Pada soal-soal UN atau soal-soal seleksi masuk PTN biasanya kita diminta menentukan nilai maksimum atau minimum pada suatu soal cerita atau secara umum disebut nilai optimum pada soal cerita. Untuk menyelesaikan soal cerita, salah satu yang kita gunakan adalah menggunakan turunan. Pada artikel kali ini kita khusus membahas materi nilai maksimum dan minimum pada soal cerita. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita harus membaca dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", dan "nilai stasioner".
Contoh :
1). Jumlah dua bilangan adalah 6. Tentukan hasil kali terbesar yang mungkin dari kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ a \, $ dan $ b $ .
Jumlah kedua bilangan = 6 , $ a + b = 6 \rightarrow a = 6 - b \, $ ....pers(i)
*). Menyusun fungsi yang diminta yaitu perkaliannya , misalkan fungsi nya $ f $.
sehingga fungsi pada soal cerita adalah $ f = a.b $ .
*). Substitusi pers(i) ke fungsinya agar menjadi satu variabel,
$ f = a. b \rightarrow f = (6-b).b \rightarrow f(b) = -b^2 + 6b $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b \, $ dengan syarat stasioner :
$ f^\prime (b) = 0 \rightarrow -2b + 6 = 0 \rightarrow b = 3 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ b = 3 $ .
sehingga nilai $ a = 6 - b = 6 - 3 = 3 $.
Diperoleh nilai bilangan pertama 3 dan bilangan kedua 3 agar perkalian kedua bilangan terbesar.
*). Perkalian terbesar kedua bilangan adalah $ a . b = 3.3 = 9 $.
bisa juga langsung substitusi $ b = 3 \, $ ke fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b $
$ f_{maks} = f(3) = -(3)^2 + 6. 3 = -9 + 18 = 9 $.
Jadi, nilai terbesar perkalian kedua bilangan tersebut adalah 6.
2). Lapangan berbentuk persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi jalan tidak ikut dipagari. Harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan jalan adalah RP. 120.000 per meter, dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya adalah RP. 80.000 per meter. Tentukanlah ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar seharga Rp. 36.000.000 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ x \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, dan $ y \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang sejajar dengan jalan raya, serta $ L \, $ adalah luas lapangan.
Luas lapangan : $ L = xy $.
*). Menyusun persamaan.
Harga pagar sisi lapangan yang tegak lurus jalan raya adalah 80.000 per meter,
Harga pagar sisi lapangan yang sejajar jalan raya adalah 120.000 per meter,
Biaya total yang dimiliki adalah 36.000.000
Sehingga persamaan yang terbentuk adalah :
$ \begin{align} \text{jumlah total haraga pagar } & = 36.000.000 \\ 80000x + 80000x + 120000y & = 36.000.000 \\ 160000x + 120000y & = 36.000.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 40.000)} \\ 4x + 3y & = 900 \\ 3y & = 900 - 4x \\ y & = \frac{900 - 4y}{3} \\ y & = 300 - \frac{4}{3}x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun fungsi luasnya, substitusi pers(i) ke luas :
$ L = x.y \rightarrow L = x (300 - \frac{4}{3}x) \rightarrow L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow 300 - \frac{8}{3}x = 0 \rightarrow x = 112,5 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ x = 112,5 $ .
sehingga nilai $ y = 300 - \frac{4}{3}x = 300 - \frac{4}{3}. (112,5) = 150 $.
Jadi, Ukuran lapangannya adalah panjangnya 150 m dan lebarnya 112,5 m.
3). Suatu perusahaan kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi berukuran panjang sisinya 12 m. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan isi terbesar.?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
Keterangan :
gambar (a) menyatakan karton dan gambar (b) menyatakan kotak kardus yang terbentuk.
*). Misalkan $ x \, $ adalah ukuran sisi-sisi persegi dari keempat sudutnya. $ x \, $ disini adalah ukuran pemotongan di keempat sudutnya. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran $ (12- 2x) , \, (12-2x) , \, $ dan $ x \, $ seperti gambar di atas.
*). Menyusun fungsi volume kotak,
$ \begin{align} V & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ V & = (12-2x).(12-2x).x \\ V(x) & = 144x - 48x^2 + 4x^3 \end{align} $
fungsinya : $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 $
$ v^\prime (x) = 144 - 96x + 12x^2 \, $ dan $ V^{\prime \prime } (x) = -96 + 24x $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 \, $ dengan syarat stasioner :
$ V^\prime (x) = 0 \rightarrow 144 - 96 x + 12x^2 = 0 \rightarrow 12(x-2)(x-6) \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $ ,
*). Cek jenis stasioner dari $ x = 2 \vee x = 6 \, $ ke turunan kedua :
Untuk $ x = 2 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.2 = -48 \, $ (negatif), jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 6 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.6 = 48 \, $ (positif), jenisnya minimum.
Artinya volume kotak akan maksimum pada saat $ x = 2 $ .
Jadi, pemotongan sudut karton sebesar 2 m, akan memberikan volume kotak maksimum.
4). Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan $ v $ km/jam memenuhi persamaan $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ liter. Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.?
Penyelesaian :
*). Kita cari dulu jumlah solar maksimum yang dibutuhkan setiap tahunnya, lalu kita kalikan 4.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow Q(v) = - \frac{2}{65}v + 2 = 0 \rightarrow v = 65 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ v = 65 $ .
*). Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan setiap tahun pada saat $ v = 65 $ .
$ v = 65 \rightarrow Q(65) = - \frac{1}{65}.65^2 + 2.65 + 2500 = 2565 \, $ litar.
Sehingga jumlah maskimum soal selama 4 tahun $ = 4 \times 2565 = 10260 \, $ litar.
Jadi, Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 10.260 liter.
5). Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000$\pi$ cm$^3$. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Penyelesaian :
*). Misalkan : jari-jari silinder $ r \, $ , tinggi silinder $ t \, $, volumenya $ v \, $ dan luas silinder $ L $ .
*). Menyusun persamaan :
Diketahui volume silinder = 8.000$\pi$ . $ \begin{align} \text{volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi } \\ 8000\pi & = \pi r^2 . t \\ 8000 & = r^2 . t \\ t & = \frac{8000}{r^2} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan fungsinya (Luas silinder/tabung) :
Luas silinder tanpa tutup :
$ L = \text{ luas alas } + \text{luas selimut } \rightarrow L = \pi r^2 + 2\pi r t $
*). Substitusi pers(i) ke fungsi luasnya :
$ \begin{align} L & = \pi r^2 + 2\pi r t \\ L & = \pi r^2 + 2\pi r . \frac{8000}{ r^2} \\ L & = \pi r^2 + \frac{16000 \pi}{ r} \\ L^\prime & = 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ L^\prime = 0 $
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } & = 0 \\ 2\pi r & = \frac{16000 \pi}{ r^2 } \\ r & = \frac{8000}{ r^2 } \\ r^3 & = 8000 \\ r & = 20 \end{align} $
Sehingga : $ t = \frac{8000}{r^2} = \frac{8000}{(20)^2} = \frac{8000}{400} = 20 $ .
Jadi, tinggi silinder $ t = 20 $ cm dan jari-jari alas $ r = 20 $ cm.
Menentukan nilai Optimum pada soal cerita menggunakan turunan
Langkah-langkah penyelesaian soal cerita untuk nilai maksimum atau minimumnya :
i). Buatlah variabel yang mewakili satuan-satuan pada soal cerita.
ii). Buatlah persamaan yang mewakili dan yang diketahui pada soal cerita.
iii). Buatlah fungsi yang mewakili soal cerita yang ingin dicari nilai maksimum atau minimumnya.
iv). Tentukan nilai variabelnya adengan menggunakan syarat stasioner dari fungsi yang terbentuk, dan tentukan nilai fungsinya.
vi). Nilai fungsi yang diperoleh merupakan nilai optimum dari soal cerita (nilai maksimum atau minimum).
i). Buatlah variabel yang mewakili satuan-satuan pada soal cerita.
ii). Buatlah persamaan yang mewakili dan yang diketahui pada soal cerita.
iii). Buatlah fungsi yang mewakili soal cerita yang ingin dicari nilai maksimum atau minimumnya.
iv). Tentukan nilai variabelnya adengan menggunakan syarat stasioner dari fungsi yang terbentuk, dan tentukan nilai fungsinya.
vi). Nilai fungsi yang diperoleh merupakan nilai optimum dari soal cerita (nilai maksimum atau minimum).
1). Jumlah dua bilangan adalah 6. Tentukan hasil kali terbesar yang mungkin dari kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ a \, $ dan $ b $ .
Jumlah kedua bilangan = 6 , $ a + b = 6 \rightarrow a = 6 - b \, $ ....pers(i)
*). Menyusun fungsi yang diminta yaitu perkaliannya , misalkan fungsi nya $ f $.
sehingga fungsi pada soal cerita adalah $ f = a.b $ .
*). Substitusi pers(i) ke fungsinya agar menjadi satu variabel,
$ f = a. b \rightarrow f = (6-b).b \rightarrow f(b) = -b^2 + 6b $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b \, $ dengan syarat stasioner :
$ f^\prime (b) = 0 \rightarrow -2b + 6 = 0 \rightarrow b = 3 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ b = 3 $ .
sehingga nilai $ a = 6 - b = 6 - 3 = 3 $.
Diperoleh nilai bilangan pertama 3 dan bilangan kedua 3 agar perkalian kedua bilangan terbesar.
*). Perkalian terbesar kedua bilangan adalah $ a . b = 3.3 = 9 $.
bisa juga langsung substitusi $ b = 3 \, $ ke fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b $
$ f_{maks} = f(3) = -(3)^2 + 6. 3 = -9 + 18 = 9 $.
Jadi, nilai terbesar perkalian kedua bilangan tersebut adalah 6.
2). Lapangan berbentuk persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi jalan tidak ikut dipagari. Harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan jalan adalah RP. 120.000 per meter, dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya adalah RP. 80.000 per meter. Tentukanlah ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar seharga Rp. 36.000.000 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ x \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, dan $ y \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang sejajar dengan jalan raya, serta $ L \, $ adalah luas lapangan.
Luas lapangan : $ L = xy $.
Harga pagar sisi lapangan yang tegak lurus jalan raya adalah 80.000 per meter,
Harga pagar sisi lapangan yang sejajar jalan raya adalah 120.000 per meter,
Biaya total yang dimiliki adalah 36.000.000
Sehingga persamaan yang terbentuk adalah :
$ \begin{align} \text{jumlah total haraga pagar } & = 36.000.000 \\ 80000x + 80000x + 120000y & = 36.000.000 \\ 160000x + 120000y & = 36.000.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 40.000)} \\ 4x + 3y & = 900 \\ 3y & = 900 - 4x \\ y & = \frac{900 - 4y}{3} \\ y & = 300 - \frac{4}{3}x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun fungsi luasnya, substitusi pers(i) ke luas :
$ L = x.y \rightarrow L = x (300 - \frac{4}{3}x) \rightarrow L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow 300 - \frac{8}{3}x = 0 \rightarrow x = 112,5 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ x = 112,5 $ .
sehingga nilai $ y = 300 - \frac{4}{3}x = 300 - \frac{4}{3}. (112,5) = 150 $.
Jadi, Ukuran lapangannya adalah panjangnya 150 m dan lebarnya 112,5 m.
3). Suatu perusahaan kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi berukuran panjang sisinya 12 m. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan isi terbesar.?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
gambar (a) menyatakan karton dan gambar (b) menyatakan kotak kardus yang terbentuk.
*). Misalkan $ x \, $ adalah ukuran sisi-sisi persegi dari keempat sudutnya. $ x \, $ disini adalah ukuran pemotongan di keempat sudutnya. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran $ (12- 2x) , \, (12-2x) , \, $ dan $ x \, $ seperti gambar di atas.
*). Menyusun fungsi volume kotak,
$ \begin{align} V & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ V & = (12-2x).(12-2x).x \\ V(x) & = 144x - 48x^2 + 4x^3 \end{align} $
fungsinya : $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 $
$ v^\prime (x) = 144 - 96x + 12x^2 \, $ dan $ V^{\prime \prime } (x) = -96 + 24x $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 \, $ dengan syarat stasioner :
$ V^\prime (x) = 0 \rightarrow 144 - 96 x + 12x^2 = 0 \rightarrow 12(x-2)(x-6) \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $ ,
*). Cek jenis stasioner dari $ x = 2 \vee x = 6 \, $ ke turunan kedua :
Untuk $ x = 2 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.2 = -48 \, $ (negatif), jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 6 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.6 = 48 \, $ (positif), jenisnya minimum.
Artinya volume kotak akan maksimum pada saat $ x = 2 $ .
Jadi, pemotongan sudut karton sebesar 2 m, akan memberikan volume kotak maksimum.
4). Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan $ v $ km/jam memenuhi persamaan $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ liter. Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.?
Penyelesaian :
*). Kita cari dulu jumlah solar maksimum yang dibutuhkan setiap tahunnya, lalu kita kalikan 4.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow Q(v) = - \frac{2}{65}v + 2 = 0 \rightarrow v = 65 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ v = 65 $ .
*). Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan setiap tahun pada saat $ v = 65 $ .
$ v = 65 \rightarrow Q(65) = - \frac{1}{65}.65^2 + 2.65 + 2500 = 2565 \, $ litar.
Sehingga jumlah maskimum soal selama 4 tahun $ = 4 \times 2565 = 10260 \, $ litar.
Jadi, Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 10.260 liter.
5). Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000$\pi$ cm$^3$. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Penyelesaian :
*). Misalkan : jari-jari silinder $ r \, $ , tinggi silinder $ t \, $, volumenya $ v \, $ dan luas silinder $ L $ .
*). Menyusun persamaan :
Diketahui volume silinder = 8.000$\pi$ . $ \begin{align} \text{volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi } \\ 8000\pi & = \pi r^2 . t \\ 8000 & = r^2 . t \\ t & = \frac{8000}{r^2} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan fungsinya (Luas silinder/tabung) :
Luas silinder tanpa tutup :
$ L = \text{ luas alas } + \text{luas selimut } \rightarrow L = \pi r^2 + 2\pi r t $
*). Substitusi pers(i) ke fungsi luasnya :
$ \begin{align} L & = \pi r^2 + 2\pi r t \\ L & = \pi r^2 + 2\pi r . \frac{8000}{ r^2} \\ L & = \pi r^2 + \frac{16000 \pi}{ r} \\ L^\prime & = 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ L^\prime = 0 $
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } & = 0 \\ 2\pi r & = \frac{16000 \pi}{ r^2 } \\ r & = \frac{8000}{ r^2 } \\ r^3 & = 8000 \\ r & = 20 \end{align} $
Sehingga : $ t = \frac{8000}{r^2} = \frac{8000}{(20)^2} = \frac{8000}{400} = 20 $ .
Jadi, tinggi silinder $ t = 20 $ cm dan jari-jari alas $ r = 20 $ cm.