2 dan 3 seperti grafik di atas. Nilai $ x_0 \, $ yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita peroleh tergantung dari $ x_0 \, $ tersebut lebih dekat ke akar yang mana. Berikut berbagai variasi pemilihan nilai $ x_0 \, $ yang langsung disajikan dalam tabel berikut.
*). Pilih nilai $ x_0 = 4 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 4 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 0 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 0 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = -3 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -3 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.
Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih ($x_0$) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai $ x_0 \, $ nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya). Lanjutkan Membaca : http://mathsteria.blogspot.com/2014/12/contoh-soal-metode-newton-raphson.html
Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.
Pengertian Akar (pembuat nol) dari suatu persamaan $ f(x) = 0 $
Misalkan $ f(x) $ adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan $ c $ pada domain $ f $ yang memenuhi $ f(c) = 0 $ disebut akar persamaan $ f(x) = 0$, atau disebut juga pembuat nol fungsi $ f(x) $. Secara singkat, $ c $ disebut akar fungsi $f(x)$.
Pengertian Metode Newton Raphson
Meotde Newton Raphson merupakan salah satu metode dalam menyelesaikan persamaan tak linier (menentukan salah satu akar dari persamaan tak linier), dengan prinsip utama sebagai berikut :
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva $ f(x) $ dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.
Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan $ f(x) = 0 $ ,
Dari grafik di atas, penyelesaian $ f(x) = 0 \, $ (akarnya) adalah titik potong grafik fungsi $ f(x) \, $ terhadap sumbu X. Terlihat dari grafik, telah ditunjukan akar sebenarnya, dan untuk mencari akar sebenarnya menggunakan metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung. Misalkan kita pilih akar pertama yaitu $ x_0 \, $ ,
*). substitusi $ x_0 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di $ x_1 $.
*). substitusi $ x_1 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di $ x_2 $.
*). substitusi $ x_2 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_2,f(x_2)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di $ x_3 $.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva $ f(x) $ dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.
Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan $ f(x) = 0 $ ,
*). substitusi $ x_0 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di $ x_1 $.
*). substitusi $ x_1 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di $ x_2 $.
*). substitusi $ x_2 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_2,f(x_2)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di $ x_3 $.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
Rumus Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan persamaan tak linier
Ketika kita memilih nilai $ x_0 , \, $ bagaimana selanjutnya cara untuk menentukan nilai $ x_1, \, x_2, \, $ dan lainnya? Kita akan menggunakan rumus metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung kurva.
Perhatikan gambar berikut,
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_k,f(x_k)$) dengan gradien $ m = f^\prime (x_k) $ :
$ y - f(x_k) = m(x - x_k) \rightarrow y - f(x_k) = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \, $
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B($x_{k+1},0$) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x,y) = (x_{k+1},0) \rightarrow y - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \\ 0 - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} & = (x_{k+1} - x_k) \\ x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \end{align} $
dengan $ k = \{0, 1, 2, 3, .... \} \, $ dan $ f^\prime (x_k) \, $ adalah turunan fungsi $ f(x) $ untuk $ x = x_k \, $
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \, \, $ dengan $ f^\prime (x_k) \neq 0 $.
Perhatikan gambar berikut,
$ y - f(x_k) = m(x - x_k) \rightarrow y - f(x_k) = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \, $
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B($x_{k+1},0$) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x,y) = (x_{k+1},0) \rightarrow y - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \\ 0 - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} & = (x_{k+1} - x_k) \\ x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \end{align} $
dengan $ k = \{0, 1, 2, 3, .... \} \, $ dan $ f^\prime (x_k) \, $ adalah turunan fungsi $ f(x) $ untuk $ x = x_k \, $
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \, \, $ dengan $ f^\prime (x_k) \neq 0 $.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan tak linier,
1). Tentukan nilai awal $ x_0 \, $.
Nilai $ x_0 $ yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai $x_1, \, x_2, \, $ dan seterusnya.
2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya ($x_1, x_, x_3,...$) dengan substitusi nilai $ x_0 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
*). nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta.
dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
1). Tentukan nilai awal $ x_0 \, $.
Nilai $ x_0 $ yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai $x_1, \, x_2, \, $ dan seterusnya.
2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya ($x_1, x_, x_3,...$) dengan substitusi nilai $ x_0 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
*). nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta.
dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
Catatan : Galat = error = kesalahan.
Contoh soal dan Pembahasan metode Newton Raphson :
1). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 4x + 3 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ (salah satu contoh pemilihan nilai $ x_0\, $ , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 3 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 - 2.3^2 + 3.3 - 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 - 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 - \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 - \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 - \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 - \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $
iterasi ke-5 : menentukan nilai $ x_5 $
$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah $ x = 2 $.
Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ adalah 2.
Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.
2). Tentukan salah satu akar persamaan linier $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^5 + 2x^2 - 4 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 - 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 - \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 - x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 - 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 - \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 - x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 - 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 - \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 - x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 - 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah $ x = 1,09739 $ .
Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.
3). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^2 - x -6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^2 - x -6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 2x - 1 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 4 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 4 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.
Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih ($x_0$) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai $ x_0 \, $ nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya). Lanjutkan Membaca : http://mathsteria.blogspot.com/2014/12/contoh-soal-metode-newton-raphson.html