Garis singgung persekutuan lingkaran maksudnya ada suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran baik satu lingkaran, dua lingkaran, atau pun lebih. Kosep dasar yang digunakan pada materi garis singgung persekutuan lingkaran adalah teorema pythagoras. Adapun hal-hal yang akan dibahas dalam materi garis singgung ini yatiu garis singgung pada satu lingkaran, garis singgung pada dua lingkaran, dan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran. Tapi sebelumnya akan dibahas dulu sedikit tentang teorema pythagoras.
Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC?
Penyelesaian :
*). Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 5.
Contoh :
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka
a. gambarlah sketsanya;
b. tentukan panjang garis singgung AB.
Penyelesaian :
a). Sketsanya
b). panjang garis singgung AB
$ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 - 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.
Contoh :
Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 15, R = 5, r = 4 $
*). Panjang garis singgung persekutuan dalamnya :
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \\ d & = \sqrt{15^2 - (5+4)^2} \\ d & = \sqrt{225 - 81} \\ d & = \sqrt{144} = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm
Contoh :
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3$\frac{1}{2} \, $ cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 13, \, d = 12, r = 3,5 $
*). Panjang garis singgung persekutuan luar
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \\ R - r & = \sqrt{p^2 - d^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{13^2 - 12^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{25 } \\ R - 3,5 & = 5 \\ R & = 5 + 3,5 = 8,5 \end{align} $
Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 8,5 cm.
Contoh : Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
*). Menentukan panjang masing-masing.
dari gambar ilustrasi di atas,
panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $
Segitiga ABC sama sisi, sehingga :
$ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $
$ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $
$ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 90^\circ ) = 120^\circ $
Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sehingga kalau dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ .
Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sehingga :
$ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling lingkaran } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $
*). Panjang total sabuk lilitan
$ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $
Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya adalah 86 cm.
Catatan : Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kebanyakan membentuk keliling satu lingkaran.
Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut:
Anggap jari-jari masing-masing lingkaran adalah 7 cm.
HINT ANSWER:
gambar (i) : panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling lingkaran
gambar (ii) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran
gambar (iii) : panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling lingkaran } $
gambar (iv) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran.
Teorema Pythagoras
Mislakan ada segitiga siku-siku seperti berikut,
Maka berlaku teorema Pythagoras untuk panjang sisi-sisinya, yaitu :
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC?
Penyelesaian :
*). Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 5.
Garis Singgung pada Satu Lingkaran
$\clubsuit $ Defenisi garis singgung lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
Pada gambar di atas tampak bahwa garis $ k $ tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis $ k $ adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.
$\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran
Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB $ \bot $ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO.
Dengan teorema Pythagoras berlaku :
$ \begin{align} OB^2 + AB^2 & = OA^2 \\ AB^2 & = OA^2 - OB^2 \\ AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \end{align} $
Artinya, panjang garis singgung AB adalah $ AB = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } $
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
$\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran
Dengan teorema Pythagoras berlaku :
$ \begin{align} OB^2 + AB^2 & = OA^2 \\ AB^2 & = OA^2 - OB^2 \\ AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \end{align} $
Artinya, panjang garis singgung AB adalah $ AB = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } $
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka
a. gambarlah sketsanya;
b. tentukan panjang garis singgung AB.
Penyelesaian :
a). Sketsanya
$ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 - 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.
Garis singgung pada dua lingkaran (Garis singgung persekutuan)
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Dari beberapa "kedudukan dua lingkaran", diperoleh berbagai garis singgung yaitu :
gambar 1 : kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
gambar 2 : kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.
gambar 3 : kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
gambar 4 : kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.
gambar 5 : kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.
Namun yang akan dibahas lebih lanjut adalah garis singgung pada gambar 5, yang bisa dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar lingkaran.
gambar 1 : kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
gambar 2 : kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.
gambar 3 : kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
gambar 4 : kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.
gambar 5 : kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.
Namun yang akan dibahas lebih lanjut adalah garis singgung pada gambar 5, yang bisa dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar lingkaran.
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran
Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan dalam lingkaran.
Garis singgung persekutuan dalamnya adalah garis AB
Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan gambar di atas. Perpanjang garis PA di titik S sehingga garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA + AS = R + r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R+r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R+r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 15, R = 5, r = 4 $
*). Panjang garis singgung persekutuan dalamnya :
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \\ d & = \sqrt{15^2 - (5+4)^2} \\ d & = \sqrt{225 - 81} \\ d & = \sqrt{144} = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm
Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran
Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan luar lingkaran.
Garis singgung persekutuan luarnya adalah garis AB
Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan gambar di atas. Dibuat garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA - SA = R - r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R-r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R-r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3$\frac{1}{2} \, $ cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 13, \, d = 12, r = 3,5 $
*). Panjang garis singgung persekutuan luar
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \\ R - r & = \sqrt{p^2 - d^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{13^2 - 12^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{25 } \\ R - 3,5 & = 5 \\ R & = 5 + 3,5 = 8,5 \end{align} $
Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 8,5 cm.
Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang Menghubungkan Lingkaran
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kita akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan.
Konsep yang digunakan adalah panjang busur lingkaran, silahkan baca juga materinya di "Irisan Dua Lingkaran".
Konsep yang digunakan adalah panjang busur lingkaran, silahkan baca juga materinya di "Irisan Dua Lingkaran".
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
dari gambar ilustrasi di atas,
panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $
Segitiga ABC sama sisi, sehingga :
$ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $
$ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $
$ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 90^\circ ) = 120^\circ $
Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sehingga kalau dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ .
Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sehingga :
$ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling lingkaran } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $
*). Panjang total sabuk lilitan
$ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $
Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya adalah 86 cm.
Catatan : Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kebanyakan membentuk keliling satu lingkaran.
Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut:
HINT ANSWER:
gambar (i) : panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling lingkaran
gambar (ii) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran
gambar (iii) : panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling lingkaran } $
gambar (iv) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran.