Setelah mempelajari materi integral secara mendalam dari rumus umum untuk integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri serta belajar beberapa teknik integral yang sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral, maka pada artikel ini kita akan membahas integral fungsi khusus yaitu Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak. Dari judulnya ini, tentu pengintegralan akan berkaitan langsung dengan berbagai fungsi yang berbentuk harga mutlak baik mutlak fungsi aljabar maupun mutlak fungsi trigonometri. Harga mutlak fungsi $ f(x) \, $ disimbolkan dengan $ |f(x)| \, $ yang nilainya selalu positif untuk semua $ x $.
Untuk mempermudah mempelajari Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ini, sebaiknya teman-teman menguasai kembali materi integral fungsi aljabar dan integral fungsi trigonometri serta teknik integral yang ada. Disamping itu pula, kita harus mempelajari kembali definisi dari harga mutlak (atau nilai mutlak) salah satunya bisa dibaca pada artikel "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak". Namun pada artikel ini akan kita ulas kembali pengertian dan sifat penting yang berkaitan dengan harga mutlak.
Secara umum langkah-langkah dalam Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak yaitu kita ubah dulu fungsi mutlaknya berdasarkan definisinya untuk menentukan batasan kapan fungsi tersebut bernilai positif dan bernilai negatif. Artinya fungsi mutlak tersebut akan dibagi menjadi beberapa batasan integral tergantung ada berapa banyaknya fungsi mutlak yang mau kita integralkan. Untuk lebih jelasnya, kita pelajari saja langsung berikut ini.
Contoh soal fungsi harga mutlak :
1). Pecahlah bentuk fungsi harga mutlak berikut ini berdasarkan definisi harga mutlak (menghilangkan bentuk mutlaknya).
a). $ | x - 1| $
b). $ | 2x + 5| $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
d). $ |x^2 - x - 6 | $
Penyelesaian :
a). $ | x - 1| $
Syarat Positif : $ x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 $,
Syarat negatif : $ x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x - 1| \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x \geq 1 \\ -(x-1) & , x < 1 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-1| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
b). $ | 2x + 5| $
Syarat Positif : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
Syarat negatif : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sehingga bentuk fungsi $ | 2x + 5 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |2x + 5| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
Bentuk : $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \, $ (berdasarkan sifatnya).
Syarat Positif : $ x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $,
Syarat negatif : $ x-2 < 0 \rightarrow x < 2 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x-2 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = | x-2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , x \geq 2 \\ -(x-2 ) & , x < 2 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-2| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
d). $ |x^2 - x - 6 | $
Syarat Positif : $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x^2 - x - 6 | \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Contoh soal integral fungsi harga mutlak :
2). Tentukan hasil integral dari fungsi harga mutlak berikut ini,
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan contoh soal 2 ini, kita harus menghilangkan bentuk mutlaknya dengan definisi harga mutlak. Namun tenang saja, cara memecahnya sudah kita bahas pada contoh soal 1 sebelumnya. Jadi untuk batasnya, silahkan baca contoh soal 1 di atas.
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx & = \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx + \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 | x - 1| dx + \int \limits_{1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 -(x-1) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 (1-x) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = [x - \frac{1}{2}x^2 ]_{-1}^1 + [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^3 \\ & = [(1 - \frac{1}{2}.1^2) - ((-1) - \frac{1}{2}(-1)^2 ) ] + [( \frac{1}{2}.3^2 - 3) - ( \frac{1}{2}.1^2 - 1) ] \\ & = [(1 - \frac{1}{2} ) - (-1 - \frac{1}{2} ) ] + [( \frac{9}{2} - 3 ) - ( \frac{1}{2} - 1) ] \\ & = [(\frac{1}{2} ) - (-\frac{3}{2}) ] + [( \frac{3}{2} ) - ( - \frac{1}{2} ) ] \\ & = [ \frac{4}{2} ] + [ \frac{4}{2} ] \\ & = [ 2 ] + [ 2 ] \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx = 4 $.
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari 0 sampai 2 sesuai dengan batas positif $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx & = \int \limits_0^2 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx + \int \limits_2^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx \\ & = \int \limits_0^2 -(x-2) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = \int \limits_0^2 (2-x) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = [2x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 + [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_2^5 \\ & = [(2.2 - \frac{1}{2}.2^2) - (2.0 - \frac{1}{2}.0^2) ] + [(\frac{1}{2}.5^2 - 2.5) - (\frac{1}{2}.2^2 - 2.2)] \\ & = [(4 - 2) - (0) ] + [(\frac{25}{2} - 10) - (2 - 4)] \\ & = [2 ] + [(\frac{5}{2} ) - (-2)] \\ & = [2 ] + [(2,5 ) + 2] \\ & = 6,5 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx = 6,5 $.
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari -3 sampai 5, sesuai dengan batas nilai mutlak maka batasnya kita bagi menjadi tiga yaitu $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \, $ dapat dihitung dari bentuk terakhir di atas yang bisa teman-teman integralkan sendiri.^_^
3). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx $ ?
Penyelesaian :
*). Yang dimutlakan hanya $ |x| \, $ , sehingga yang kita hilangkan mutlaknya bentuk $ |x| \, $ saja dengan definisi harga mutlak :
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Sehingga fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ dapat diubah menjadi :
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasil dari $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx = 19 $.
4). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Bentuk : $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = \sqrt{(3x^2 - 2x)^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ (sifat mutlak).
Syarat Positif : $ 3x^2 - 2x \geq 0 \rightarrow x(3x - 2) \geq 0 \rightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3} $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ 3x^2 - 2x < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{2}{3} $,
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3x^2 - 2x & , x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} \\ -(3x^2 - 2x) & , 0 < x < \frac{2}{3} \end{array} \right. $
Sehingga fungsi $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ dapat diubah menjadi :
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = (3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} , \, $ atau
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = -(3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ 0 < x < \frac{2}{3} $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx & = \int \limits_{-2}^0 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} -(3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} (-3x^2 + 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = [x^3- x^2]_{-2}^0 + [-x^3+ x^2]_{0}^\frac{2}{3} + [x^3- x^2]_{\frac{2}{3}}^1 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \, $ bisa teman-teman hitung sendiri dari bentuk integral yang terakhirnya. ^_^.
Demikian pembahasan materi Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan integral. Semoga materi ini bisa membantu teman-teman yang lagi membutuhkannya.
Untuk mempermudah mempelajari Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ini, sebaiknya teman-teman menguasai kembali materi integral fungsi aljabar dan integral fungsi trigonometri serta teknik integral yang ada. Disamping itu pula, kita harus mempelajari kembali definisi dari harga mutlak (atau nilai mutlak) salah satunya bisa dibaca pada artikel "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak". Namun pada artikel ini akan kita ulas kembali pengertian dan sifat penting yang berkaitan dengan harga mutlak.
Secara umum langkah-langkah dalam Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak yaitu kita ubah dulu fungsi mutlaknya berdasarkan definisinya untuk menentukan batasan kapan fungsi tersebut bernilai positif dan bernilai negatif. Artinya fungsi mutlak tersebut akan dibagi menjadi beberapa batasan integral tergantung ada berapa banyaknya fungsi mutlak yang mau kita integralkan. Untuk lebih jelasnya, kita pelajari saja langsung berikut ini.
Definisi Harga Multak suatu Fungsi
Nilai mutlak dari suatu fungsi $ f(x) \, $ dinotasikan $ |f(x)| $ .
Definisi nilai mutlaknya :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |f(x)| = f(x) \, $ atau $ |f(x)| = -f(x) \, $ tergantung nilai $ f(x) $
Sifat Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan kuadrat dan akar tidak boleh dihilangkan.
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan atau fungsi nilainya selalu positif.
Definisi nilai mutlaknya :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |f(x)| = f(x) \, $ atau $ |f(x)| = -f(x) \, $ tergantung nilai $ f(x) $
Sifat Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan kuadrat dan akar tidak boleh dihilangkan.
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan atau fungsi nilainya selalu positif.
1). Pecahlah bentuk fungsi harga mutlak berikut ini berdasarkan definisi harga mutlak (menghilangkan bentuk mutlaknya).
a). $ | x - 1| $
b). $ | 2x + 5| $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
d). $ |x^2 - x - 6 | $
Penyelesaian :
a). $ | x - 1| $
Syarat Positif : $ x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 $,
Syarat negatif : $ x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x - 1| \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x \geq 1 \\ -(x-1) & , x < 1 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-1| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
b). $ | 2x + 5| $
Syarat Positif : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
Syarat negatif : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sehingga bentuk fungsi $ | 2x + 5 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |2x + 5| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
Bentuk : $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \, $ (berdasarkan sifatnya).
Syarat Positif : $ x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $,
Syarat negatif : $ x-2 < 0 \rightarrow x < 2 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x-2 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = | x-2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , x \geq 2 \\ -(x-2 ) & , x < 2 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-2| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
d). $ |x^2 - x - 6 | $
Syarat Positif : $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x^2 - x - 6 | \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
Misalkan kita akan menentukan integral fungsi harga mutlak $ |f(x)| \, $ dari batas $ a \leq b \leq c \, $ dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan cara :
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan cara :
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
2). Tentukan hasil integral dari fungsi harga mutlak berikut ini,
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan contoh soal 2 ini, kita harus menghilangkan bentuk mutlaknya dengan definisi harga mutlak. Namun tenang saja, cara memecahnya sudah kita bahas pada contoh soal 1 sebelumnya. Jadi untuk batasnya, silahkan baca contoh soal 1 di atas.
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx & = \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx + \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 | x - 1| dx + \int \limits_{1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 -(x-1) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 (1-x) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = [x - \frac{1}{2}x^2 ]_{-1}^1 + [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^3 \\ & = [(1 - \frac{1}{2}.1^2) - ((-1) - \frac{1}{2}(-1)^2 ) ] + [( \frac{1}{2}.3^2 - 3) - ( \frac{1}{2}.1^2 - 1) ] \\ & = [(1 - \frac{1}{2} ) - (-1 - \frac{1}{2} ) ] + [( \frac{9}{2} - 3 ) - ( \frac{1}{2} - 1) ] \\ & = [(\frac{1}{2} ) - (-\frac{3}{2}) ] + [( \frac{3}{2} ) - ( - \frac{1}{2} ) ] \\ & = [ \frac{4}{2} ] + [ \frac{4}{2} ] \\ & = [ 2 ] + [ 2 ] \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx = 4 $.
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari 0 sampai 2 sesuai dengan batas positif $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx & = \int \limits_0^2 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx + \int \limits_2^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx \\ & = \int \limits_0^2 -(x-2) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = \int \limits_0^2 (2-x) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = [2x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 + [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_2^5 \\ & = [(2.2 - \frac{1}{2}.2^2) - (2.0 - \frac{1}{2}.0^2) ] + [(\frac{1}{2}.5^2 - 2.5) - (\frac{1}{2}.2^2 - 2.2)] \\ & = [(4 - 2) - (0) ] + [(\frac{25}{2} - 10) - (2 - 4)] \\ & = [2 ] + [(\frac{5}{2} ) - (-2)] \\ & = [2 ] + [(2,5 ) + 2] \\ & = 6,5 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx = 6,5 $.
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari -3 sampai 5, sesuai dengan batas nilai mutlak maka batasnya kita bagi menjadi tiga yaitu $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \, $ dapat dihitung dari bentuk terakhir di atas yang bisa teman-teman integralkan sendiri.^_^
3). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx $ ?
Penyelesaian :
*). Yang dimutlakan hanya $ |x| \, $ , sehingga yang kita hilangkan mutlaknya bentuk $ |x| \, $ saja dengan definisi harga mutlak :
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Sehingga fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ dapat diubah menjadi :
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasil dari $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx = 19 $.
4). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Bentuk : $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = \sqrt{(3x^2 - 2x)^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ (sifat mutlak).
Syarat Positif : $ 3x^2 - 2x \geq 0 \rightarrow x(3x - 2) \geq 0 \rightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3} $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ 3x^2 - 2x < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{2}{3} $,
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3x^2 - 2x & , x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} \\ -(3x^2 - 2x) & , 0 < x < \frac{2}{3} \end{array} \right. $
Sehingga fungsi $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ dapat diubah menjadi :
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = (3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} , \, $ atau
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = -(3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ 0 < x < \frac{2}{3} $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx & = \int \limits_{-2}^0 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} -(3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} (-3x^2 + 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = [x^3- x^2]_{-2}^0 + [-x^3+ x^2]_{0}^\frac{2}{3} + [x^3- x^2]_{\frac{2}{3}}^1 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \, $ bisa teman-teman hitung sendiri dari bentuk integral yang terakhirnya. ^_^.
Demikian pembahasan materi Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan integral. Semoga materi ini bisa membantu teman-teman yang lagi membutuhkannya.