Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentang pengenalan matriks dan operasi hitung pada matriks. Kali ini kita akan membahas tentang determinan dan invers suatu matriks. Determinan matriksmerepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.
Determinan dan Invers suatu matriks sangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode determinan atau metode invers. Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti.
Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi "jenis - jenis matriks" . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|.
Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
$ |A| = 2 .5 - 1.4 = 10 - 4 = 6 $
*). determinan matriks B ,
Pengertian Minor suatu matriksMisalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
Adapun Minor matriks A pada baris satu :
$ M_{11}, \, M_{12} , \, $ dan $ M_{13} \, $ merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A.
$ |A| = a_{11}. k_{11} + a_{12}.k_{12} + a_{13}.k_{13} $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.
Contoh : Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1
*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $
*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
$\begin{align} |B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\ & = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\ & = 24 + 4 + (-9) \\ & = 19 \end{align} $
Jadi determinan matriks B adalah 19.
Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1} \, $ , $ A^{-1} \, $ melambangkan invers dari matriks A. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.
Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : $ |A| = 3.1 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $
*). Invers matriks A :
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A adalah $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Catatan :
Rumus invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $ , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika $ |A| = 0 \, $ (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika $ |A| \neq 0 \, $ (determinan $ \neq $ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A
*). Menentukan Minor matriks A
*). Menentukan matriks kofaktornya : $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)} . |M_{11}| = (-1)^2 . (-1) = -1 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)} . |M_{12}| = (-1)^3 . (-1) = 1 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)} . |M_{13}| = (-1)^4 . (-6) = -6 $
$ k_{21} = (-1)^{(2+1)} . |M_{21}| = (-1)^3 . (1) = -1 $
$ k_{22} = (-1)^{(2+2)} . |M_{22}| = (-1)^4 . (-8) = -8 $
$ k_{23} = (-1)^{(2+3)} . |M_{23}| = (-1)^5 . (-12) = 12 $
$ k_{31} = (-1)^{(3+1)} . |M_{31}| = (-1)^4 . (-2) = -2 $
$ k_{32} = (-1)^{(3+2)} . |M_{32}| = (-1)^5 . (-2) = 2 $
$ k_{33} = (-1)^{(3+3)} . |M_{33}| = (-1)^6 . (-3) = -3 $
Sehingga matriks kofaktornya :
$ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 & -6 \\ -1 & -8 & 12 \\ -2 & 2 & -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan adjoin matriks A
$ adj(A) = K^t = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
*). invers matriks A
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{-1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{-2}{9} \\ \frac{6}{9} & \frac{-12}{9} & \frac{3}{9} \end{matrix} \right) $
Setelah kita memahami tentang determinan dan invers suatu matriks persegi, selanjutnya kita harus menguasai materi yang tidak kalah pentingnya lagi yaitu tentang sifat-sifat determinan dan invers. Silahkan baca materinya dengan klik "Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks".
Untuk menentukan invers suatu matriks, bisa menggunakan "Operasi Baris Elementer (OBE)". Determinan dan invers suatu matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Untuk penjelasannya, bisa sobat baca pada artikel "Penerapan matriks pada SPL" .
Determinan dan Invers suatu matriks sangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode determinan atau metode invers. Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti.
Determinan Matriks
Determinan matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
Determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
determinan matriks A adalah :
Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks $ 3 \times 3 \, $ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor . Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
determinan matriks A adalah :
Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
$ |A| = 2 .5 - 1.4 = 10 - 4 = 6 $
*). determinan matriks B ,
Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor
Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu. Pengertian Minor suatu matriks
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan $ M_{ij} \, $ adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-$i \, $ dan elemen-elemen pada kolom ke-$j$.
Adapun Minor matriks A pada baris satu :
Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks A dilambangkan dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $ . Bentuk $|M_{ij}| $ menyatakan determinan dari minor $ M_{ij} $ . Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.
Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.
Contoh : Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $
*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
$\begin{align} |B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\ & = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\ & = 24 + 4 + (-9) \\ & = 19 \end{align} $
Jadi determinan matriks B adalah 19.
Invers Matriks
Invers matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : $ |A| = 3.1 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $
*). Invers matriks A :
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A adalah $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Invers matriks $ 3 \times 3 \, $ dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $
$adj(A) \, $ artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $
dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
maka adjoin matriks A adalah $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $
$adj(A) \, $ artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $
dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
maka adjoin matriks A adalah $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.
Rumus invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $ , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika $ |A| = 0 \, $ (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika $ |A| \neq 0 \, $ (determinan $ \neq $ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)
Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)} . |M_{11}| = (-1)^2 . (-1) = -1 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)} . |M_{12}| = (-1)^3 . (-1) = 1 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)} . |M_{13}| = (-1)^4 . (-6) = -6 $
$ k_{21} = (-1)^{(2+1)} . |M_{21}| = (-1)^3 . (1) = -1 $
$ k_{22} = (-1)^{(2+2)} . |M_{22}| = (-1)^4 . (-8) = -8 $
$ k_{23} = (-1)^{(2+3)} . |M_{23}| = (-1)^5 . (-12) = 12 $
$ k_{31} = (-1)^{(3+1)} . |M_{31}| = (-1)^4 . (-2) = -2 $
$ k_{32} = (-1)^{(3+2)} . |M_{32}| = (-1)^5 . (-2) = 2 $
$ k_{33} = (-1)^{(3+3)} . |M_{33}| = (-1)^6 . (-3) = -3 $
Sehingga matriks kofaktornya :
$ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 & -6 \\ -1 & -8 & 12 \\ -2 & 2 & -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan adjoin matriks A
$ adj(A) = K^t = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
*). invers matriks A
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{-1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{-2}{9} \\ \frac{6}{9} & \frac{-12}{9} & \frac{3}{9} \end{matrix} \right) $
Setelah kita memahami tentang determinan dan invers suatu matriks persegi, selanjutnya kita harus menguasai materi yang tidak kalah pentingnya lagi yaitu tentang sifat-sifat determinan dan invers. Silahkan baca materinya dengan klik "Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks".
Untuk menentukan invers suatu matriks, bisa menggunakan "Operasi Baris Elementer (OBE)". Determinan dan invers suatu matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Untuk penjelasannya, bisa sobat baca pada artikel "Penerapan matriks pada SPL" .