Sebelumnya teman-teman telah belajar menghitung luas daerah menggunakan integral dimana poin penting yang harus kita butuhkan dalam penghitungannya yaitu fungsi setiap kurva, batasan integralnya (baik sumbu X atau sumbu Y), dan daerah arsirannya. Pada artikel ini kita akan mempelajari Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral baik dengan diketahui grafiknya (kurvanya) atau tidak.
Yang namanya cara cepat itu pasti sifatnya terbatas. Apakah cara cepat ini bisa digunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral semua jenis soal? tentu tidak, hanya tipe soal tertentu yang bisa kita gunakan cara cepat. Kami menyarankan bagi teman-teman yang sedang belajar menghitung luas daerah sebaiknya juga menguasai konsep dasarnya juga, karena konsep dasar itu pasti akan bisa mengkover atau bisa menyelesaikan semua jenis soal yang berkaitan dengan integral luasan.
Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral ini secara umum dibagi menjadi dua yaitu pertama : menghitung luas tanpa menggambar kurvanya (grafiknya) dan kedua : diketahui grafiknya tetapi tidak diketahui fungsinya. Untuk penghitungannya juga ada dua yaitu langsung menggunakan rumus baku (artinya tidak perlu menggunakan integral) dan tetap menggunakan integral. Hanya saja untuk penggunaan rumus baku hanya terbatas pada bentuk fungsi kuadrat dan fungsi linear. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.
Contoh Soal Cara Cepat Menghitung Luas Daerah :
1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (-8)^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.
2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (7)^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 20\frac{5}{6} \, $ satuan luas.
3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva seperti gambar di bawah ini,
Penyelesaian :
a). Gambar (a), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = 5 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2x^2 + bx + c & = -x^2 + px + q \\ 3x^2 + (b-p)x + (c-q) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|3-5|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.
b). Gambar (b), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 4 \, $ dan $ x_2 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x^2 + bx + c & = mx + n \\ 3x^2 + (b-m)x + (c-n) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|4-6|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.
Catatan :
Untuk contoh soal nomor 3 ini, jika kita menggunakan konsep dasar maka harus menentukan fungsi kurva masing-masing yang belum lengkap.
4). Perhatikan gambar berikut ini, tentukan luas daerah yang diarsir.
Penyelesaian :
a). Gambar (a), persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3 seperti gambar berikut ini :
Luas $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 3 = 4 $.
Jadi, luas daerah gambar (a) adalah 4 satuan luas.
b). Gambar (b), kita bagi menjadi dua bagian yaitu L1 dan L2 berupa segitiga
*). Menghitung luas masing-masing :
Luas L1 $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $
Luas L2 (segitiga) $ \, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 $
Sehingga luas totalnya :
Luas $ \, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3} $.
Jadi, luas daerah gambar (b) adalah $ \, 4\frac{2}{3} \, $ satuan luas.
5). Parabola berikut memiliki titik puncak di $(a,b)$ . Jika luas daerah yang diarsir adalah 5 satuan luas, maka tentukan nilai $ a + b $ ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita bagi daerahnya menjadi dua seperti gambar berikut ini
Luas A sama dengan luas B. Persegi panjang yang terbentuk pada daerah A memiliki panjang 1 dan lebar $ b $.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
Karena titik $(a,b) \, $ adalah titik puncak, maka $ a \, $ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $ a = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
Nilai $ a + b = 3 + 3\frac{3}{4} = 6\frac{3}{4} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + b = 6\frac{3}{4} $.
Bagaimana jika rumus baku di atas tidak bisa kita gunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral karena syaratnya tidak terpenuhi? Tenang saja teman, kita masih ada cara lain yaitu tidak perlu menggambar grafiknya dimana sebagian besar siswa sangat kurang senang dalam menggambar kurva suatu fungsi. Kita tetap menggunakan konsep luas menggunakan integral hanya saja kita tidak perlu menggambar kurvanya, yang kita butuhkan hanya batas dan fungsinya dan sedikit analisa jika ada lebih dari satu daerah yang harus dihitung luasnya.
Contoh soal menghitung luas daerah dengan integral tanpa menggambar kurva (grafiknya) :
6). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x - 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $, artinya batasan integralnya sudah jelas yaitu dari 2 sampai 4.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Batasannya antara 2 dan 4, kita coba titik $ x = 3 \, $ ,
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif $(-1) $ , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X, sehingga agar luasnya positif kita kalikan dengan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} - 20) \\ & = -( - \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ \frac{4}{3} \, $ satuan luas.
7). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). soal ini mirip dengan sola nomor 6, sehingga titik potong terhadap sumbu X adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $.
Batas yang diminta adalah garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi daerah untuk $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 $, ini menandakan ada dua daerah yang akan dihitung luasnya yaitu daerah 0 sampai 2 dan daerah 2 sampai 3.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Daerah pertama 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -1 + 8 \\ & = 8 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah 0 sampai 2.
Daerah kedua 2 sampai 3, substitusi $ x = 2,5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = (2,5)^2 -6.(2,5) + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8 \\ & = -0,75 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 2 sampai 3, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + (- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ) \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx - \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud bisa dihitung dari bentuk integral di atas.
8). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x(x^2 - 4) & = 0 \\ x(x - 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $
Karena batasnya langsung dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan langsung menggunakan titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua daerah yang akan kita hitung luasnya yaitu daerah dari -2 sampai 0 dan dari 0 sampai 2.
Daerah pertama -2 sampai 0, substitusi $ x = -1 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = (-1)^3 - 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah -2 sampai 0.
Daerah kedua 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 0 sampai 2, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 - 2.(-2)^2]) - ([\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 - 8]) - ([4 - 8] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) - ([-4] ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 8 satuan luas.
9). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . Namun batasan yang diminta adalah garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 sampai 4, sehingga yang dipakai adalah batasannya dari 2 sampai 3.
*). Menentukan posisi kurva mana yang di atas dan mana yang di bawah.
Batasannya antara 2 dan 3, kita coba titik $ x = 2,5 \, $ ,
kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 - 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5 \\ & = 6,25 \end{align} $
kurva : $ y = 4x - 3 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.(2,5) - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $
Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih besar dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di atas kurva kedua.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (x^2 - 2x + 5) - (4x - 3) dx \\ & = \int \limits_2^3 x^2 - 6x + 8 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x ]_2^3 \\ & = [\frac{1}{3}.3^3 - 3.3^2 + 8.3 ] - [\frac{1}{3}.2^3 - 3.2^2 + 8.2 ] \\ & = [9 - 18 + 24 ] - [\frac{8}{3} - 12 + 16 ] \\ & = [15 ] - [\frac{8}{3} + 4 ] \\ & = 11 - \frac{8}{3} \\ & = 9\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ 9\frac{2}{3} \, $ satuan luas.
Bagaimana pembahasan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu teman-teman yang lagi mempelajari materi integral khususnya tentang penggunaan integral pada luas daerah arsiran. Yang namanya cara cepat pasti sifatnya terbatas hanya untuk soal-soal terntentu saja. Jadi, kami sarankan bagi teman-teman untuk menguasai konsep dasar menghitung luas daerah dengan integral yaitu membutuhkan fungsi, batasan, dan daerahnya dengan menggambar kurvanya.
Yang namanya cara cepat itu pasti sifatnya terbatas. Apakah cara cepat ini bisa digunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral semua jenis soal? tentu tidak, hanya tipe soal tertentu yang bisa kita gunakan cara cepat. Kami menyarankan bagi teman-teman yang sedang belajar menghitung luas daerah sebaiknya juga menguasai konsep dasarnya juga, karena konsep dasar itu pasti akan bisa mengkover atau bisa menyelesaikan semua jenis soal yang berkaitan dengan integral luasan.
Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral ini secara umum dibagi menjadi dua yaitu pertama : menghitung luas tanpa menggambar kurvanya (grafiknya) dan kedua : diketahui grafiknya tetapi tidak diketahui fungsinya. Untuk penghitungannya juga ada dua yaitu langsung menggunakan rumus baku (artinya tidak perlu menggunakan integral) dan tetap menggunakan integral. Hanya saja untuk penggunaan rumus baku hanya terbatas pada bentuk fungsi kuadrat dan fungsi linear. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.
Menghitung Luas Daerah dengan Rumus Baku
Cara cepat yang pertama yaitu langsung menggunakan rumus baku, artinya kita tidak perlu menggunakan integral. Berikut penjelasannya :
i). Rumus Diskriminan
Tentu teman-teman masih ingat tentang cara menentukan nilai Diskriminan pada materi persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini adalah untuk daerah yang tepat dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.
Langkah-langkah pengerjaannya :
*). Samakan kedua fungsi, lalu nolkan salah satu ruas.
*). Hitunglah nilai diskriminan $(D) \, $ tanpa menyederhanakan bentuk persamaan kuadratnya.
*). Hitung luas dengan rumus : Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
ii). Rumus Pengurangan titik potong
Perhatikan bentuk gambar berikut ini,
Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.
iii). Rumus persegi panjang
Rumus ketiga ada kaitannya dengan konsep luas persegi panjang. Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :
Dari gambar, luas daerah A dan B jika digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1. Sehingga luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Catatan : perlu diingat, bagian di dalam kurva (bagian gemuk) memiliki luas lebih besar dari bagian yang di luar kurva (bagian kurus).
Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral
i). Rumus Diskriminan
Tentu teman-teman masih ingat tentang cara menentukan nilai Diskriminan pada materi persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini adalah untuk daerah yang tepat dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.
*). Samakan kedua fungsi, lalu nolkan salah satu ruas.
*). Hitunglah nilai diskriminan $(D) \, $ tanpa menyederhanakan bentuk persamaan kuadratnya.
*). Hitung luas dengan rumus : Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
ii). Rumus Pengurangan titik potong
Perhatikan bentuk gambar berikut ini,
iii). Rumus persegi panjang
Rumus ketiga ada kaitannya dengan konsep luas persegi panjang. Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Catatan : perlu diingat, bagian di dalam kurva (bagian gemuk) memiliki luas lebih besar dari bagian yang di luar kurva (bagian kurus).
Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral
Contoh Soal Cara Cepat Menghitung Luas Daerah :
1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (-8)^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.
2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (7)^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 20\frac{5}{6} \, $ satuan luas.
3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva seperti gambar di bawah ini,
a). Gambar (a), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = 5 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2x^2 + bx + c & = -x^2 + px + q \\ 3x^2 + (b-p)x + (c-q) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|3-5|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.
b). Gambar (b), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 4 \, $ dan $ x_2 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x^2 + bx + c & = mx + n \\ 3x^2 + (b-m)x + (c-n) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|4-6|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.
Catatan :
Untuk contoh soal nomor 3 ini, jika kita menggunakan konsep dasar maka harus menentukan fungsi kurva masing-masing yang belum lengkap.
4). Perhatikan gambar berikut ini, tentukan luas daerah yang diarsir.
a). Gambar (a), persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3 seperti gambar berikut ini :
Jadi, luas daerah gambar (a) adalah 4 satuan luas.
b). Gambar (b), kita bagi menjadi dua bagian yaitu L1 dan L2 berupa segitiga
Luas L1 $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $
Luas L2 (segitiga) $ \, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 $
Sehingga luas totalnya :
Luas $ \, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3} $.
Jadi, luas daerah gambar (b) adalah $ \, 4\frac{2}{3} \, $ satuan luas.
5). Parabola berikut memiliki titik puncak di $(a,b)$ . Jika luas daerah yang diarsir adalah 5 satuan luas, maka tentukan nilai $ a + b $ ?
*). Untuk memudahkan, kita bagi daerahnya menjadi dua seperti gambar berikut ini
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
Karena titik $(a,b) \, $ adalah titik puncak, maka $ a \, $ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $ a = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
Nilai $ a + b = 3 + 3\frac{3}{4} = 6\frac{3}{4} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + b = 6\frac{3}{4} $.
Bagaimana jika rumus baku di atas tidak bisa kita gunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral karena syaratnya tidak terpenuhi? Tenang saja teman, kita masih ada cara lain yaitu tidak perlu menggambar grafiknya dimana sebagian besar siswa sangat kurang senang dalam menggambar kurva suatu fungsi. Kita tetap menggunakan konsep luas menggunakan integral hanya saja kita tidak perlu menggambar kurvanya, yang kita butuhkan hanya batas dan fungsinya dan sedikit analisa jika ada lebih dari satu daerah yang harus dihitung luasnya.
Menghitung Luas Daerah dengan integral Tanpa menggambar kurva (grafiknya)
Langkah-langkah dalam menghitung luasnya :
i). Tentukan titik potong kurva terhadap sumbu X (dengan substitusi $ y = 0 $ ) untuk luasan satu kurva dan tentukan titik potong kedua kurva jika dibatasi dua kurva.
ii). Dari titik potong bagian (i), kita akan menentukan apakah pada batasan tersebut daerahnya sudah di atas sumbu X atau di bawah dengan cara mensubstitusi salah satu nilai $ x \, $ yang ada diantara titik potong ke fungsinya. Jika nilai fungsi positif maka daerahnya ada di atas dan jika nilai fungsi negatif maka daerahnya ada di bawah sumbu X.
iii). Menghitung luasnya dengan integral.
i). Tentukan titik potong kurva terhadap sumbu X (dengan substitusi $ y = 0 $ ) untuk luasan satu kurva dan tentukan titik potong kedua kurva jika dibatasi dua kurva.
ii). Dari titik potong bagian (i), kita akan menentukan apakah pada batasan tersebut daerahnya sudah di atas sumbu X atau di bawah dengan cara mensubstitusi salah satu nilai $ x \, $ yang ada diantara titik potong ke fungsinya. Jika nilai fungsi positif maka daerahnya ada di atas dan jika nilai fungsi negatif maka daerahnya ada di bawah sumbu X.
iii). Menghitung luasnya dengan integral.
6). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x - 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $, artinya batasan integralnya sudah jelas yaitu dari 2 sampai 4.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Batasannya antara 2 dan 4, kita coba titik $ x = 3 \, $ ,
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif $(-1) $ , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X, sehingga agar luasnya positif kita kalikan dengan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} - 20) \\ & = -( - \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ \frac{4}{3} \, $ satuan luas.
7). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). soal ini mirip dengan sola nomor 6, sehingga titik potong terhadap sumbu X adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $.
Batas yang diminta adalah garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi daerah untuk $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 $, ini menandakan ada dua daerah yang akan dihitung luasnya yaitu daerah 0 sampai 2 dan daerah 2 sampai 3.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Daerah pertama 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -1 + 8 \\ & = 8 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah 0 sampai 2.
Daerah kedua 2 sampai 3, substitusi $ x = 2,5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = (2,5)^2 -6.(2,5) + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8 \\ & = -0,75 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 2 sampai 3, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + (- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ) \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx - \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud bisa dihitung dari bentuk integral di atas.
8). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x(x^2 - 4) & = 0 \\ x(x - 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $
Karena batasnya langsung dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan langsung menggunakan titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua daerah yang akan kita hitung luasnya yaitu daerah dari -2 sampai 0 dan dari 0 sampai 2.
Daerah pertama -2 sampai 0, substitusi $ x = -1 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = (-1)^3 - 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah -2 sampai 0.
Daerah kedua 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 0 sampai 2, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 - 2.(-2)^2]) - ([\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 - 8]) - ([4 - 8] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) - ([-4] ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 8 satuan luas.
9). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . Namun batasan yang diminta adalah garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 sampai 4, sehingga yang dipakai adalah batasannya dari 2 sampai 3.
*). Menentukan posisi kurva mana yang di atas dan mana yang di bawah.
Batasannya antara 2 dan 3, kita coba titik $ x = 2,5 \, $ ,
kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 - 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5 \\ & = 6,25 \end{align} $
kurva : $ y = 4x - 3 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.(2,5) - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $
Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih besar dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di atas kurva kedua.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (x^2 - 2x + 5) - (4x - 3) dx \\ & = \int \limits_2^3 x^2 - 6x + 8 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x ]_2^3 \\ & = [\frac{1}{3}.3^3 - 3.3^2 + 8.3 ] - [\frac{1}{3}.2^3 - 3.2^2 + 8.2 ] \\ & = [9 - 18 + 24 ] - [\frac{8}{3} - 12 + 16 ] \\ & = [15 ] - [\frac{8}{3} + 4 ] \\ & = 11 - \frac{8}{3} \\ & = 9\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ 9\frac{2}{3} \, $ satuan luas.
Bagaimana pembahasan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu teman-teman yang lagi mempelajari materi integral khususnya tentang penggunaan integral pada luas daerah arsiran. Yang namanya cara cepat pasti sifatnya terbatas hanya untuk soal-soal terntentu saja. Jadi, kami sarankan bagi teman-teman untuk menguasai konsep dasar menghitung luas daerah dengan integral yaitu membutuhkan fungsi, batasan, dan daerahnya dengan menggambar kurvanya.