Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Bersyarat yang merupakan bagian dari peluang kejadian majemuk. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan kejadian majemuk yaitu "peluang kejadian saling lepas dan saling bebas" dan baca juga konsep "peluang kejadian secara umum" untuk memudahkan dalam mempelajari materi Peluang Kejadian Bersyarat ini.
Penyelesaian :
*). Misal A adalah kejadian munculnya angka prima,
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}, sehingga $ n(S) = 6 $
A = {2,3,5}, sehingga $ n(A) = 3 $.
Peluang kejadian A : $ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Misal B adalah kejadian muncul mata dadu ganjil,
B = {1,3,5} , sehingga irisannya : $ A \cap B \, $ = {3,5} , dengan $ n(A \cap B) = 2 $.
Peluang irisannya : $ \begin{align} P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu : $ P(B|A) $
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu adalah $ \frac{2}{3} $ .
Catatan :
*). Kejadian A terjadi lebih dahulu, sehingga A = {2,3,5} adalah sebagai ruang sampel dari kejadian B.
*). Kejadian B : B = {3,5} , sehingga peluang kejadian B adalah $ \frac{2}{3} $.
2). Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :
Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X.
Penyelesaian :
*). Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam ( kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.
*). Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola,
sehingga peluangnya $ \, P(X) = \frac{8}{11} $.
*). Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya $ n(B \cap X) = 5 $.
sehingga peluangnya $ \, P(B \cap X) = \frac{5}{11} $.
*). Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda X : $ P(B|X) $
$ \begin{align} P(B|X) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{8}{11}} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah $ \frac{5}{8} $.
Contoh soal :
3). Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil
a). kedua-duanya bola merah,
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih.
Penyelesaian :
a). kedua-duanya bola merah,
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna merah.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{5}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua merah : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang keduanya merah adalah $ \frac{1}{3} $
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna putih.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{4}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua putih : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \end{align} $
Jadi, peluang bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih adalah $ \frac{4}{15} $
4). Dalam supermarket terdapat 12 ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak memperoleh 1 hadiah. Tentukan peluang dari kejadian :
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Penyelesaian :
*). Misalkan I adalah kejadian ibu-ibu memenangkan undian dan R adalah kejadian remaja memenangkan undian.
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang ibu-ibu memenangkan undian pertama : $ P(I_1) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
*). 1 ibu sudah menang, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I_2|I_1) = \frac{11}{15} $.
*). 2 ibu sudah menang, maka tersisa 10 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian ketiga : $ P(I_3|I_1,I_2) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $.
*). Peluang ketiganya dimenangkan oleh ibu-ibu : $ P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) $
$ \begin{align} P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) & = P(I_1) \times P(I_2|I_1) \times P(I_3|I_1,I_2) \\ & = \frac{3}{4} \times \frac{11}{15} \times \frac{5}{7} \\ & = \frac{11}{28} \end{align} $
Jadi, peluang ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \frac{11}{28} $.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang remaja memenangkan undian pertama : $ P(R_1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
*). 1 remaja sudah menang, maka tersisa 12 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I|R_1) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.
*). 1 ibu sudah menang dan 1 remaja, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang remaja memenangkan undian ketiga : $ P(R_2|R_1,I) = \frac{3}{14} $.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja : $ P(R_1 \cap I \cap R_2 ) $
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{14} \\ & = \frac{3}{70} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{70} $.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Terdapat tiga kemungkinan dan cara menghitungnya mirip dengan cara bagian (b) sebelumnya.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{3}{70} = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan ibu-ibu,
$ \begin{align} P(R_1 \cap R_2 \cap I ) & = P(R_1) \times P(R_2|R_1) \times P(I|R_1,R_2) \\ & = \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \times \frac{12}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan ibu-ibu, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(I \cap R_1 \cap R_2 ) & = P(I) \times P(R_1|I) \times P(R_2|I,R_1) \\ & = \frac{12}{16} \times \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
Jadi, peluang terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \, 0,0428 + 0,0428 + 0,0428 = 0,1284 $ .
Konsep Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.
Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(A|B) $ :
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(B) \neq 0 $
Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(B|A) $ :
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(A) \neq 0 $
dengan $ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan A dan B.
Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(A|B) $ :
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(B) \neq 0 $
Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(B|A) $ :
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(A) \neq 0 $
dengan $ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan A dan B.
Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat :
1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.Penyelesaian :
*). Misal A adalah kejadian munculnya angka prima,
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}, sehingga $ n(S) = 6 $
A = {2,3,5}, sehingga $ n(A) = 3 $.
Peluang kejadian A : $ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Misal B adalah kejadian muncul mata dadu ganjil,
B = {1,3,5} , sehingga irisannya : $ A \cap B \, $ = {3,5} , dengan $ n(A \cap B) = 2 $.
Peluang irisannya : $ \begin{align} P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu : $ P(B|A) $
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu adalah $ \frac{2}{3} $ .
Catatan :
*). Kejadian A terjadi lebih dahulu, sehingga A = {2,3,5} adalah sebagai ruang sampel dari kejadian B.
*). Kejadian B : B = {3,5} , sehingga peluang kejadian B adalah $ \frac{2}{3} $.
2). Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :
Penyelesaian :
*). Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam ( kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.
*). Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola,
sehingga peluangnya $ \, P(X) = \frac{8}{11} $.
*). Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya $ n(B \cap X) = 5 $.
sehingga peluangnya $ \, P(B \cap X) = \frac{5}{11} $.
*). Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda X : $ P(B|X) $
$ \begin{align} P(B|X) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{8}{11}} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah $ \frac{5}{8} $.
Menentukan peluang irisan dari peluang kejadian bersyarat
Peluang kejadian A dan B dengan kejadian B terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \rightarrow P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \end{align} $
Peluang kejadian A dan B dengan kejadian A terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \end{align} $
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \rightarrow P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \end{align} $
Peluang kejadian A dan B dengan kejadian A terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \end{align} $
Contoh soal :
3). Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil
a). kedua-duanya bola merah,
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih.
Penyelesaian :
a). kedua-duanya bola merah,
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna merah.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{5}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua merah : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang keduanya merah adalah $ \frac{1}{3} $
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna putih.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{4}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua putih : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \end{align} $
Jadi, peluang bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih adalah $ \frac{4}{15} $
4). Dalam supermarket terdapat 12 ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak memperoleh 1 hadiah. Tentukan peluang dari kejadian :
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Penyelesaian :
*). Misalkan I adalah kejadian ibu-ibu memenangkan undian dan R adalah kejadian remaja memenangkan undian.
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang ibu-ibu memenangkan undian pertama : $ P(I_1) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
*). 1 ibu sudah menang, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I_2|I_1) = \frac{11}{15} $.
*). 2 ibu sudah menang, maka tersisa 10 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian ketiga : $ P(I_3|I_1,I_2) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $.
*). Peluang ketiganya dimenangkan oleh ibu-ibu : $ P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) $
$ \begin{align} P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) & = P(I_1) \times P(I_2|I_1) \times P(I_3|I_1,I_2) \\ & = \frac{3}{4} \times \frac{11}{15} \times \frac{5}{7} \\ & = \frac{11}{28} \end{align} $
Jadi, peluang ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \frac{11}{28} $.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang remaja memenangkan undian pertama : $ P(R_1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
*). 1 remaja sudah menang, maka tersisa 12 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I|R_1) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.
*). 1 ibu sudah menang dan 1 remaja, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang remaja memenangkan undian ketiga : $ P(R_2|R_1,I) = \frac{3}{14} $.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja : $ P(R_1 \cap I \cap R_2 ) $
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{14} \\ & = \frac{3}{70} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{70} $.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Terdapat tiga kemungkinan dan cara menghitungnya mirip dengan cara bagian (b) sebelumnya.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{3}{70} = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan ibu-ibu,
$ \begin{align} P(R_1 \cap R_2 \cap I ) & = P(R_1) \times P(R_2|R_1) \times P(I|R_1,R_2) \\ & = \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \times \frac{12}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan ibu-ibu, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(I \cap R_1 \cap R_2 ) & = P(I) \times P(R_1|I) \times P(R_2|I,R_1) \\ & = \frac{12}{16} \times \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
Jadi, peluang terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \, 0,0428 + 0,0428 + 0,0428 = 0,1284 $ .