Sebelumnya telah dibahas tentang : Contoh Metode Newton Raphson dalam Mencari Persamaan Tak Linier. Metode .Newton Raphson juga bisa digunakan untuk menentukan titik potong dua buah kurva. Misalkan kita menari titik potong antara kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) $, langkah-langkah yang dilakukan :
Contoh :
4). Tentukan salah satu titik potong grafik fungsi $ g(x) = x^3 - 5x + 3 \, $ dengan grafik fungsi $ h(x) = x + 1 \, $ dengan pendekatan metode Newton Raphson.?
Penyelesaian :
*). Gambar perpotongan kedua grafik fungsi,
*). Samakan kedua fungsi, sehingga :
$ g(x) = h(x) \rightarrow x^3 - 5x + 3 = x + 1 \rightarrow x^3 - 6x + 2 = 0 \, $
artinya kita peroleh : $ f(x) = x^3 - 6x + 2 $
turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6 $.
*). Untuk perhitungan metode Newton Raphson, caranya sama dengan contoh soal 1 dan soal 2 di atas, tapi disini langsung kami sajikan dalam bentuk tabelnya saja.
*). Dari grafik perpotongan kedua kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) \, $ , ternyata ada tiga titik perpotongannya yaitu titik A, titik B, dan titik C. Artinya titik potong yang kita peroleh dari setiap percobaan bisa berbeda tergantung nilai awal ($x_0$) yang kita pilih. Berikut kasus masing-masing pemilihan nilai $ x_0 $ beserta titik potong yang diperoleh,
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ yang lebih dekat dengan titik A daripada titik B atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 3 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik A dengan yang kita peroleh nilai $x_A $ seperti tabel iterasi berikut,
titik A adalah ($ x_A, h(x_A)$) dengan $ x_A = 2,26180225 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan titik B daripada titik A atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik B dengan yang kita peroleh nilai $x_B $ seperti tabel iterasi berikut,
titik B adalah ($ x_B, h(x_B)$) dengan $ x_B = 0,33987689 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = -2 \, $ yang lebih dekat dengan titik C daripada titik A atau B, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -2 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik C dengan yang kita peroleh nilai $x_C $ seperti tabel iterasi berikut,
titik C adalah ($ x_C, h(x_C)$) dengan $ x_C = -2,6016791 $ .
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda, maka titik potong yang diperoleh juga akan berbeda seperti yang telah dicoba di atas.
Contoh :
5). Tentukan nilai $ \sqrt[5]{37} \, $ dengan metode Newton Raphson?
Penyelesaian :
*). Misalkan nilai $ \sqrt[5]{37} = x \, $ artinya sama saja dengan mencari nilai $ x $ .
*). Mengubah menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 $ .
$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 - 37 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaannya adalah $ x^5 - 37 = 0 \, $
yang artinya $ f(x) = x^5 - 37 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
*). Melakukan metode Newton Raphson,
*). Kita pilih nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (pemilihan terserah).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 - 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 - \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) & = f(2,0625) = (2,0625)^5 - 37 = 0,322419167 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,0625 - \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} & = 2,05893651 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5 - 37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651 - \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 - 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 - \frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align} $
Karena nilai akar taksirannya sudah sama yaitu $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ maka iterasi bisa dihentikan. Artinya nilai akar taksirannya sudah konvergen ke $ x = 2,05892414 \, $ yang mana nilai ini bisa disebut sebagai akar taksiran dari persamaan $ x^5 - 37 = 0 . $ Sehingga nilai $ \sqrt[5]{37} = x = 2,05892414 $.
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $ . (pendekatan delapan angka dibelakang koma).
Catatan :
*). Untuk penghitungan menggunakan tabel dan bentuk angka yang sulit, penulis menggunakan perhitungan bantuan dari komputer.
*). Pembahasan Metode Newton Raphson pada artikel kali ini sebatas untuk memenuhi materi kurikulum 2013 saja, yang artinya pembahasannya tidak terlalu mendalam. Sebenarnya penyelesaian persamaan tak linier termasuk dalam pelajaran di bangku kuliah, yang artinya untuk tingkat kuliah pada pembahasan di artikel ini masih belum cukup karena masih ada pembahasan yang lebih mendalam lagi tentang metode Newton Raphson.
i). samakan kedua fungsi : $ g(x) = h(x) \rightarrow g(x) - h(x) = 0 \, $
ii). Misalkan $ f(x) = g(x) - h(x) \, $ , sehingga persamaannya menjadi : $ f(x) = 0 $.
iii). Langkah selanjutnya sama dengan menyelesaikan persamaan $ f(x) = 0 $.
ii). Misalkan $ f(x) = g(x) - h(x) \, $ , sehingga persamaannya menjadi : $ f(x) = 0 $.
iii). Langkah selanjutnya sama dengan menyelesaikan persamaan $ f(x) = 0 $.
4). Tentukan salah satu titik potong grafik fungsi $ g(x) = x^3 - 5x + 3 \, $ dengan grafik fungsi $ h(x) = x + 1 \, $ dengan pendekatan metode Newton Raphson.?
Penyelesaian :
*). Gambar perpotongan kedua grafik fungsi,
$ g(x) = h(x) \rightarrow x^3 - 5x + 3 = x + 1 \rightarrow x^3 - 6x + 2 = 0 \, $
artinya kita peroleh : $ f(x) = x^3 - 6x + 2 $
turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6 $.
*). Untuk perhitungan metode Newton Raphson, caranya sama dengan contoh soal 1 dan soal 2 di atas, tapi disini langsung kami sajikan dalam bentuk tabelnya saja.
*). Dari grafik perpotongan kedua kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) \, $ , ternyata ada tiga titik perpotongannya yaitu titik A, titik B, dan titik C. Artinya titik potong yang kita peroleh dari setiap percobaan bisa berbeda tergantung nilai awal ($x_0$) yang kita pilih. Berikut kasus masing-masing pemilihan nilai $ x_0 $ beserta titik potong yang diperoleh,
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ yang lebih dekat dengan titik A daripada titik B atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 3 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik A dengan yang kita peroleh nilai $x_A $ seperti tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan titik B daripada titik A atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik B dengan yang kita peroleh nilai $x_B $ seperti tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = -2 \, $ yang lebih dekat dengan titik C daripada titik A atau B, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -2 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik C dengan yang kita peroleh nilai $x_C $ seperti tabel iterasi berikut,
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda, maka titik potong yang diperoleh juga akan berbeda seperti yang telah dicoba di atas.
Menentukan Nilai akar suatu bilangan dengan Metode Newton Raphson
Ternyata metode Newton Raphson bisa digunakan untuk menghitung nilai dari bentuk akar , misalkan $ \sqrt[3]{35} , \, \sqrt[5]{50} , \, $ dan lainnya. Langkah-langkahnya yaitu :
i). Misalkan nilai yang dicari dengan suatu variabel,
ii). Ubah permisalan menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ dengan menerapkan sifat eksponen (perpangkatan).
Sifat-sifat eksponen yang digunakan :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
iii). Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar-akarnya.
i). Misalkan nilai yang dicari dengan suatu variabel,
ii). Ubah permisalan menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ dengan menerapkan sifat eksponen (perpangkatan).
Sifat-sifat eksponen yang digunakan :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
iii). Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar-akarnya.
5). Tentukan nilai $ \sqrt[5]{37} \, $ dengan metode Newton Raphson?
Penyelesaian :
*). Misalkan nilai $ \sqrt[5]{37} = x \, $ artinya sama saja dengan mencari nilai $ x $ .
*). Mengubah menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 $ .
$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 - 37 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaannya adalah $ x^5 - 37 = 0 \, $
yang artinya $ f(x) = x^5 - 37 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
*). Melakukan metode Newton Raphson,
*). Kita pilih nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (pemilihan terserah).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 - 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 - \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) & = f(2,0625) = (2,0625)^5 - 37 = 0,322419167 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,0625 - \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} & = 2,05893651 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5 - 37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651 - \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 - 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 - \frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align} $
Karena nilai akar taksirannya sudah sama yaitu $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ maka iterasi bisa dihentikan. Artinya nilai akar taksirannya sudah konvergen ke $ x = 2,05892414 \, $ yang mana nilai ini bisa disebut sebagai akar taksiran dari persamaan $ x^5 - 37 = 0 . $ Sehingga nilai $ \sqrt[5]{37} = x = 2,05892414 $.
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $ . (pendekatan delapan angka dibelakang koma).
Catatan :
*). Untuk penghitungan menggunakan tabel dan bentuk angka yang sulit, penulis menggunakan perhitungan bantuan dari komputer.
*). Pembahasan Metode Newton Raphson pada artikel kali ini sebatas untuk memenuhi materi kurikulum 2013 saja, yang artinya pembahasannya tidak terlalu mendalam. Sebenarnya penyelesaian persamaan tak linier termasuk dalam pelajaran di bangku kuliah, yang artinya untuk tingkat kuliah pada pembahasan di artikel ini masih belum cukup karena masih ada pembahasan yang lebih mendalam lagi tentang metode Newton Raphson.