Kali ini kita akan mempelajari materi Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran . Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya kita baca dulu materi "persamaan lingkaran". Materi Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran kita bagi menjadi beberapa bagian yaitu kuasa suatu titik terhadap lingkaran; garis kuasa dan titik kuasa pada dua lingkaran ; dan garis kuasa dan titik kuasa pada tiga lingkaran.
Contoh :
Tentukan kuasa titik T(1,2) terhadap lingkaran-lingkaran :
a). $ x^2 + y^2 +2x - 4y + 6 = 0 $
b). $ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 $
Penyelesaian :
*). Substitusi titik T(1,2) ke persamaan lingkaran
a). K = $ 1^2 + 2^2 +2.1 - 4.2 + 6 = 5 $
b). Nol kan ruas kanan persamaan lingkaran.
$ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 \rightarrow (x-2)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0 $
$ K = (1-2)^2 + (2 + 1)^2 - 4 = 6 $
Karena nilai kuasa titik terhadap kedua lingkaran di atas positif ($K > 0 $), maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran.
Contoh :
Diketahui dua persamaan lingkaran :
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \, $ dan $ \, L_2 : x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 $
a). Tentukan persamaan garis kuasanya;
b). Tentukan titik kuasanya pada sumbu X dan kuasanya pada kedua lingkaran.
c). Tentukan titik kuasanya pada sumbu Y dan kuasanya pada kedua lingkaran.
Penyelesaian :
a). Menentukan garis kuasa : $ L_1 - L_2 = 0 $
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 & - \\ \hline 14x + 2y - 42 = 0 & \\ 7x + y = 21 & \end{array} $
garis kuasanya adalah $ 7x + y = 21 $
b). Titik kuasa pada sumbu X, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu X, caranya adalah substitusi $ y = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ y = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7x + 0 = 21 \rightarrow x = 3 $
artinya titik kuasa pada sumbu X adalah titik (3,0).
*). Kuasa titik (3,0) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (3,0) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 3^2 + 0^2 + 2.3 -2.0 - 6 = 9 $
kuasa titik (3,0) adalah 9.
c). Titik kuasa pada sumbu Y, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu Y, caranya adalah substitusi $ x = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ x = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7.0 + y = 21 \rightarrow = 21 $
artinya titik kuasa pada sumbu Y adalah titik (0,21).
*). Kuasa titik (0,21) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (0,21) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 0^2 + 21^2 + 2.0 -2.21 - 6 = 393 $
kuasa titik (0,21) adalah 393.
Berikut gambar lingkaran dan garis kuasanya :
Contoh :
Tentukan garis kuasa dan titik kuasa dari ketiga lingkran berikut dan kuasa titik tersebut terhadap ketiga lingkaran.
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 $
$ L_2 : \, x^2 + y^2 = 13 $
$ L_3 : \, x^2 + y^2 +3x - 2y - 26 = 0 $
Penyelesaian :
*). Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : $ L_1 - L_2 =0 \rightarrow x + y = 1 $
garis kuasa kedua : $ L_1 - L_3 =0 \rightarrow -2x + 3y = -12 $
garis kuasa ketiga : $ L_2 - L_3 =0 \rightarrow -3x + 2y = -13 $
*). Menentukan titik kuasa dengan eliminasi garis kuasa I dan II
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 1 & \text{ kali 2 } & 2x + 2y = 2 & \\ -2x + 3y = -12 & \text{ kali 1 } & -2x + 3y = -12 & + \\ \hline & & 5y = -10 & \\ & & y = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ x + y = 1 \rightarrow x + (-2) = 1 \rightarrow x = 3 $
Jadi, titik kuasa ketiga lingkaran adalah (3,-2)
*).Kuasa titik (3,-2) terhadap lingkaran, di sini kita gunakan lingkran pertama
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 \rightarrow K = 3^2 + (-2)^2 +3 + (-2) - 14 = 0 $
Kuasa titik (3,-2) terhadap ketiga lingkaran adalah 0.
Karena nilai kuasanya nol ($ K = 0 $), maka titik (3,-2) ada pada ketiga lingkaran.
Kuasa Suatu Titik terhadap Lingkaran
Misalkan ada titik T($x_1,y_1$) diluar lingkaran, dan ada lingkaran L yang berpusat di titik P dan jari-jari $ r $ seperti gambar berikut.
Kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran L didefinisikan sebagai nilai $ TP^2 - r^2 \, $ .
$ \spadesuit $ Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :
Misalkan ada persamaan lingkaran
L : $ x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dengan pusat $ P\left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $ dan kuadrat jari-jarinya $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ .
Kuasa (K) titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran L, adalah
$ K = TP^2 - r^2 = \left( x_1 + \frac{1}{2}A \right)^2 + \left( y_1 + \frac{1}{2}B \right)^2 - r^2 \, $ atau
$ K = x_1^2 + y_1^2 +Ax_1 + By_1 + C $
Perhatikan bahwa kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran $ L \, : \, x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dapat diperoleh dengan cara menggantikan $ x $ dan $ y $ pada persamaan lingkaran itu dengan $ x_1 $ dan $ y_1 $ .
$\clubsuit $ Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada lingkaran
Setelah diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya bisa digunakan untuk menentukan letak titik tersebut terhadap lingkaran, yaitu :
i). Jika $ K > 0, \, $ maka titik ada di luar lingkaran.
ii). Jika $ K = 0, \, $ maka titik terletak pada lingkaran.
iii). Jika $ K < 0, \, $ maka titik terletak di dalam lingkaran.
$ \spadesuit $ Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :
Misalkan ada persamaan lingkaran
L : $ x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dengan pusat $ P\left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $ dan kuadrat jari-jarinya $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ .
Kuasa (K) titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran L, adalah
$ K = TP^2 - r^2 = \left( x_1 + \frac{1}{2}A \right)^2 + \left( y_1 + \frac{1}{2}B \right)^2 - r^2 \, $ atau
$ K = x_1^2 + y_1^2 +Ax_1 + By_1 + C $
Perhatikan bahwa kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran $ L \, : \, x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dapat diperoleh dengan cara menggantikan $ x $ dan $ y $ pada persamaan lingkaran itu dengan $ x_1 $ dan $ y_1 $ .
$\clubsuit $ Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada lingkaran
Setelah diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya bisa digunakan untuk menentukan letak titik tersebut terhadap lingkaran, yaitu :
i). Jika $ K > 0, \, $ maka titik ada di luar lingkaran.
ii). Jika $ K = 0, \, $ maka titik terletak pada lingkaran.
iii). Jika $ K < 0, \, $ maka titik terletak di dalam lingkaran.
Tentukan kuasa titik T(1,2) terhadap lingkaran-lingkaran :
a). $ x^2 + y^2 +2x - 4y + 6 = 0 $
b). $ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 $
Penyelesaian :
*). Substitusi titik T(1,2) ke persamaan lingkaran
a). K = $ 1^2 + 2^2 +2.1 - 4.2 + 6 = 5 $
b). Nol kan ruas kanan persamaan lingkaran.
$ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 \rightarrow (x-2)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0 $
$ K = (1-2)^2 + (2 + 1)^2 - 4 = 6 $
Karena nilai kuasa titik terhadap kedua lingkaran di atas positif ($K > 0 $), maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran.
Titik Kuasa dan Garis Kuasa Dua Lingkaran
$ \clubsuit $ Garis Kuasa
Misalkan ada dua buah lingkaran, dan terdapat titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Himpunan semua titik kuasa (memiliki kuasa yang sama terhadap dua lingkaran) akan membentuk suatu garis yang dinamakan sebagai garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran.
Cara menentukan garis kuasa :
Misalkan ada dua lingkaran yaitu
$ L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 \, $ dan
$ L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ .
Garis kuasanya adalah :
$ L_1 - L_2 = 0 \, $ atau $ \, (A_1 - A_2)x + (B_1 - B_2)y + (C_1 - C_2) = 0 $
$ \clubsuit $ Titik Kuasa
Titik Kuasa adalah titik yang terletak pada garis kuasa dan mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.
Cara Menentukan titik kuasa :
Substitusi sebarang nilai salah satu variabelnya (misalkan pilih salah satu nilai $ x_1 $ ) ke persamaan garis kuasa, akan diperoleh nilai $ y_1 $ . Titik ($x_1,y_1$) ini lah disebut sebagai salah satu titik kuasa kedua lingkaran.
Misalkan ada dua buah lingkaran, dan terdapat titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Himpunan semua titik kuasa (memiliki kuasa yang sama terhadap dua lingkaran) akan membentuk suatu garis yang dinamakan sebagai garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran.
Cara menentukan garis kuasa :
Misalkan ada dua lingkaran yaitu
$ L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 \, $ dan
$ L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ .
Garis kuasanya adalah :
$ L_1 - L_2 = 0 \, $ atau $ \, (A_1 - A_2)x + (B_1 - B_2)y + (C_1 - C_2) = 0 $
$ \clubsuit $ Titik Kuasa
Titik Kuasa adalah titik yang terletak pada garis kuasa dan mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.
Cara Menentukan titik kuasa :
Substitusi sebarang nilai salah satu variabelnya (misalkan pilih salah satu nilai $ x_1 $ ) ke persamaan garis kuasa, akan diperoleh nilai $ y_1 $ . Titik ($x_1,y_1$) ini lah disebut sebagai salah satu titik kuasa kedua lingkaran.
Diketahui dua persamaan lingkaran :
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \, $ dan $ \, L_2 : x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 $
a). Tentukan persamaan garis kuasanya;
b). Tentukan titik kuasanya pada sumbu X dan kuasanya pada kedua lingkaran.
c). Tentukan titik kuasanya pada sumbu Y dan kuasanya pada kedua lingkaran.
Penyelesaian :
a). Menentukan garis kuasa : $ L_1 - L_2 = 0 $
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 & - \\ \hline 14x + 2y - 42 = 0 & \\ 7x + y = 21 & \end{array} $
garis kuasanya adalah $ 7x + y = 21 $
b). Titik kuasa pada sumbu X, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu X, caranya adalah substitusi $ y = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ y = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7x + 0 = 21 \rightarrow x = 3 $
artinya titik kuasa pada sumbu X adalah titik (3,0).
*). Kuasa titik (3,0) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (3,0) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 3^2 + 0^2 + 2.3 -2.0 - 6 = 9 $
kuasa titik (3,0) adalah 9.
c). Titik kuasa pada sumbu Y, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu Y, caranya adalah substitusi $ x = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ x = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7.0 + y = 21 \rightarrow = 21 $
artinya titik kuasa pada sumbu Y adalah titik (0,21).
*). Kuasa titik (0,21) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (0,21) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 0^2 + 21^2 + 2.0 -2.21 - 6 = 393 $
kuasa titik (0,21) adalah 393.
Berikut gambar lingkaran dan garis kuasanya :
Titik Kuasa dan Garis Kuasa Tiga Lingkaran
$\spadesuit $ Garis Kuasa
Misalkan ada tiga lingkaran : $ L_1, \, L_2, \, $ dan $ L_3 . \, $ Garis kuasa yang terbentuk ada tiga yaitu
$ g_1 : \, L_1 - L_2 = 0 ; \, g_2 : \, L_1 - L_3 = 0 ; \, g_3 : \, L_2 - L_3 = 0 $
$\spadesuit $ Titik Kuasa
Sementara titik kuasa tiga lingkaran hanya ada satu titik kuasa saja, yaitu perpotongan ketiga garis kuasa yang terbentuk. Untuk menentukan titik kuasanya, cukup ambil dua garis kuasa saja kemudian cari perpotongan kedua garis tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi.
Misalkan ada tiga lingkaran : $ L_1, \, L_2, \, $ dan $ L_3 . \, $ Garis kuasa yang terbentuk ada tiga yaitu
$ g_1 : \, L_1 - L_2 = 0 ; \, g_2 : \, L_1 - L_3 = 0 ; \, g_3 : \, L_2 - L_3 = 0 $
$\spadesuit $ Titik Kuasa
Sementara titik kuasa tiga lingkaran hanya ada satu titik kuasa saja, yaitu perpotongan ketiga garis kuasa yang terbentuk. Untuk menentukan titik kuasanya, cukup ambil dua garis kuasa saja kemudian cari perpotongan kedua garis tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi.
Tentukan garis kuasa dan titik kuasa dari ketiga lingkran berikut dan kuasa titik tersebut terhadap ketiga lingkaran.
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 $
$ L_2 : \, x^2 + y^2 = 13 $
$ L_3 : \, x^2 + y^2 +3x - 2y - 26 = 0 $
Penyelesaian :
*). Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : $ L_1 - L_2 =0 \rightarrow x + y = 1 $
garis kuasa kedua : $ L_1 - L_3 =0 \rightarrow -2x + 3y = -12 $
garis kuasa ketiga : $ L_2 - L_3 =0 \rightarrow -3x + 2y = -13 $
*). Menentukan titik kuasa dengan eliminasi garis kuasa I dan II
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 1 & \text{ kali 2 } & 2x + 2y = 2 & \\ -2x + 3y = -12 & \text{ kali 1 } & -2x + 3y = -12 & + \\ \hline & & 5y = -10 & \\ & & y = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ x + y = 1 \rightarrow x + (-2) = 1 \rightarrow x = 3 $
Jadi, titik kuasa ketiga lingkaran adalah (3,-2)
*).Kuasa titik (3,-2) terhadap lingkaran, di sini kita gunakan lingkran pertama
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 \rightarrow K = 3^2 + (-2)^2 +3 + (-2) - 14 = 0 $
Kuasa titik (3,-2) terhadap ketiga lingkaran adalah 0.
Karena nilai kuasanya nol ($ K = 0 $), maka titik (3,-2) ada pada ketiga lingkaran.