Pada artikel ini kita membahas materi Pengertian Suku Banyak dan Operasinya. Secara umum sub materi yang akan kita pelajari pada suku banyak yaitu : "pengertian suku banyak", "operasi-operasi pada suku banyak seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian", "teorema sisa dan teorema faktor", dan "akar-akar persamaan suku banyak".
a). 2x3−5x2+x−7
b). 7x9+2x3−3x+2
Penyelesaian :
a). 2x3−5x2+x−7
Bentuk 2x3−5x2+x−7 berderajat 3 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : 2x3 , koefisien dari x3 adalah 2.
Suku kedua : −5x2 , koefisien dari x2 adalah −5.
Suku ketiga : x , koefisien dari x adalah 1.
Suku keempat : −7 , dengan -7 adalah suku tetapnya.
b). 7x9+2x3−3x+2
Bentuk 7x9+2x3−3x+2 berderajat 9 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : 7x9 , koefisien dari x9 adalah 7.
Suku kedua : 2x3 , koefisien dari x3 adalah 2.
Suku ketiga : −3x , koefisien dari x adalah −3.
Suku keempat : 2 , dengan 2 adalah suku tetapnya.
Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat yang terdiri dari suku-suku. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan:
anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a1x+a0.
Keterangan :
*). n= derajat suku banyak dengan n adalah bilangan cacah ,
*). an,an−1,...,a1 adalah koefisien suku banyak dengan an≠0 ,
*). anxn adalah suku pertama ,
*). an−1xn−1 adalah suku kedua ,
dan seterusnya.
*). a0 adalah suku tetap
anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a1x+a0.
Keterangan :
*). n= derajat suku banyak dengan n adalah bilangan cacah ,
*). an,an−1,...,a1 adalah koefisien suku banyak dengan an≠0 ,
*). anxn adalah suku pertama ,
*). an−1xn−1 adalah suku kedua ,
dan seterusnya.
*). a0 adalah suku tetap
Contoh soal dan Pembahasan suku banyak :
1). Dari bentuk suku banyak berikut ini, tentukan derajatnya, suku dan koefisiennya, dan suku tetapnya.a). 2x3−5x2+x−7
b). 7x9+2x3−3x+2
Penyelesaian :
a). 2x3−5x2+x−7
Bentuk 2x3−5x2+x−7 berderajat 3 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : 2x3 , koefisien dari x3 adalah 2.
Suku kedua : −5x2 , koefisien dari x2 adalah −5.
Suku ketiga : x , koefisien dari x adalah 1.
Suku keempat : −7 , dengan -7 adalah suku tetapnya.
b). 7x9+2x3−3x+2
Bentuk 7x9+2x3−3x+2 berderajat 9 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : 7x9 , koefisien dari x9 adalah 7.
Suku kedua : 2x3 , koefisien dari x3 adalah 2.
Suku ketiga : −3x , koefisien dari x adalah −3.
Suku keempat : 2 , dengan 2 adalah suku tetapnya.
Operasi-operasi pada Suku Banyak
Operasi-operasi pada suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Hanya saja yang akan dibahas pada artikel ini adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Misalkan ada suku banyak f(x) berderajat m dan g(x) berderajat n :
*). Operasi penjumlahan :
Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. f(x)+g(x) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n.
*). Operasi pengurangan :
Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. f(x)−g(x)=f(x)+(−g(x)) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n.
*). Operasi penjumlahan :
Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada. f(x)×g(x) adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan (m+n).
Tentukanlah hasil dari :
a). f(x)+g(x),
b). f(x)−g(x),
c). f(x)×g(x) .
Penyelesaian :
a). f(x)+g(x),
f(x)+g(x)=(x3−2x2+5)+(x2+5x−3)=x3+(−2x2+x2)+5x+(5−3)=x3+(−x2)+5x+2=x3−x2+5x+2
b). f(x)−g(x),
f(x)−g(x)=(x3−2x2+5)−(x2+5x−3)=(x3−2x2+5)−x2−5x+3=x3+(−2x2−x2)−5x+(5+3)=x3+(−3x2)−5x+8=x3−3x2−5x+8
c). f(x)×g(x) .
Ingat sifat eksponen : am.an=am+n
f(x)×g(x)=(x3−2x2+5)×(x2+5x−3)=x3(x2+5x−3)−2x2(x2+5x−3)+5(x2+5x−3)=x3.x2+x3.5x−x3.3−2x2.x2−2x2.5x+2x2.3+5.x2+5.5x−5.3=x5+5x4−3x3−2x4−10x3+6x2+5x2+25x−15=x5+(5x4−2x4)+(−3x3−10x3)+(6x2+5x2)+25x−15=x5+3x4+(−13x3)+11x2+25x−15=x5+3x4−13x3+11x2+25x−15
3). Diketahui suku banyak f(x)=(2x+a)(x+b) dan g(x)=cx2+3x−2, dengan a,b,c adalah bilangan bulat. Jika f(x)=g(x) , maka tentukan nilai a+b+c.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dari f(x)=g(x).
f(x)=g(x)(2x+a)(x+b)=cx2+3x−22x2+2bx+ax+ab=cx2+3x−22x2+(2b+a)x+ab=cx2+3x−2
kita samakan berdasarkan suku-suku yang sejenis, kita peroleh :
2x2=cx2→c=2.
(2b+a)x=3x→2b+a=3→a=3−2b ....pers(i)
ab=−2 ....pers(ii) .
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
ab=−2(3−2b)b=−23b−2b2=−22b2−3b−2=0(2b+1)(b−2)=0b=−12∨b=2
yang memenuhi adalah b=2.
pers(i) : a=3−2b=3−2.2=3−4=−1.
Sehingga nilai a+b+c=−1+2+2=3.
Jadi, nilai a+b+c=3.
*). Operasi penjumlahan :
Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. f(x)+g(x) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n.
*). Operasi pengurangan :
Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. f(x)−g(x)=f(x)+(−g(x)) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n.
*). Operasi penjumlahan :
Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada. f(x)×g(x) adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan (m+n).
Contoh soal operasi-operasi pada suku banyak :
2). Diketahui suku banyak f(x)=x3−2x2+5 dan g(x)=x2+5x−3.Tentukanlah hasil dari :
a). f(x)+g(x),
b). f(x)−g(x),
c). f(x)×g(x) .
Penyelesaian :
a). f(x)+g(x),
f(x)+g(x)=(x3−2x2+5)+(x2+5x−3)=x3+(−2x2+x2)+5x+(5−3)=x3+(−x2)+5x+2=x3−x2+5x+2
b). f(x)−g(x),
f(x)−g(x)=(x3−2x2+5)−(x2+5x−3)=(x3−2x2+5)−x2−5x+3=x3+(−2x2−x2)−5x+(5+3)=x3+(−3x2)−5x+8=x3−3x2−5x+8
c). f(x)×g(x) .
Ingat sifat eksponen : am.an=am+n
f(x)×g(x)=(x3−2x2+5)×(x2+5x−3)=x3(x2+5x−3)−2x2(x2+5x−3)+5(x2+5x−3)=x3.x2+x3.5x−x3.3−2x2.x2−2x2.5x+2x2.3+5.x2+5.5x−5.3=x5+5x4−3x3−2x4−10x3+6x2+5x2+25x−15=x5+(5x4−2x4)+(−3x3−10x3)+(6x2+5x2)+25x−15=x5+3x4+(−13x3)+11x2+25x−15=x5+3x4−13x3+11x2+25x−15
3). Diketahui suku banyak f(x)=(2x+a)(x+b) dan g(x)=cx2+3x−2, dengan a,b,c adalah bilangan bulat. Jika f(x)=g(x) , maka tentukan nilai a+b+c.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dari f(x)=g(x).
f(x)=g(x)(2x+a)(x+b)=cx2+3x−22x2+2bx+ax+ab=cx2+3x−22x2+(2b+a)x+ab=cx2+3x−2
kita samakan berdasarkan suku-suku yang sejenis, kita peroleh :
2x2=cx2→c=2.
(2b+a)x=3x→2b+a=3→a=3−2b ....pers(i)
ab=−2 ....pers(ii) .
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
ab=−2(3−2b)b=−23b−2b2=−22b2−3b−2=0(2b+1)(b−2)=0b=−12∨b=2
yang memenuhi adalah b=2.
pers(i) : a=3−2b=3−2.2=3−4=−1.
Sehingga nilai a+b+c=−1+2+2=3.
Jadi, nilai a+b+c=3.
