Sebelumnya kita telah mempelajari materi Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral yang bisa membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah suatu kurva dengan cepat. Hanya saja cara cepat ini bersifat terbatas untuk jenis-jenis soal tertentu dan tidak berlaku untuk semua tipe soal. Rumus Cepat yang digunakan ada tiga pada artikel tersebut yang semuanya akan kita buktikan.
Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral secara langsung. Sebagai siswa/siswi yang memiliki kemampuan berpikir kritis, maka kita tidak bisa percaya begitu saja dengan rumus cepat tersebut, yang walaupun ketika kita menggunakannya dalam menyelesaikan soal-soal yang sesuai memiliki hasil yang sama dengan menggunakan konsep dasarnya. Ada tiga rumus cepat yang akan kita buktikan sesuai yang ada pada materi "Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral".
Untuk memudahkan dalam memahami materi Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral, sebaiknya teman-teman pelajari dulu materi integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar , Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral , dan rumus operasi akar-akar pada persamaan kuadrat. Kedua materi ini (integral dan operasi akar-akar) akan kita gunakan untuk membuktikan rumus diskriminan dan rumus kedua. Sedangkan untuk pembuktian rumus ketiga akan langsung berkaitan dengan integral dan fungsi kuadrat (grafiknya).
Pembuktian :
*). Sesuai syaratnya, rumus ini hanya berlaku untuk daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva saja yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis.
*). Pertama, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan parabola $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 - a_2, b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Kedua, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan garis $ y = b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = + b_2x + c_2 \\ a_1x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 , b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Dari kedua bentuk di atas, intinya terbentuk persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang juga merupakan titik potong kedua kurva masing-masing daerah seperti gambar berikut ini.
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
$ x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a} $
$ x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} $
*). Menghitung luas dengan integral
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 - y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] - [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 - x_1^2) + c(x_2 - x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(b^2 - 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align} $
Jadi, terbukti rumusnya yaitu Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $.
Pembuktian :
*). Untuk membuktikan rumus kedua ini, kita akan gunakan rumus pertama dan operasi akar.
Dari bentuk $ x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a } $
kita peroleh :
$ \sqrt{D} = a(x_2 - x_1 ) \, $ dan $ D = a^2(x_2 - x_1)^2 $
*). Menentukan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 - x_1)^2 . a(x_2 - x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 - x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align} $
Jadi, terbukti rumus cepat kedua ini.
Pembuktian :
*). Kita akan gunakan bentuk fungsi kuadrat yang paling sederhana yaitu $ y = ax^2 \, $ , karena bentuk fungsi kuadrat yang lain yaitu $ y = ax^2 + bx + c \, $ diperoleh dari menggeser bentuk $ y = ax^2 \, $ dan tidak akan merubah luasan darah yang terbentuk. Perhatikan gambar berikut ini,
*). Menghitung luas masing-masing :
Luas daerah A dibatasi oleh kurva $ y = ak^2 \, $ dan $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 - ax^2) dx \\ & = [ak^2x - \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k - \frac{a}{3}.k^3] - [ak^2.0 - \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 - \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align} $
Luas daerah B dibatasi oleh kurva $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] - [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align} $
*). Perbandingan luas A dan B
$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Karena perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1, artinya jika luas A dan B digabung akan membentuk sebuah persegi panjang, sehingga luas masing-masing jika dikaitkan dengan luas persegi panjang yang ada yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Jadi, terbukti luas yang diinginkan.
Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral secara langsung. Sebagai siswa/siswi yang memiliki kemampuan berpikir kritis, maka kita tidak bisa percaya begitu saja dengan rumus cepat tersebut, yang walaupun ketika kita menggunakannya dalam menyelesaikan soal-soal yang sesuai memiliki hasil yang sama dengan menggunakan konsep dasarnya. Ada tiga rumus cepat yang akan kita buktikan sesuai yang ada pada materi "Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral".
Untuk memudahkan dalam memahami materi Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral, sebaiknya teman-teman pelajari dulu materi integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar , Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral , dan rumus operasi akar-akar pada persamaan kuadrat. Kedua materi ini (integral dan operasi akar-akar) akan kita gunakan untuk membuktikan rumus diskriminan dan rumus kedua. Sedangkan untuk pembuktian rumus ketiga akan langsung berkaitan dengan integral dan fungsi kuadrat (grafiknya).
Pembuktian Rumus Cepat Pertama
Rumus Diskriminan
Dari bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $.
Luas Daerah Arsiran $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
Dari bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $.
Luas Daerah Arsiran $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
Pembuktian :
*). Sesuai syaratnya, rumus ini hanya berlaku untuk daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva saja yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis.
*). Pertama, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan parabola $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 - a_2, b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Kedua, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan garis $ y = b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = + b_2x + c_2 \\ a_1x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 , b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Dari kedua bentuk di atas, intinya terbentuk persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang juga merupakan titik potong kedua kurva masing-masing daerah seperti gambar berikut ini.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
$ x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a} $
$ x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} $
*). Menghitung luas dengan integral
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 - y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] - [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 - x_1^2) + c(x_2 - x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(b^2 - 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align} $
Jadi, terbukti rumusnya yaitu Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $.
Pembuktian Rumus Cepat Kedua
Rumus Pengurangan titik potong
Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.
Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.
Pembuktian :
*). Untuk membuktikan rumus kedua ini, kita akan gunakan rumus pertama dan operasi akar.
Dari bentuk $ x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a } $
kita peroleh :
$ \sqrt{D} = a(x_2 - x_1 ) \, $ dan $ D = a^2(x_2 - x_1)^2 $
*). Menentukan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 - x_1)^2 . a(x_2 - x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 - x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align} $
Jadi, terbukti rumus cepat kedua ini.
Pembuktian Rumus Cepat Ketiga
Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :
Dari gambar, luas daerah A dan B jika digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1. Sehingga luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Pembuktian :
*). Kita akan gunakan bentuk fungsi kuadrat yang paling sederhana yaitu $ y = ax^2 \, $ , karena bentuk fungsi kuadrat yang lain yaitu $ y = ax^2 + bx + c \, $ diperoleh dari menggeser bentuk $ y = ax^2 \, $ dan tidak akan merubah luasan darah yang terbentuk. Perhatikan gambar berikut ini,
Luas daerah A dibatasi oleh kurva $ y = ak^2 \, $ dan $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 - ax^2) dx \\ & = [ak^2x - \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k - \frac{a}{3}.k^3] - [ak^2.0 - \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 - \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align} $
Luas daerah B dibatasi oleh kurva $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] - [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align} $
*). Perbandingan luas A dan B
$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Karena perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1, artinya jika luas A dan B digabung akan membentuk sebuah persegi panjang, sehingga luas masing-masing jika dikaitkan dengan luas persegi panjang yang ada yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Jadi, terbukti luas yang diinginkan.