Sebelumnya kita telah pelajari "Definisi Turunan Fungsi Secara Umum", dimana untuk menentukan turunan suatu fungsi $ f(x) \, $ yang disimbolkan $ \, f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime \, $ dapat menggunakan definisi turunannya yaitu :
Namun untuk menyelesaikan limit fungsinya khususnya fungsi aljabarnya kita tidak perlu menggunakan definisi turunan secara umum, karena akan rumit dan lebih lama dalam penyelesaiannya. Nah untuk mempermudah, kali ini kita akan membahas khusus Turunan Fungsi Aljabar. Pada materi turunan fungsi aljabar ini kita akan langsung menggunakan rumus dasarnya, tentu rumus-rumus dasar ini kita peroleh dari definisi turunan secara umum untuk pembuktiannya.
Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut :
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $
Penyelesaian :
a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar i).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar ii) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} = (-2). 5. x^{(-2) - 1} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $
2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar iii. Rumus dasar iii itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $
3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar iv). Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar iii dan ii.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar v).
Misalkan :
Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
5). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ & = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ & = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
6). Diketahui fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vii.
Misalkan : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
Sehingga :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
*). Kedua ruas fungsi kita turunkan dari fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
*). Agar diperoleh nilai $ f^\prime (3) \, $ maka bentuk $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
artinya $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
*). Substitusi nilai $ x = 2 \, $ ke bentuk turunannya :
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ f^\prime (3) = 7 $ .
7). Tentukan nilai $ f^\prime (1) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ y = x^5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
Penyelesaian :
*). Turunan dari setiap fungsi sudah ada pada soal-soal sebelumnya. nilai $ f^\prime (1) \, $ artinya $ f^\prime (x) \, $ untuk $ x = 1 $ .
a). $ y = x^5 \rightarrow f^\prime (x) = 5x^4 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 5.1^4 = 5. 1 = 5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
Sehingga $ f^\prime (1) = \frac{1}{\sqrt{1} } + 15.1^2 = 1 + 15 = 16 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
$ f^\prime (x) = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 10.1^4 - 3.1^2 - 1 = 10 - 3 - 1 = 6 $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
$ f^\prime (x) = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Sehingga : $ f^\prime (1) = \frac{3.1^2 - 10.1 - 6}{9.1^2 -30.1 + 25} = \frac{3 - 10 - 6}{9 - 30 + 25} = \frac{-13}{4} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
$ f^\prime (x) = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Sehingga :
$ f^\prime (1) = (40.1 - 30) (2.1^2 - 3.1 + 8)^9 = (40 - 30).(2 - 3 + 8)^9 = 10. (7)^9 = 10.7^9 $
8). Diketahui fungsi $ f(x) \, $ berikut,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 & , \text{ untuk } x < 1 \\ ax+b & , \text{ untuk } x \geq 1 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ agar fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi di atas, kita peroleh :
sebelah kiri 1 berlaku $ f(x) = x^2 \, $ dan sebelah kanan 1 berlaku $ f(x) = ax+b $ .
*). Syarat fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ syaratnya fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 1 $ .
Syarat kontinu di $ x = 1 \, $ adalah $ \, \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = f(1) $
Khususnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) = f(1) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) & = f(1) \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } x^2 & = a.1 + b \\ 1^2 & = a + b \\ a + b & = 1 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari kiri dan kanan $ x = 1 $ ,
Untuk $ x = 1^- \rightarrow f(x) = x^2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x \rightarrow f^\prime (1^-) = 2.1 = 2 $
Untuk $ x = 1^+ \rightarrow f(x) = ax + b \rightarrow f^\prime (x) = a \rightarrow f^\prime (1^+) = a $
*). Agar fungsi mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ f^\prime (1^+) = f^\prime (1^-) $
$ \begin{align} f^\prime (1^+) & = f^\prime (1^-) \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 2 \, $ ke pers(i) :
$ a + b = 1 \rightarrow 2 + b = 1 \rightarrow b = 1 - 2 = -1 $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ dan $ b = -1 $ .
9). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \, $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{-\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2x -1 }} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} $
Cara II :
Untuk turunan dalam bentuk akar, kita langsung menggunakan :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Turunan : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $
Misalkan : $ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \\ y & = \sqrt{g(x)} \\ y^\prime & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ y^\prime & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1}} \end{align} $
10). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} \, $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{3}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}. \sqrt{x^3 + 2x - 1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = k \rightarrow f(x) = k $
$ f(x+h) = k $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ k - k}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 0}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = k \rightarrow f^\prime (x) = 0 $
>
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
*). Bentuk Binomial Newton:
$ (x + h)^n = x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n $
*). Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!r!} $
Sehingga : $ C_1^n = \frac{n!}{(n-1)!.1!} = \frac{n.n(n-1)!}{(n-1)!} = n $
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 \, $ . Misalkan : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = ax^n \rightarrow f(x) = ax^n $
$ f(x+h) = a(x+h)^n = a(x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n) $
$ f(x+h) = ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n) - ax^n}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}h^1 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-2} + ah^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}.0 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}.0^{n-2} + a.0^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + 0 + ...+ 0 + 0 \\ & = aC_1^n x^{n-1} \\ & = an x^{n-1} \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = ax^n \rightarrow f^\prime (x) = n.a.x^{n-1} = nax^{n-1} $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
Pertama : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) + V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) + V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) + V(x+h)] - [U(hx) + V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) + V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) + V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
Kedua : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) - V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) - V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) - V(x+h)] - [U(x) - V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - V(x+h) - U(x) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - V(x+h) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - [V(x+h) - V(x) ]}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) - V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = U.V \rightarrow f(x) = U(x).V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h).V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) + [U(x+h).V(x) - U(x+h).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [ U(x+h).V(x+h) - U(x+h).V(x) ] + [ U(x+h).V(x) - U(x).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] + V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x+0) . V^\prime (x) \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x) . V^\prime (x) \\ & = U^\prime (x) . V(x) + U(x) . V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} $
$ f(x+h) = \frac{U(x+h)}{V(x+h)} $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{U(x+h)}{V(x+h)} - \frac{U(x)}{V(x)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{V(x).V(x+h)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) + [ - V(x).U(x) + U(x).V(x) ] - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [V(x).U(x+h) - V(x).U(x) ] + [ U(x).V(x) - U(x). V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x)[U(x+h) - U(x) ] + U(x)[ V(x) - V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ V(x) U^\prime (x) - U(x) V^\prime (x) }{ V(x).V(x+0) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ V(x).V(x) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ [V(x)]^2 } \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Berikut daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar :
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ adalah konstanta dan setiap kostanta turunannya adalah nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ adalah bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i sampai v, bisa kita lihat pembuktiannya setelah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita menggunakan aturan rantai yang bisa kita baca pada artikel "aturan rantai turunan fungsi".
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ adalah konstanta dan setiap kostanta turunannya adalah nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ adalah bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i sampai v, bisa kita lihat pembuktiannya setelah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita menggunakan aturan rantai yang bisa kita baca pada artikel "aturan rantai turunan fungsi".
1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut :
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $
Penyelesaian :
a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar i).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar ii) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} = (-2). 5. x^{(-2) - 1} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $
2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar iii. Rumus dasar iii itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $
3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar iv). Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar iii dan ii.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar v).
Misalkan :
Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
5). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ & = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ & = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
6). Diketahui fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vii.
Misalkan : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
Sehingga :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
*). Kedua ruas fungsi kita turunkan dari fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
*). Agar diperoleh nilai $ f^\prime (3) \, $ maka bentuk $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
artinya $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
*). Substitusi nilai $ x = 2 \, $ ke bentuk turunannya :
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ f^\prime (3) = 7 $ .
7). Tentukan nilai $ f^\prime (1) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ y = x^5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
Penyelesaian :
*). Turunan dari setiap fungsi sudah ada pada soal-soal sebelumnya. nilai $ f^\prime (1) \, $ artinya $ f^\prime (x) \, $ untuk $ x = 1 $ .
a). $ y = x^5 \rightarrow f^\prime (x) = 5x^4 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 5.1^4 = 5. 1 = 5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
Sehingga $ f^\prime (1) = \frac{1}{\sqrt{1} } + 15.1^2 = 1 + 15 = 16 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
$ f^\prime (x) = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 10.1^4 - 3.1^2 - 1 = 10 - 3 - 1 = 6 $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
$ f^\prime (x) = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Sehingga : $ f^\prime (1) = \frac{3.1^2 - 10.1 - 6}{9.1^2 -30.1 + 25} = \frac{3 - 10 - 6}{9 - 30 + 25} = \frac{-13}{4} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
$ f^\prime (x) = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Sehingga :
$ f^\prime (1) = (40.1 - 30) (2.1^2 - 3.1 + 8)^9 = (40 - 30).(2 - 3 + 8)^9 = 10. (7)^9 = 10.7^9 $
8). Diketahui fungsi $ f(x) \, $ berikut,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 & , \text{ untuk } x < 1 \\ ax+b & , \text{ untuk } x \geq 1 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ agar fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi di atas, kita peroleh :
sebelah kiri 1 berlaku $ f(x) = x^2 \, $ dan sebelah kanan 1 berlaku $ f(x) = ax+b $ .
*). Syarat fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ syaratnya fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 1 $ .
Syarat kontinu di $ x = 1 \, $ adalah $ \, \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = f(1) $
Khususnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) = f(1) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) & = f(1) \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } x^2 & = a.1 + b \\ 1^2 & = a + b \\ a + b & = 1 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari kiri dan kanan $ x = 1 $ ,
Untuk $ x = 1^- \rightarrow f(x) = x^2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x \rightarrow f^\prime (1^-) = 2.1 = 2 $
Untuk $ x = 1^+ \rightarrow f(x) = ax + b \rightarrow f^\prime (x) = a \rightarrow f^\prime (1^+) = a $
*). Agar fungsi mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ f^\prime (1^+) = f^\prime (1^-) $
$ \begin{align} f^\prime (1^+) & = f^\prime (1^-) \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 2 \, $ ke pers(i) :
$ a + b = 1 \rightarrow 2 + b = 1 \rightarrow b = 1 - 2 = -1 $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ dan $ b = -1 $ .
9). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \, $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{-\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2x -1 }} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} $
Cara II :
Untuk turunan dalam bentuk akar, kita langsung menggunakan :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Turunan : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $
Misalkan : $ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \\ y & = \sqrt{g(x)} \\ y^\prime & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ y^\prime & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1}} \end{align} $
10). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} \, $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{3}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}. \sqrt{x^3 + 2x - 1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} $
Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Dibawah ini adalah pembuktian rumus dasar dari rumus i sampai v.
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Dibawah ini adalah pembuktian rumus dasar dari rumus i sampai v.
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = k \rightarrow f(x) = k $
$ f(x+h) = k $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ k - k}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 0}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = k \rightarrow f^\prime (x) = 0 $
>
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
*). Bentuk Binomial Newton:
$ (x + h)^n = x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n $
*). Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!r!} $
Sehingga : $ C_1^n = \frac{n!}{(n-1)!.1!} = \frac{n.n(n-1)!}{(n-1)!} = n $
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 \, $ . Misalkan : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = ax^n \rightarrow f(x) = ax^n $
$ f(x+h) = a(x+h)^n = a(x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n) $
$ f(x+h) = ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n) - ax^n}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}h^1 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-2} + ah^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}.0 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}.0^{n-2} + a.0^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + 0 + ...+ 0 + 0 \\ & = aC_1^n x^{n-1} \\ & = an x^{n-1} \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = ax^n \rightarrow f^\prime (x) = n.a.x^{n-1} = nax^{n-1} $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
Pertama : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) + V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) + V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) + V(x+h)] - [U(hx) + V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) + V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) + V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
Kedua : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) - V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) - V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) - V(x+h)] - [U(x) - V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - V(x+h) - U(x) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - V(x+h) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - [V(x+h) - V(x) ]}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) - V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = U.V \rightarrow f(x) = U(x).V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h).V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) + [U(x+h).V(x) - U(x+h).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [ U(x+h).V(x+h) - U(x+h).V(x) ] + [ U(x+h).V(x) - U(x).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] + V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x+0) . V^\prime (x) \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x) . V^\prime (x) \\ & = U^\prime (x) . V(x) + U(x) . V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} $
$ f(x+h) = \frac{U(x+h)}{V(x+h)} $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{U(x+h)}{V(x+h)} - \frac{U(x)}{V(x)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{V(x).V(x+h)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) + [ - V(x).U(x) + U(x).V(x) ] - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [V(x).U(x+h) - V(x).U(x) ] + [ U(x).V(x) - U(x). V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x)[U(x+h) - U(x) ] + U(x)[ V(x) - V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ V(x) U^\prime (x) - U(x) V^\prime (x) }{ V(x).V(x+0) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ V(x).V(x) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ [V(x)]^2 } \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $