Aturan Rantai Turunan Fungsi

Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Aturan Rantai Turunan Fungsi. Sebelumnya kita telah membahas materi "Turunan Fungsi Aljabar", dan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar menggunakan aturan rantai turunan fungsi. Aturan rantai turunan fungsi kita gunakan untuk fungsi yang bergantung dari fungsi lainnya.

Penjelasan Aturan Rantai Turunan Fungsi

Misalkan ada fungsi

$y = f[g(x)] \,$ , kita akan menentukan turunannya dengan aturan rantai.
Misalkan

$z = g(x) , \,$ maka fungsinya menjadi :

$y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z]$ .
Untuk

$z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x)$
Untuk

$y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)]$
Sehingga turunan dari

$y = f[g(x)] \,$ dengan aturan rantai :

$\begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align}$

Turunan

$y = [g(x)]^n \,$ dengan aturan rantai :
Misalkan

$z = g(x), \,$ maka fungsinya menjadi

$y = [z]^n$

$z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x)$

$y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1}$
Sehingga turunan dari

$y = [g(x)]^n \,$ dengan aturan rantai :

$\begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align}$

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi

$y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \,$ dan nilai

$f^\prime (1)$
Penyelesaian :
*). Misalkan

$z = x^3 - 2x + 2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = 3x^2 - 2$
Sehingga fungsinya :

$y = z^{2015} \rightarrow \frac{dy}{dz} = 2015z^{2014} = 2015(x^3-2x+2)^{2014}$
*). Turunan fungsi

$y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \,$ dengan aturan rantai :

$\begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) \end{align}$
Artinya

$f^\prime (x) = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2)$
*). Menentukan nilai

$f^\prime (1)$

$f^\prime (1) = 2015(1^3-2.1+2)^{2014} . (3.1^2 - 2) = 2015(1)^{2014}.1 = 2015$
Jadi, nilai

$f^\prime (1) = 2015$

2). Tentukan nilai

$g^\prime (1) \,$ dari fungsi

$g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \,$ jika diketahui

$f(3) = -2 \,$ dan

$f^\prime (3) = 1$ ?
Penyelesaian :

*). Kita turunkan bentuk

$g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \,$ dari kedua ruas,
Turunan ruas kiri :

$y = g(2x-3) \rightarrow y^\prime = g^\prime (2x-3) . 2 = 2g^\prime (2x-3)$
Turunan ruas kanan :

$y = 2x^2 . f(x^2 - 1) = U.V$
Misalkan :

$U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x$

$V = f(x^2 - 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 )$
Sehingga turunan ruas kanan :

$y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 )$
*). Yang ditanyakan

$g^\prime (1) \,$ dari

$g^\prime (2x-3 ) \,$ artinya

$2x - 3 = 1 \rightarrow x = 2$ .
*). Substitusi

$x = 2 \,$ ke turunan kedua ruasnya :

$\begin{align} g(2x-3) & = 2x^2.f(x^2-1) \, \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 4x^3.f^\prime (x^2 -1 ) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) & = 4.2.f(2^2 -1) + 4.2^3.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8f(3) + 32f^\prime (3 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^\prime (1) & = -16 + 32 \\ 2g^\prime (1) & = 16 \\ g^\prime (1) & = \frac{16}{2} = 8 \end{align}$
Jadi, nilai

$g^\prime (1) = 8$

3). Diketahui

$f(1) = 1 \,$ dan

$f^\prime (1) = 2 \,$ ,
tentukan nilai

$g^\prime (1) \,$ dari fungsi

$g(x) = (f(f(f(f(f(f(x)))))))$ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan

$g(x) \,$ dengan aturan rantai,
Misalkan :

$z = f(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = f^\prime (x)$
Nilai

$f^\prime (1) = 2$

$m = f(f(x)) = f(z) \rightarrow \frac{dm}{dz} = f^\prime (z) = f^\prime (f(x))$
Nilai

$f^\prime (f(1 )) = f^\prime (1) = 2$

$n = f(f(f(x))) = f(m) \rightarrow \frac{dn}{dm} = f^\prime (m) = f^\prime (f(f(x)))$
Nilai

$f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2$

$p = f(f(f(f(x)))) = f(n) \rightarrow \frac{dp}{dn} = f^\prime (n) = f^\prime (f(f(f(x))))$
Nilai

$f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f( 1)) = f^\prime (1) = 2$

$q = f(f(f(f(f(x))))) = f(p) \rightarrow \frac{dq}{dp} = f^\prime (p) = f^\prime (f(f(f(f(x)))))$
Nilai

$f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2$

$y = f(f(f(f(f(f(x)))))) = f(q) \rightarrow \frac{dy}{dq} = f^\prime (q) = f^\prime (f(f(f(f(f(x))))))$
Nilai

$f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) = f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1))))$

$= f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2$
*). Sehingga turunanan fungsi

$g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) \,$ adalah

$\begin{align} g^\prime (x) & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dq} . \frac{dq}{dp}.\frac{dp}{dn} . \frac{dn}{dm}.\frac{dm}{dz}.\frac{dz}{dx} \\ g^\prime (x) & = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(x))))) \times f^\prime (f(f(f(x)))) \\ & \times f^\prime (f(f(x))) \times f^\prime (f(x)) \times f^\prime (x) \\ g^\prime (1) & = f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(1)))))\times f^\prime (f(f(f(1)))) \\ & \times f^\prime (f(f(1))) \times f^\prime (f(1)) \times f^\prime (1) \\ & = 2 . 2. 2.2.2.2 \\ & = 2^6 = 64 \end{align}$
Jadi, nilai

$g^\prime (1) = 64$ .

Catatan : Aturan rantai turunan fungsi bisa digunakan untuk semua jenis fungsi baik itu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi lainnya.

Aturan Rantai Turunan Fungsi

Penjelasan Aturan Rantai Turunan Fungsi

Postingan Terkait :