Mengenal Sifat Sifat Logaritma

         Untuk dapat mengerjakan soal-soal logaritma, hal yang paling penting dikuasai adalah sifat-sifat logaritmanya. Kebanyakan soal-soal logaritma yang keluar seperti pada Ujian Nasional atau pun Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri pasti penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat logaritma. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat sifat-sifatnya berikut.

         Sifat-sifat Logaritma merupakan materi dasar yang harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan kita harus mengetahui cara penggunaannya. Sifat-sifat logaritma ini bisa kita ibaratkan sebagai alat-alat untuk menghitung dan menentukan hasil dari suatu bentuk logaritma. Tanpa mengerti sifat-sifat logaritma, akan sulit bagi kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan langsung dengan logaritma.

         Untuk memudahkan dalam mengingat Sifat-sifat Logaritma , kita perlu banyak mengerjakan soal-soal logaritma dengan berbagai variasi tipe soal, bila perlu kita kerjakan soal-soal untuk tes seleksi masuk perguruan tinggi, karena soal-soal tersebut biasanya akan sangat menantang untuk kita kerjakan. Dengan biasa mengerjakan soal-soal logaritma, maka secara tidak langsung kita juga akan mengingatnya (sifat-sifatnya) dengan sendirinya.

Adapun sifat-sifat logaritma :

Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :

i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ akibatnya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , akibatnya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $

Berikut beberapa contoh untuk sifat-sifat logaritma yang telah disebutkan di atas.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari : $ {}^5 \log 1 \, $ dan $ {}^7 \log 7 $ ?

Penyelesaian :
*). $ {}^5 \log 1 = 0 , \, $ karena $ 5^0 = 1 $
*). $ {}^7 \log 7 = 1 , \, $ karena $ 7^1 = 7 $

Contoh 2.

Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ dan $ \log 3 = 0,477 \, $ , nilai $ \log 6 = .... $

Penyelesaian : berdasarkan sifat (iii) ,
$ \log 6 = \log (2.3) = \log 2 + \log 3 = 0,310 + 0,477 = 0,778 $
Jadi, nilai $ \log 6 = 0,778 $

Contoh 3.

Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ , nilai $ \log 5 = .... $

Penyelesaian : berdasarkan sifat (iv) ,
$ \log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - 0,301 = 0,699 $
Jadi, nilai $ \log 5 = 0,699 $

Contoh 4.

Tentukan nilai dari $ 3^{{}^3 \log 7} $ ?

Penyelesaian : berdasarkan sifat (v) ,
$ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Jadi, nilai $ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $

Contoh 5.

Tentukan nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 $ ?

Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^\sqrt{2} \log 8 = {{}^2}^\frac{1}{2} \log 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 2 = 6. 1 = 6 $
Jadi, nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 = 6 $

Contoh 6.

Tentukan nilai $ {}^5 \log 625 $ ?

Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^5 \log 625 = {}^5 \log 5^4 = 4. {}^5 \log 5 = 4. 1 = 4 $
Jadi, nilai $ {}^5 \log 625 = 4 $

Contoh 7.

Tentukan nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 $ ?

Penyelesaian : berdasarkan sifat (vii) ,
$\begin{align} {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 & = {}^2 \log 3 . \, {{}^3}^\frac{1}{2} \log 2^4 \\ & = {}^2 \log 3 . \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 3 . {}^3 \log 2 \\ & = 8 . {}^2 \log 2 \\ & = 8 . 1 = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 = 8 $

Contoh 8.

Jika $ {}^2 \log 3 = p \, $ dan $ {}^2 \log 5 = q , \, $ maka nyatakan logaritma berikut hasilnya dalam bentuk $ p \, $ dan $ q $ ?
a). $ {}^2 \log 15 $
b). $ {}^{12} \log 20 $

Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (iii) :
$ {}^2 \log 15 = {}^2 \log (3.5) = {}^2 \log 3 + {}^2 \log 5 = p + q $
Jadi, nilai $ {}^2 \log 15 = p + q $
b). Berdasarkan sifat (vii) dan (iii) :
$\begin{align} {}^{12} \log 20 & = \frac{{}^2 \log 20}{{}^2 \log 12} \\ & = \frac{{}^2 \log (4.5)}{{}^2 \log (4.3)} \\ & = \frac{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 5}{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 3} \\ & = \frac{2 + q }{2 + p } \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^{12} \log 20 = \frac{2 + q }{2 + p } $

Sebenarnya untuk menyelesaikan soal logaritma, sifat-sifat yang digunakan bebas dari sifat (i) sampai sifat (vii). Jika sifat-sifat logaritma yang digunakan tepat, maka penyelesaiannya akan lebih singkat. Akan tetapi jika sifat yang digunakan tidak tepat, maka penyelesaiannya akan lebih lama, tapi yakinlah pasti jawabannya akan ditemukan.