Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".
L1:x2+y2+4x−2y−11=0 dan L2:x2+y2−6x−4y+4=0
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
L1+λL2=0(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0(12+12+4.1−2.1−11)+λ(12+12−6.1−4.1+4)=0(1+1+4−2−11)+λ(1+1−6−4+4)=0(−7)+λ(−4)=0λ=−74
*). Substitusi nilai λ=−74 ke persamaan berkas,
Berkas Lingkaran
Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :
L1+λL2=0 atau L1+λk=0 atau L2+λk=0
Keterangan :
k adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
λ adalah konstanta tertentu.
Jika λ=−1, maka persamaan berkas menjadi L1−L2=0 yang merupakan persamaan garis kuasa.
Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena λ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai λ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
L1+λL2=0 atau L1+λk=0 atau L2+λk=0
Keterangan :
k adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
λ adalah konstanta tertentu.
Jika λ=−1, maka persamaan berkas menjadi L1−L2=0 yang merupakan persamaan garis kuasa.
Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena λ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai λ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh Soal dan Pembahasan
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaranL1:x2+y2+4x−2y−11=0 dan L2:x2+y2−6x−4y+4=0
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
L1+λL2=0(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0(12+12+4.1−2.1−11)+λ(12+12−6.1−4.1+4)=0(1+1+4−2−11)+λ(1+1−6−4+4)=0(−7)+λ(−4)=0λ=−74
*). Substitusi nilai λ=−74 ke persamaan berkas,
(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0(x2+y2+4x−2y−11)+(−74)(x2+y2−6x−4y+4)=(kali 4)(4x2+4y2+16x−8y−44)+(−7)(x2+y2−6x−4y+4)=04x2+4y2+16x−8y−44−7x2−7y2+42x+28y−28=0−3x2−3y2+58x+20y−72=0(kali -1)3x2+3y2−58x−20y+72=0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 3x2+3y2−58x−20y+72=0
2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
L1:x2+y2+4x−2y−11=0 dan L2:x2+y2−6x−4y+4=0
serta memiliki titik pusat (12,32)
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
L1+λL2=0(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0x2+y2+4x−2y−11+λx2+λy2−6λx−4λy+4λ=0(1+λ)x2+(1+λ)y2+(4−6λ)x−(2+4λ)y−(11−4λ)=0x2+y2+(4−6λ1+λ)x−(2+4λ1+λ)y−11−4λ1+λ=0
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat (a,b)=(−A2,−B2)=(−4−6λ2(1+λ),2+4λ2(1+λ))
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah (12,32) ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
−4−6λ2(1+λ)=12→−8+12λ=2+2λ→λ=1
*). Substitusi nilai λ=1 ke persamaan berkas lingkaran,
(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0(x2+y2+4x−2y−11)+1.(x2+y2−6x−4y+4)=0x2+y2+4x−2y−11+x2+y2−6x−4y+4=02x2+2y2−2x−6y−7=0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 2x2+2y2−2x−6y−7=0
3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis x+y=5 dan melalui titik potong kedua lingkaran x2+y2−2x−2y=34 dan x2+y2+8x−2y−100=0 ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
L1+λL2=0(x2+y2−2x−2y−34)+λ(x2+y2+8x−2y−100)=0(1+λ)x2+(1+λ)y2−(2−8λ)x−(2+2λ)y−(34+100λ)=0x2+y2−(2−8λ)(1+λ)x−(2+2λ)(1+λ)y−(34+100λ)(1+λ)=0
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat (a,b)=(−A2,−B2)=((1−4λ)(1+λ),(1+λ)(1+λ))=((1−4λ)(1+λ),1)
*). Pusat lingkaran terletak pada garis x+y=5, substitusi titik pusat ke garis ini,
x+y=5(1−4λ)(1+λ)+1=5(1−4λ)(1+λ)=41−4λ=4(1+λ)1−4λ=4+4λλ=−38
*). Substitusi nilai λ=−38 ke persamaan berkas lisngkaran,
(x2+y2−2x−2y−34)+λ(x2+y2+8x−2y−100)=0(x2+y2−2x−2y−34)+(−38).(x2+y2+8x−2y−100)=0(kali 8) (8x2+8y2−16x−16y−272)+(−3x2−3y2−24x+6y+100)=05x2+5y2−40x−10y−172=0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 5x2+5y2−40x−10y−172=0.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 3x2+3y2−58x−20y+72=0
2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
L1:x2+y2+4x−2y−11=0 dan L2:x2+y2−6x−4y+4=0
serta memiliki titik pusat (12,32)
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
L1+λL2=0(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0x2+y2+4x−2y−11+λx2+λy2−6λx−4λy+4λ=0(1+λ)x2+(1+λ)y2+(4−6λ)x−(2+4λ)y−(11−4λ)=0x2+y2+(4−6λ1+λ)x−(2+4λ1+λ)y−11−4λ1+λ=0
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat (a,b)=(−A2,−B2)=(−4−6λ2(1+λ),2+4λ2(1+λ))
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah (12,32) ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
−4−6λ2(1+λ)=12→−8+12λ=2+2λ→λ=1
*). Substitusi nilai λ=1 ke persamaan berkas lingkaran,
(x2+y2+4x−2y−11)+λ(x2+y2−6x−4y+4)=0(x2+y2+4x−2y−11)+1.(x2+y2−6x−4y+4)=0x2+y2+4x−2y−11+x2+y2−6x−4y+4=02x2+2y2−2x−6y−7=0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 2x2+2y2−2x−6y−7=0
3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis x+y=5 dan melalui titik potong kedua lingkaran x2+y2−2x−2y=34 dan x2+y2+8x−2y−100=0 ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
L1+λL2=0(x2+y2−2x−2y−34)+λ(x2+y2+8x−2y−100)=0(1+λ)x2+(1+λ)y2−(2−8λ)x−(2+2λ)y−(34+100λ)=0x2+y2−(2−8λ)(1+λ)x−(2+2λ)(1+λ)y−(34+100λ)(1+λ)=0
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat (a,b)=(−A2,−B2)=((1−4λ)(1+λ),(1+λ)(1+λ))=((1−4λ)(1+λ),1)
*). Pusat lingkaran terletak pada garis x+y=5, substitusi titik pusat ke garis ini,
x+y=5(1−4λ)(1+λ)+1=5(1−4λ)(1+λ)=41−4λ=4(1+λ)1−4λ=4+4λλ=−38
*). Substitusi nilai λ=−38 ke persamaan berkas lisngkaran,
(x2+y2−2x−2y−34)+λ(x2+y2+8x−2y−100)=0(x2+y2−2x−2y−34)+(−38).(x2+y2+8x−2y−100)=0(kali 8) (8x2+8y2−16x−16y−272)+(−3x2−3y2−24x+6y+100)=05x2+5y2−40x−10y−172=0
Jadi, persamaan lingkarannya adalah 5x2+5y2−40x−10y−172=0.
