Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari Konsep Jarak pada Dimensi Tiga dimana yang dibahas adalah jarak antara dua titik dan jarak titik ke garis. Pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan konsep jarak yaitu Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga. Sebenarnya kami ingin membahas materi ini menjadi satu dengan materi konsep jarak sebelumnya, akan tetapi artikelnya menjadi sangat panjang lagi, hal ini akan membuat pembaca cepat bosan. Maka dari itu kita pilah-pilah setiap penghitungan jaraknya dengan menyertakan contoh soalnya yang lebih banyak.
Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya adalah kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan bantuan garis pada bidang tersebut. Artinya setelah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang agar memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.
Contoh soal jarak titik ke bidang :
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR seperti gambar berikut ini.
*). Dari gambar di atas, jarak titik N ke bidang KMR sama dengan panjang NS dimana NS ada pada garis TR yang merupakan perpotongan kedua bidang KMR dan NTR. dengan kata lain juga, kita cukup mencari jarak titik N ke garis TR. Salah satu cara yang kita gunakan untuk menentukan panjang NS dari titik N ke garis TR yaitu perbandingan luas segitiga.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.
2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang CDHG, bidang tersebut adalah bidang ADHE. Kedua bidang berpotongan pada garis DH, sehingga jarak A ke bidang CDHG sama dengan jarak titik A ke garis DH.
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD karena AD tegak lurus dengan DH, sehingga jarak titik A ke garis DH adalah 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG adalah 6 cm.
3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm seperti gambar berikut ini.
Tentukan jarak titik A ke bidang PQFB?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut adalah bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sehingga jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga PAB,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.
4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik R dan tegak lurus dengan bidang EPQH yaitu bidang PQTS seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis TN, sehingga jarak titik R ke bidang EPQH sama dengan jarak titik R ke garis TN yaitu panjang garis RM.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.
5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik E dan tegak lurus dengan bidang BPD yaitu bidang ACGE seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis PM, sehingga jarak titik E ke bidang BPD sama dengan jarak titik E ke garis PM yaitu panjang garis EN.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan aturan cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 - 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sehingga panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD adalah $ 4\sqrt{6} \, $ cm.
Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tidak mudah dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus menentukan terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sehingga kita bisa mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan malu untuk bertanya kepada suapapun yang lebih bisa daripada kita.OK!
Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya adalah kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan bantuan garis pada bidang tersebut. Artinya setelah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang agar memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.
Jarak Titik ke Bidang pada Dimensi Tiga
Misalkan X adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang X. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang X. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini,
Jarak dari titik P ke bidang X diwakili oleh panjang garis PA, dimana garis PA tegak lurus dengan bidang X dan titik A terletak pada garis k.
Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.
Catatan :
Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.
Catatan :
Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR seperti gambar berikut ini.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.
2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD karena AD tegak lurus dengan DH, sehingga jarak titik A ke garis DH adalah 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG adalah 6 cm.
3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm seperti gambar berikut ini.
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut adalah bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sehingga jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.
4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.
5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan aturan cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 - 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sehingga panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD adalah $ 4\sqrt{6} \, $ cm.
Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tidak mudah dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus menentukan terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sehingga kita bisa mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan malu untuk bertanya kepada suapapun yang lebih bisa daripada kita.OK!