Pada artikel ini kita akan membahas tentang Relasi dan Fungsi. Relasi dan fungsi keduanya memiliki keterkaitan. Semua fungsi sudah pasti merupakan suatu relasi, akan tetapi tidak berlaku sebaliknya, yaitu semua relasi belum tentu sebagai fungsi. Untuk kali ini kita akan lebih mendalam membahas tentang Relasi . Silahkan juga baca artikel tentang "Fungsi"
Catatan :
1). Relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua himpunan/kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain.
2). Relasi dapat terbentuk apabila ada aturan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.
Contoh :
1). Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 68 di Kabupaten ABC, SMA Negeri 1 ABC akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar siswa SMA pada pertandingan tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Sekolah membuat pilihan dalam menentukan pertandingan yang akan diikuti oleh keenam siswa tersebut yaitu Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan badminton, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Beni ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja.
Pasangkanlah siswa dengan jenis pertandingan yang akan diikuti menggunakan diagram panah, pasangan terurut, dan diagram kartesius. ?
Penyelesaian :
Nama Relasinya adalah "Mengikuti pertandingan".
Berikut penyajian Relasinya :
*). Diagram panah
*). Himpunan pasangan berurutan
{(Udin,tenis lapangan), (Udin, bola voli), (Joko, badminton), (Dayu, catur), (Siti, bola voli), (Beni, tenis meja), (Tono, tenis meja)}
*). Diagram kartesius
Adapun domain, kodomain, dan rangenya :
Domain : {Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, Tono}
Kodomain : {tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, catur}
Range : {tenis lapangan, bola voli, badminton, tenis meja, catur}
2). Sebuah relasi sering dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel $x$ dan $y$, sebagai contoh: $y = x + 1$ dan $x = y^2$. Nilai $x$ merupakan domain relasi dan nilai $y$ merupakan daerah hasil relasi. Pada persamaan $y = x + 1$, jika domain $x$ dibatasi oleh $ 0 < x \leq 5 $, untuk $x$ bilangan real, maka daerah hasilnya adalah $ 1 < y \leq 6$.
3). Tidak semua relasi dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan Gambar di atas, dapat diketahui bahwa:
*). Seluruh titik pada $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ merupakan contoh relasi.
*). Kesepuluh titik-titik pada Gambar (ii) merupakan contoh relasi.
Namun kedua jenis diagram kartesius tersebut di atas sulit diubah dalam bentuk persamaan.
Contoh :
1). Diberikan himpunan $P = {1, 2, 3}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $S = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $P$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
2). Diberikan himpunan $Q = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $Q$ dengan $R = \{(a,b)| a \text{ kelipatan bulat } b, \text{ dengan } a,b \in Q\}$, sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $Q$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
3). Diberikan himpunan $ C = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{(a,b)|a + b < 9, \text{ dengan } a,b \in C\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat refleksif sebab ada anggota himpunan $C$, yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau $(5, 5) \not \in R$.
Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ bersifat simetris sebab untuk setiap $(x,y) \in R$, berlaku $(y,x) \in R$.
2). Diberikan himpunan $A = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $A$ dengan $R = \{(x, y) | x \text{ kelipatan } y, \text{ dengan } x, y \in A\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota $R$ tetapi (2,4) $ \not \in R$.
Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat transitif sebab $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.
2). Diberikan himpunan $C = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,1) $ \in R$ dan (1,2) $\in R$ , tetapi (2,1) $\not \in R$.
Contoh
1). Diberikan himpunan $C = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{ (a,b) | a \text{ kelipatan } b, a,b \in C\}$ sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat antisimetris.
2). Diberikan $S = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $S$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tidak bersifat antisimetris sebab terdapat $(1,2) \in R $ dan $(2,1) \in R$, tetapi $1 \neq 2$.
Contoh
Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi $R$ merupakan relasi ekivalensi.
Selain belajar tentang Relasi dan Fungsi , sebaiknya kita lanjutkan dengan materi yang masih terkait yaitu komposisi fungsi dan fungsi invers. Silahkan baca artikelnya di sini "Komposisi Fungsi" dan "Fungsi Invers".
Pengertian Relasi
Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan pengaitan/ pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
1). Relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua himpunan/kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain.
2). Relasi dapat terbentuk apabila ada aturan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.
Beberapa istilah dalam Relasi
Domain (Daerah Asal)
Daerah asal atau biasa disebut domain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.
Kodomain (Daerah Kawan)
Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.
Range (Daerah Hasil)
Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan.
Penyajian Relasi
Relasi yang terbentuk dapat disajikan dengan tiga cara yaitu :
1). Diagram Panah,
2). Himpunan Pasangan Berurutan,
3). Diagram Kartesius
1). Diagram Panah,
2). Himpunan Pasangan Berurutan,
3). Diagram Kartesius
Pengertian Himpunan Pasangan Berurutan
Misalkan A dan B dua himpunan. Relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B disebut hasil kali kartesius A dan B, dan ditulis:
$ A \times B = \{(x,y) | x \in A \text{ dan } y \in B \}. $
$ A \times B = \{(x,y) | x \in A \text{ dan } y \in B \}. $
Contoh :
1). Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 68 di Kabupaten ABC, SMA Negeri 1 ABC akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar siswa SMA pada pertandingan tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Sekolah membuat pilihan dalam menentukan pertandingan yang akan diikuti oleh keenam siswa tersebut yaitu Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan badminton, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Beni ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja.
Pasangkanlah siswa dengan jenis pertandingan yang akan diikuti menggunakan diagram panah, pasangan terurut, dan diagram kartesius. ?
Penyelesaian :
Nama Relasinya adalah "Mengikuti pertandingan".
Berikut penyajian Relasinya :
*). Diagram panah
{(Udin,tenis lapangan), (Udin, bola voli), (Joko, badminton), (Dayu, catur), (Siti, bola voli), (Beni, tenis meja), (Tono, tenis meja)}
*). Diagram kartesius
Domain : {Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, Tono}
Kodomain : {tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, catur}
Range : {tenis lapangan, bola voli, badminton, tenis meja, catur}
2). Sebuah relasi sering dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel $x$ dan $y$, sebagai contoh: $y = x + 1$ dan $x = y^2$. Nilai $x$ merupakan domain relasi dan nilai $y$ merupakan daerah hasil relasi. Pada persamaan $y = x + 1$, jika domain $x$ dibatasi oleh $ 0 < x \leq 5 $, untuk $x$ bilangan real, maka daerah hasilnya adalah $ 1 < y \leq 6$.
3). Tidak semua relasi dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Perhatikan gambar berikut.
*). Seluruh titik pada $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ merupakan contoh relasi.
*). Kesepuluh titik-titik pada Gambar (ii) merupakan contoh relasi.
Namun kedua jenis diagram kartesius tersebut di atas sulit diubah dalam bentuk persamaan.
Sifat-sifat Relasi
Sifat 1 : Sifat Reflektif
Misalkan $ R $ sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap $p \in P $ berlaku $(p, p) \in R $, artinya setiap anggota himpunan $ P $ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh :
1). Diberikan himpunan $P = {1, 2, 3}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $S = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $P$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
2). Diberikan himpunan $Q = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $Q$ dengan $R = \{(a,b)| a \text{ kelipatan bulat } b, \text{ dengan } a,b \in Q\}$, sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $Q$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
3). Diberikan himpunan $ C = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{(a,b)|a + b < 9, \text{ dengan } a,b \in C\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat refleksif sebab ada anggota himpunan $C$, yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau $(5, 5) \not \in R$.
Sifat 2 : Sifat Simetris
Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap $(x, y) \in R$ berlaku $ (y, x) \in R$, artinya jika $(x,y) $ ada dalam himpunan $ R $ , maka $ (y,x) $ juga harus ada dalam himpunan $ R $ .
Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ bersifat simetris sebab untuk setiap $(x,y) \in R$, berlaku $(y,x) \in R$.
2). Diberikan himpunan $A = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $A$ dengan $R = \{(x, y) | x \text{ kelipatan } y, \text{ dengan } x, y \in A\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota $R$ tetapi (2,4) $ \not \in R$.
Sifat 3 : Sifat Transitif
Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ bersifat transitif apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.
Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat transitif sebab $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.
2). Diberikan himpunan $C = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,1) $ \in R$ dan (1,2) $\in R$ , tetapi (2,1) $\not \in R$.
Sifat 4 : Sifat Antisimetris
Misalkan $R$ sebuah relasi pada sebuah himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $(y,x) \in R$ berlaku $x = y$.
Contoh
1). Diberikan himpunan $C = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{ (a,b) | a \text{ kelipatan } b, a,b \in C\}$ sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat antisimetris.
2). Diberikan $S = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $S$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tidak bersifat antisimetris sebab terdapat $(1,2) \in R $ dan $(2,1) \in R$, tetapi $1 \neq 2$.
Relasi ekivalensi
Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi $R$ memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.
Contoh
Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi $R$ merupakan relasi ekivalensi.
Selain belajar tentang Relasi dan Fungsi , sebaiknya kita lanjutkan dengan materi yang masih terkait yaitu komposisi fungsi dan fungsi invers. Silahkan baca artikelnya di sini "Komposisi Fungsi" dan "Fungsi Invers".