Untuk materi sebelumnya kita telah mempelajari "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri", namun turunan yang kita cari adalah turunan pertama saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi menentukan turunan kedua dan turunan lanjut dari sebuah fungsi. Turunan lanjut di sini maksudnya adalah turunan ketiga, turunan keempat, dan seterusnya.
Contoh :
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $ y = x^4 - 2x^2 $
b). $ f(x) = 3\sqrt{x} $
c). $ y = \sin (2x+3) $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ y = x^4 - 2x^2 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = x^4 - 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 - 4x $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 4x^3 - 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x $
b). Fungsi $ f(x) = 3\sqrt{x} $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4\sqrt{x^3} } $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} } $
c). Fungsi $ y = \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3) $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3) $
2). Tentukan nilai $ f^{\prime \prime } (1) \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) \, $ dari fungsi $ y = x^4 - 2x^2 + x - 1 $ ?
Penyelesaian :
Fungsi $ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 - 4 = 8 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48 $
Jadi, nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 8 \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 48 $
Catatan : Turunan kedua suatu fungsi dapat dipergunakan untuk menentukan jenis stasioner suatu fungsi dan biasanya digunakan untuk menentukan percepatan dari suatu fungsi jarak.
Menentukan Turunan Kedua dan Turunan lanjutannya
Kita telah mempelajari turunan pertama suatu fungsi $ y = f(x) \, $ yang dinotasikan $ \frac{dy}{dx} \, $ atau $ y^\prime \, $ atau $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ f^\prime (x) $.
Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $
Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $
Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $
Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $
Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $ y = x^4 - 2x^2 $
b). $ f(x) = 3\sqrt{x} $
c). $ y = \sin (2x+3) $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ y = x^4 - 2x^2 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = x^4 - 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 - 4x $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 4x^3 - 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x $
b). Fungsi $ f(x) = 3\sqrt{x} $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4\sqrt{x^3} } $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} } $
c). Fungsi $ y = \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3) $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3) $
2). Tentukan nilai $ f^{\prime \prime } (1) \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) \, $ dari fungsi $ y = x^4 - 2x^2 + x - 1 $ ?
Penyelesaian :
Fungsi $ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 - 4 = 8 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48 $
Jadi, nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 8 \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 48 $
Catatan : Turunan kedua suatu fungsi dapat dipergunakan untuk menentukan jenis stasioner suatu fungsi dan biasanya digunakan untuk menentukan percepatan dari suatu fungsi jarak.