Fungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang melibatkan bentuk trigonometri, misalkan fungsi sinus, cosinus, tan, sec, csc, dan fungsi cotangen. Artikel kali ini kita akan membahas Grafik Fungsi Trigonometri, yang artinya penekanan ada pada grafiknya. Selain grafik, kita juga akan membahas nilai maksimum atau minimum suatu fungsi trigonometri dengan memanfaatkan bentuk grafik fungsi trigonometri masing-masing dan rumus-rumus dasar yang ada pada trigonometri.
Contoh :
1). Perhatikan grafik fungsi $ f(x) \, $ berikut.
a). Apakah fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik?
b). Jika $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik, tentukan periodenya?
Penyelesaian :
a). Pada gambar di atas, terlihat jelas bahwa fungsi $ f(x) \, $ adalah fungsi periodik karena grafiknya selalu berulang.
b). Perhatikan titik puncak A dan B, dimana titik puncak B adalah pengulangan kembali titik puncak A, ini artinya fungsi $ f(x) \, $ mengalami pengulangan setiap jaraknya sama dengan dari titik A ke titik B. Dimana jarak titik A dan B adalah 2, sehingga periode fungsi tersebut adalah 2, atau memenuhi $ f(x + 2 ) = f(x) $.
Contoh :
2). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x $
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin x \, $ dengan amplitudo $ a = 2 $
3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ digeser ke kanan karena bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $.
Ingat : $ \pi = 180^\circ $
3). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \cos x $
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos x \, $ dengan amplitudo $ a = -3 \, $ karena nilai amplitudonya negatif, maka grafik $ y = \cos x \, $ dicerminkan terhadap sumbu X.
3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ digeser ke kanan karena bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $ .
5). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 \, $ dengan $ c = 1 \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) \, $ di geser ke atas sejauh $ c = 1 \, $ satuan karena nilai $ c \, $ positif.
Ingat : $ \pi =180^\circ $
Contoh :
4). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi trigonometri berikut:
a). $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 $
b). $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 $
c). $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 \rightarrow a = 3, \, c = 5 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |3| + 5 = 3 + 5 = 8 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|3| + 5 = -3 + 5 = 2 $
b). Bentuk $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 \rightarrow a = -2, \, c = -7 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |-2| + (-7) = 2 -7 = -5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|-2| + (-7) = -2 - 7 = -9 $
c). Bentuk $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) \rightarrow a = 5, \, c = 0 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |5| + 0 = 5 + 0 = 5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|5| + 0 = -5 + 0 = -5 $
Contoh :
5). Tentukan nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \rightarrow f(x) = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 $
artinya nilai $ a = -1 , \, b = 2, \, c = 3 $
Karena nilai $ a < 0 \, $ maka yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sesuai dengan syarat i).
*). Nilai $ \sin x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2.(-1)} = 1 $
Interval nilai sin memenuhi interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ maksimum pada saat nilai $ \sin x = 1 $
*). Nilai maksimumnya : Substitusi nilai $ \sin x = 1 $
$ \begin{align} f_{maks} = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 = -(1 ) ^2 + 2. 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 4.
6). Nilai minimum dari $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ diperoleh pada saat $ x = .... $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi : $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \rightarrow a = -1, b = -\sqrt{3}, c = \frac{3}{2} $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya yang ditanyakan adalah nilai minimum, sesuai dengan pertanyaan dan sesuai dengan syart i).
*). Nilai $ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(- \sqrt{3})}{2.1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Interval nilai cos memenuhi interval $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ minimum pada saat nilai $ \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudutnya.
$ \begin{align} \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow x = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya diperoleh pada saat $ x = 30^\circ $ .
7). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari :
a). $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
b). $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
c). $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
d). $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
e). $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
$ \begin{align} f(x) & = x^2 - 4x + 5 \\ & = (x - \frac{1}{2}. 4)^2 - (\frac{1}{2}.4)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - (2)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (x - 2)^2 + 1 \end{align} $
b). Bentuk $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
$ \begin{align} f(x) & = 2x^2 + 6x - 2 \\ & = 2(x^2 + 3x ) - 2 \\ & = 2[(x + \frac{1}{2}.3)^2 - (\frac{1}{2}.3)^2 ] - 2 \\ & = 2[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} ] - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2.\frac{9}{4} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{4}{2} \\ f(x) & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{2} \end{align} $
c). Bentuk $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
$ \begin{align} f(x) & = -x^2 + 8x + 3 \\ & = -(x^2 - 8x ) + 3 \\ & = -[(x- \frac{1}{2}.8)^2 - (\frac{1}{2}.8)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - (4)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - 16 ] + 3 \\ & = -(x- 4)^2 + 16 + 3 \\ f(x) & = -(x- 4)^2 + 19 \end{align} $
d). Bentuk $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 \\ & = (\sin x + \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 + 9 \\ & = (\sin x + 1)^2 - (1)^2 + 9 \\ f(x) & = (\sin x + 1)^2 + 8 \end{align} $
e). Bentuk $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
$ \begin{align} f(x) & = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 \\ & = 3[\cos ^2 x - 2 \cos x ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - 1)^2 - (1)]- 1 \\ & = 3(\cos x - 1)^2 - 3- 1 \\ f(x) & = 3(\cos x - 1)^2 - 4 \end{align} $
8). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi : $ f(x) = \sin x - 4 \sin x + 5 \rightarrow a = 1 , b = -4 , c = 5 $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya nilai fungsi adalah minimum, tapi yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sehingga tidak memenuhi syarat i).
*). Bentuk fungsi menjadi kuadrat sempurna.
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ & = (\sin x - \frac{1}{2}.4 )^2 - ( \frac{1}{2}.4 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - ( 2 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \end{align} $
*). Bentuk $ \sin x - 2 \, $ :
Nilai maks = $ |1| - 2 = -1 \, $ dan nilai min = $ -|1| - 2 = -3 $
Artinya rentang nilai $ \sin x - 2 \, $ adalah : $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 $
Agar fungsi $ f(x) = (\sin x - 2 )^2 + 1 \, $ maksimum pada interval nilai $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 \, $ diperoleh pada saat nilai $ \sin x - 2 = - 3 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsinya dengan nilai $ \sin x - 2 = -3 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \\ & = ( -3 )^2 + 1 \\ & = 9 + 1 \\ f(x) & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \, $ adalah 10.
Pengertian Fungsi Periodik
Fungsi periodik adalah suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus-menerus dalam setiap periode tertentu. Suatu fungsi $ f(x) \, $ disebut fungsi periodik dengan periode $ p \, $ , jika memenuhi $ f(x + p ) = f(x) $.
1). Perhatikan grafik fungsi $ f(x) \, $ berikut.
b). Jika $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik, tentukan periodenya?
Penyelesaian :
a). Pada gambar di atas, terlihat jelas bahwa fungsi $ f(x) \, $ adalah fungsi periodik karena grafiknya selalu berulang.
b). Perhatikan titik puncak A dan B, dimana titik puncak B adalah pengulangan kembali titik puncak A, ini artinya fungsi $ f(x) \, $ mengalami pengulangan setiap jaraknya sama dengan dari titik A ke titik B. Dimana jarak titik A dan B adalah 2, sehingga periode fungsi tersebut adalah 2, atau memenuhi $ f(x + 2 ) = f(x) $.
Grafik Baku fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Grafi baku fungsi trigonometri merupakan grafik paling sederhana pada fungsi trigonometri, yaitu untuk fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $. Salah satu hal penting yang harus kita ketahui dalam grafik fungsi trigonometri adalah periode dan amplitudo.
Periode adalah jarak terjadinya pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik acuan awal ke titik pengulangan yang pertama. Satu periode pada fungsi trigonometri khususnya fungsi $ y = \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ biasanya terdiri dari satu lembah dan satu bukit.
Amplitudo adalah simpangan terjauh titik pada suatu grafik fungsi trigonometri terhadap garis horizontalnya (misalkan sumbu X).
Berikut grafik baku dari ketiga fungsi trigonometri :
*). Garfik fungsi $ y = \sin x $
*). Garfik fungsi $ y = \cos x $
*). Garfik fungsi $ y = \tan x $
Periode adalah jarak terjadinya pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik acuan awal ke titik pengulangan yang pertama. Satu periode pada fungsi trigonometri khususnya fungsi $ y = \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ biasanya terdiri dari satu lembah dan satu bukit.
Amplitudo adalah simpangan terjauh titik pada suatu grafik fungsi trigonometri terhadap garis horizontalnya (misalkan sumbu X).
Berikut grafik baku dari ketiga fungsi trigonometri :
*). Garfik fungsi $ y = \sin x $
Grafik Fungsi non standar (tidak baku) fungsi trigonometri
Grafik fungsi non standar maksudnya adalah grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsi yang lebih kompleks adalah :
*). $ f(x) = a \sin k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k} , \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \cos k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k}, \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \tan k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{\pi}{k} $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ $
Langkah-langkah dalam membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $ .
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin x , \, f(x) = a\cos x , \, $ dan $ f(x) = a\tan x $ , dengan mengubah amplitudonya menjadi sebesar $ a \, $ . Jika nilai $ a \, $ negatif, maka cerminkan grafik baku terhadap sumbu X.
3). Ubah periode fungsi sesuai rumus besar periode masing-masing sehingga diperoleh grafik fungsi $ f(x) = a\sin kx , \, f(x) = a\cos kx , \, $ dan $ f(x) = a\tan kx $
4). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) , \, f(x) = a\cos (x \pm b) , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 3 di atas sejauh $ b^\circ $. Jika tandanya positif ($ x + b$) maka geser kekiri sejauh $ b \, $ dan jika tandanya negatif ($ x - b$) maka geser kekana sejauh $ b $ .
5). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) \pm c , \, f(x) = a\cos (x \pm b) \pm c , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \pm c \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 4 di atas sejauh $ c \, $ . Jika tandanya positif ($ + c $ ) maka geser ke atas sejauh $ c \, $ dan jika tandanya negatif ($ - c $) maka geser ke bawah sejauh $ c $ .
*). $ f(x) = a \sin k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k} , \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \cos k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k}, \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \tan k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{\pi}{k} $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ $
Langkah-langkah dalam membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $ .
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin x , \, f(x) = a\cos x , \, $ dan $ f(x) = a\tan x $ , dengan mengubah amplitudonya menjadi sebesar $ a \, $ . Jika nilai $ a \, $ negatif, maka cerminkan grafik baku terhadap sumbu X.
3). Ubah periode fungsi sesuai rumus besar periode masing-masing sehingga diperoleh grafik fungsi $ f(x) = a\sin kx , \, f(x) = a\cos kx , \, $ dan $ f(x) = a\tan kx $
4). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) , \, f(x) = a\cos (x \pm b) , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 3 di atas sejauh $ b^\circ $. Jika tandanya positif ($ x + b$) maka geser kekiri sejauh $ b \, $ dan jika tandanya negatif ($ x - b$) maka geser kekana sejauh $ b $ .
5). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) \pm c , \, f(x) = a\cos (x \pm b) \pm c , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \pm c \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 4 di atas sejauh $ c \, $ . Jika tandanya positif ($ + c $ ) maka geser ke atas sejauh $ c \, $ dan jika tandanya negatif ($ - c $) maka geser ke bawah sejauh $ c $ .
2). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x $
3). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \cos x $
3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri
Untuk fungsi sin dan cos, cara menentukan nilai maksimum dan minimumnya adalah sama. Sementara untuk fungsi tan memiliki nilai maksimum tak hingga ($ \infty$)dan nilai minimum negatif tak hingga ($- \infty$). Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri dapat menggunakan metode grafik, maksudnya kita gambar dulu grafiknya, titik puncak pada bukit adalah nilai maksimumnya dan titik terendah pada lembahnya adalah nilai minimum. Hanya saja akan butuh waktu yang lama jika kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu. Kali ini kita akan menentukan nilai maksimum dan minimumnya dengan rumus.
Misalkan fungsi $ f(x) = a\sin g(x) + c \, $ dan $ f(x) = a \cos g(x) + c \, $ ,
Nilai maksimum $ = |a| + c $
Nilai Minimum $ = -|a| + c $
Nilai maksimum dan minimumnya dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudonya. Amplitudo = $ \frac{1}{2} $ (nilai maksimum $ - \, $ nilai minimum )
Misalkan fungsi $ f(x) = a\sin g(x) + c \, $ dan $ f(x) = a \cos g(x) + c \, $ ,
Nilai maksimum $ = |a| + c $
Nilai Minimum $ = -|a| + c $
Nilai maksimum dan minimumnya dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudonya. Amplitudo = $ \frac{1}{2} $ (nilai maksimum $ - \, $ nilai minimum )
4). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi trigonometri berikut:
a). $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 $
b). $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 $
c). $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 \rightarrow a = 3, \, c = 5 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |3| + 5 = 3 + 5 = 8 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|3| + 5 = -3 + 5 = 2 $
b). Bentuk $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 \rightarrow a = -2, \, c = -7 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |-2| + (-7) = 2 -7 = -5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|-2| + (-7) = -2 - 7 = -9 $
c). Bentuk $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) \rightarrow a = 5, \, c = 0 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |5| + 0 = 5 + 0 = 5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|5| + 0 = -5 + 0 = -5 $
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri dalam bentuk fungsi kuadrat dari nilai maksimum fungsi trigonometri di atas, dapat disimpulkan rentang nilai $ \sin g(x) \, $ dan $ \cos g(x) \, $ adalah $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
Misalkan ada bentuk fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ ,
Jika nilai $ a > 0 , \, $ maka diperoleh nilai minimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Jika nilai $ a < 0 , \, $ maka diperoleh nilai maksimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Pada fungsi trigonometri, bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , variabel $ x \, $ diganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal : $ f(x) = a\sin ^2 x + b \sin x + c $ ).
Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi trigonometri bentuk fungsi kuadrat :
i). Menggunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ($ x = \frac{-b}{2a} $) .
Metode ini digunakan untuk kasus :
*). Pertanyaan sesuai nilai $ a \, $ ( jika $ a > 0 \, $ yang ditanya nilai minimum, jika $ a < 0 \, $ yang ditanya nilai maksimum), dan
*). Nilai sin dan cosnya ada pada interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
ii). Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini digunakan jika tidak memenuhi kondisi i).
Bentuk Kuadrat sempurna :
$ x^2 + bx = (x+\frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $ dan $ x^2 - bx = (x - \frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $
artinya bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurnanya tetap bernilai sama.
Jika nilai $ a > 0 , \, $ maka diperoleh nilai minimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Jika nilai $ a < 0 , \, $ maka diperoleh nilai maksimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Pada fungsi trigonometri, bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , variabel $ x \, $ diganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal : $ f(x) = a\sin ^2 x + b \sin x + c $ ).
Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi trigonometri bentuk fungsi kuadrat :
i). Menggunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ($ x = \frac{-b}{2a} $) .
Metode ini digunakan untuk kasus :
*). Pertanyaan sesuai nilai $ a \, $ ( jika $ a > 0 \, $ yang ditanya nilai minimum, jika $ a < 0 \, $ yang ditanya nilai maksimum), dan
*). Nilai sin dan cosnya ada pada interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
ii). Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini digunakan jika tidak memenuhi kondisi i).
Bentuk Kuadrat sempurna :
$ x^2 + bx = (x+\frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $ dan $ x^2 - bx = (x - \frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $
artinya bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurnanya tetap bernilai sama.
5). Tentukan nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \rightarrow f(x) = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 $
artinya nilai $ a = -1 , \, b = 2, \, c = 3 $
Karena nilai $ a < 0 \, $ maka yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sesuai dengan syarat i).
*). Nilai $ \sin x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2.(-1)} = 1 $
Interval nilai sin memenuhi interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ maksimum pada saat nilai $ \sin x = 1 $
*). Nilai maksimumnya : Substitusi nilai $ \sin x = 1 $
$ \begin{align} f_{maks} = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 = -(1 ) ^2 + 2. 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 4.
6). Nilai minimum dari $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ diperoleh pada saat $ x = .... $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi : $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \rightarrow a = -1, b = -\sqrt{3}, c = \frac{3}{2} $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya yang ditanyakan adalah nilai minimum, sesuai dengan pertanyaan dan sesuai dengan syart i).
*). Nilai $ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(- \sqrt{3})}{2.1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Interval nilai cos memenuhi interval $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ minimum pada saat nilai $ \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudutnya.
$ \begin{align} \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow x = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya diperoleh pada saat $ x = 30^\circ $ .
7). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari :
a). $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
b). $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
c). $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
d). $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
e). $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
$ \begin{align} f(x) & = x^2 - 4x + 5 \\ & = (x - \frac{1}{2}. 4)^2 - (\frac{1}{2}.4)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - (2)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (x - 2)^2 + 1 \end{align} $
b). Bentuk $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
$ \begin{align} f(x) & = 2x^2 + 6x - 2 \\ & = 2(x^2 + 3x ) - 2 \\ & = 2[(x + \frac{1}{2}.3)^2 - (\frac{1}{2}.3)^2 ] - 2 \\ & = 2[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} ] - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2.\frac{9}{4} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{4}{2} \\ f(x) & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{2} \end{align} $
c). Bentuk $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
$ \begin{align} f(x) & = -x^2 + 8x + 3 \\ & = -(x^2 - 8x ) + 3 \\ & = -[(x- \frac{1}{2}.8)^2 - (\frac{1}{2}.8)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - (4)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - 16 ] + 3 \\ & = -(x- 4)^2 + 16 + 3 \\ f(x) & = -(x- 4)^2 + 19 \end{align} $
d). Bentuk $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 \\ & = (\sin x + \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 + 9 \\ & = (\sin x + 1)^2 - (1)^2 + 9 \\ f(x) & = (\sin x + 1)^2 + 8 \end{align} $
e). Bentuk $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
$ \begin{align} f(x) & = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 \\ & = 3[\cos ^2 x - 2 \cos x ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - 1)^2 - (1)]- 1 \\ & = 3(\cos x - 1)^2 - 3- 1 \\ f(x) & = 3(\cos x - 1)^2 - 4 \end{align} $
8). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi : $ f(x) = \sin x - 4 \sin x + 5 \rightarrow a = 1 , b = -4 , c = 5 $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya nilai fungsi adalah minimum, tapi yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sehingga tidak memenuhi syarat i).
*). Bentuk fungsi menjadi kuadrat sempurna.
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ & = (\sin x - \frac{1}{2}.4 )^2 - ( \frac{1}{2}.4 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - ( 2 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \end{align} $
*). Bentuk $ \sin x - 2 \, $ :
Nilai maks = $ |1| - 2 = -1 \, $ dan nilai min = $ -|1| - 2 = -3 $
Artinya rentang nilai $ \sin x - 2 \, $ adalah : $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 $
Agar fungsi $ f(x) = (\sin x - 2 )^2 + 1 \, $ maksimum pada interval nilai $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 \, $ diperoleh pada saat nilai $ \sin x - 2 = - 3 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsinya dengan nilai $ \sin x - 2 = -3 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \\ & = ( -3 )^2 + 1 \\ & = 9 + 1 \\ f(x) & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \, $ adalah 10.