Pertidaksamaan Trigonometri merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertidaksamaan pasti akan memuat tanda ketaksamaan seperti $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $ . Untuk memudahkan mempelajari materi pertidaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dulu materi "penyelesaian persamaan trigonometri". Untuk bisa menyelesaikan bentuk pertidaksamaan trigonometri, maka kita harus mampu menyelesaikan persamaan trigonometrinya dulu.
Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $
Nilai $ x \, $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya
Cek tanda ( + atau - ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri adalah sudutnya) .
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x - 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x - 1 = 2\sin 0^\circ - 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta adalah interval $ x \, $ yaitu : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel "Pertidaksamaan secara Umum".
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x > 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & > 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 390^\circ = \frac{13\pi}{6}$
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.
Cek $ x = 0^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 0^\circ + 3\sin 0^\circ + 1 = 1 \, $ (positif) . Artinya daerah yang memuat $ x = 0^\circ \, $ bertanda positif, dan daerah lainnya selang seling tandanya.
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya adalah $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $
Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri
Secara garis besar, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya menggunakan langkah umum penyelesaian pertidaksamaan yang bisa kita baca pada materi "Pertidaksamaan secara Umum". Hanya saja kali ini pertidaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.
ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau - ).
iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).
iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.
ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau - ).
iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).
iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $
Nilai $ x \, $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x - 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x - 1 = 2\sin 0^\circ - 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta adalah interval $ x \, $ yaitu : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel "Pertidaksamaan secara Umum".
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x > 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & > 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 390^\circ = \frac{13\pi}{6}$
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya adalah $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $