"Irisan dua lingkaran" akan membentuk suatu daerah irisan. Daerah irisan akan terbentuk jika kedua lingkaran berpotongan di dua titik yang berbeda, silahkan baca materinya di "kedudukan dua lingkaran". Materi dasar yang harus dikuasai untuk mempermudah mempelajari keliling dan luas irisan lingkaran adalah "panjang busur dan luas juring" serta "aturan kosinus" untuk menentukan besar sudutnya, dan jarak antara dua titik, yang semua materi dasar ini bisa langsung kita pelajari di "irisan dua lingkaran".
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan keliling irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya
contoh :
1). Tentukan keliling lingkaran dari dua irisan lingkaran berikut
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \, $ dan $ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 $
$ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 & - \\ \hline 16x - 72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 4,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y - 1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 - \sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($4,5 ; 1 - \sqrt{6,75}$ ) dan D($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(4,5 - 4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) - (1 - \sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $
*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
$\begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.7^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.7^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{98 - 27}{98} \\ \cos \angle CAD & = \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = 43,57^\circ = 44^\circ \end{align} $
busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
$\begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{2.3^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.3^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{18 - 27}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-9}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 = 5,38 $
Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 = 6,29 $
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran adalah 11,67.
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan luas irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng
Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua lingkaran yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
$ \angle CAD = 44^\circ , \, \angle CBD = 120^\circ $
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 = \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 = 21,39 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ = 17,02 $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD = 21,39 - 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 = 9,43 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ = 3,89 $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD = 9,43 - 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan lingkaran
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas daerah irisannya adalah 9,91.
Keliling irisan dua lingkaran
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau. Keliling daerah irisan yang dimaksud adalah jumlah busur lingkaran warna biru (busur 1) dan busur lingkaran berwarna orange (busur 2). Berikut busur masing-masing,
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Langkah-langkah umum dalam menentukan keliling irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya
contoh :
1). Tentukan keliling lingkaran dari dua irisan lingkaran berikut
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \, $ dan $ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 $
$ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 & - \\ \hline 16x - 72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 4,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y - 1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 - \sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($4,5 ; 1 - \sqrt{6,75}$ ) dan D($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(4,5 - 4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) - (1 - \sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $
*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
$\begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.7^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.7^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{98 - 27}{98} \\ \cos \angle CAD & = \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = 43,57^\circ = 44^\circ \end{align} $
busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
$\begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{2.3^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.3^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{18 - 27}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-9}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 = 5,38 $
Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 = 6,29 $
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran adalah 11,67.
Luas irisan dua lingkaran
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau dan warna biru. Ternyata daerah arsirannya adalah perpaduan dari dua tembereng yaitu tembereng 1 (dari lingkaran pertama) dan tembereng 2 (dari lingkaran kedua).
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk menentukan luas irisannya, kita harus menentukan luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r_1^2 . \sin \angle CAD $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}. r_2^2 . \sin \angle CBD $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD.
*). Sehingga luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk menentukan luas irisannya, kita harus menentukan luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r_1^2 . \sin \angle CAD $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}. r_2^2 . \sin \angle CBD $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD.
*). Sehingga luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.
Langkah-langkah umum dalam menentukan luas irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng
Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua lingkaran yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
$ \angle CAD = 44^\circ , \, \angle CBD = 120^\circ $
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 = \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 = 21,39 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ = 17,02 $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD = 21,39 - 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 = 9,43 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ = 3,89 $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD = 9,43 - 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan lingkaran
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas daerah irisannya adalah 9,91.