Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Notasi Sigma dan Sifat-sifatnya. Notasi sigma sangat penting dalam matematika karena ada beberapa materi yang menggukanan notasi sigma seperti "Jumlah Riemann" untuk luas suatu daerah tertentu, "barisan dan deret", "matematika keuangan", dan "induksi matematika".
Notasi sigma yang dilambangkan dengan " $\sum \, $ " adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahn pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.
Contoh soal notasi sigma :
1). Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ & = 15 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 15 $.
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\ & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\ & = 45 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 45 $.
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5) \\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = 29 $.
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) & = (0^2 - 2.0 + 1) + (1^2 - 2.1 + 1) + (2^2 - 2.2 + 1) + (3^2 - 2.3 + 1) \\ & = (1) + (1 - 2 + 1) + (4 - 4 + 1) + (9 - 6 + 1) \\ & = (1) + (0) + ( 1) + (4) \\ & = 6 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) = (1) + (0) + ( 1) + (4) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) = 6 $.
Contoh soal :
2). Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 $
Penyelesaian :
*). Kita langsung gunakan rumus umum di atas :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k \, $ , artinya $ n = 2017 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k = 2.035.153 $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 \, $ , artinya $ n = 2016 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \\ & = 336 \times (2017) \times (4033) \\ & = 2.733.212.496 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 = 2.733.212.496 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 \, $ , artinya $ n = 1991 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\ & = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\ & = \left( 1.983.036 \right)^2 \\ & = 3.932.431.777.296 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 = 3.932.431.777.296 $
3). Tentukan bentuk notasi sigma dari deret berikut ini :
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $
Penyelesaian :
*). Untuk mengubah kebentuk notasi sigma, maka kita harus tahu dulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
Deret ini adalah deret aritmatika dengan $ b= 2 \, $ dan $ a = 1 $,
Sehingga $ u_n = a + (n-1)b = 1 + (n-1).2 = 2n - 1 $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 & = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1 ) + ...+(2.8 - 1 ) \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^{8} \, (2i - 1) \end{align} $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} \, k^2 \end{align} $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n & = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + ... + 2n \\ & = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \,2j \end{align} $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Bentuk $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Perhatikan pembilangnya : $ 1,2,3,4,5, .... \, $ , artinya suku ke-$n$ adalah $ u_n = n $
Perhatikan penyebutnya : $ 1,3,5,7,9, .... \, $ , sama seperti bagian (a) yaitu $ u_n = 2n-1 $
Sehingga rumus suku ke-$n $ dari deret ini adalah $ u_n = \frac{n}{2n-1} $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... & = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \frac{1}{2.1- 1} + \frac{2}{2.2-1} + \frac{3}{2.3-1} + \frac{4}{2.4-1} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \frac{k}{2k-1} \end{align} $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{25} \, y_i \end{align} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} & x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n \\ & = x^{n-0}y^0 + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + x^{n-(n-1)} y^{n-1} + x^{n-n}y^n \\ & = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \, x^{n-k}y^k \end{align} $
Contoh soal sifat-sifat notasi sigma :
4). Tentukan hasil dari notasi sigma berikut sesuai dengan sifat-sifatnya.
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 $
Berdasarkan sifat (1) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 & = \underbrace{4 + 4 + 4 + ... + 4}_{\text{sebanyak } (2016 - 5 + 1) } \\ & = (2016 - 5 + 1) . 4 \\ & = (2012) . 4 \\ & = 8048 \end{align} $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
Bedasarkan sifat (2) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k & = 2 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = 2 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = 2 \times (15) \\ & = 30 \end{align} $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
Bedasarkan sifat (3) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k \\ & = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) + 3 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = (55) + 3 \times (15) \\ & = (55) + 45 \\ & = 100 \end{align} $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
Bedasarkan sifat (5) : $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) & = 0 \end{align} $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
Bedasarkan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(k + 3) + \displaystyle \sum_{k=10}^{15} \,(k + 3) \end{align} $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1001 -1000}^{1009-1000} \,[5(k + 1000) + 3] \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(5 k + 5003) \end{align} $
5). Hasil dari $ \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k + 1) \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Untuk soal ini sebenarnya bisa langsung kita hitung, hanya saja akan menyulitkan kita karena batasnya sangat besar (dari 2 sampai 2016), sebaiknya kita menggunakan sifat-sifat notasi sigma saja.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k - 3) & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 1) - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k + 1) \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 1) - \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 4) \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,[ (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 4k + 4)] \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(-3) \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = (2016 - 2 + 1) \times (-3) \\ & = (2015) \times (-3) \\ & = -6.045 \end{align} $
6). Jika diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) = 245 \, $ dan $ \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) = 145 , \, $ maka nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) \\ 245 & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + 145 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) & = 100 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) = 100 $.
7). Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{20} k = x \, $ . Tentukan nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) \, $ ?
Penyelesaian :
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) & = \displaystyle \sum_{k=1001 - 1000}^{1020 -1000} (2(k+1000) - 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 2000 - 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} 2k + \displaystyle \sum_{k=1}^{20} \, (1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 1 dan 2)} \\ & = 2\displaystyle \sum_{k=1}^{20} k + (20-1+1) \times 1 \\ & = 2 x + 20 \end{align} $
Demikian pembahasan kita mengenai notasi sigma dan sifat-sifatnya. Sebenarnya hanya dengan kita tahu menjabarkan bentuk notasi sigma sudah cukup bagi kita untuk menghitung nilai dari notasi sigma tersebut, hanya saja dengan bantuan sifat-sifatnya juga akan sangat membantu untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan soal-soal. Terlebih ada soal tertentu yang memang pengerjaannya harus menggunakan sifat-sifat notasi sigma seperti soal nomor (6) dan nomor (7) di atas.
Sekali lagi kami mengingatkan notasi sigma ini sangat penting untuk dikuasai karena akan terkait langsung dengan materi lain pada matematika. Semoga materi yang disajikan pada artikel ini bermanfaat untuk kita semua, terlebih bagi teman-teman yang sangat membutuhkannya. Terima kasih.
Notasi sigma yang dilambangkan dengan " $\sum \, $ " adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahn pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.
Penjelasan Notasi Sigma
*). Notasi Sigma memiliki simbol $ \displaystyle \sum_{BB}^{BA} \, fungsi \, $.
dimana BB = Batas Bawah dan BA = Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.
*). Penulisan notasi sigma :
Jika diketahui suatu barisan tak berhingga $ a_1, a_2, a_3, . . ., a_n, \, $ maka jumlah dari $ n $ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k $.
artinya bentuk $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n $.
Catatan :
*). Indeks $ k \, $ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ sampai batas atas $(k=n)$.
*). Indeks $ k \, $ bisa diganti dengan huruf lain, misalkan $ i , \, j, \, $ dan lainnya.
*). $ a_k \, $ adalah suatu fungsi dengan variabel $ k $ .
dimana BB = Batas Bawah dan BA = Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.
*). Penulisan notasi sigma :
Jika diketahui suatu barisan tak berhingga $ a_1, a_2, a_3, . . ., a_n, \, $ maka jumlah dari $ n $ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k $.
artinya bentuk $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n $.
Catatan :
*). Indeks $ k \, $ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ sampai batas atas $(k=n)$.
*). Indeks $ k \, $ bisa diganti dengan huruf lain, misalkan $ i , \, j, \, $ dan lainnya.
*). $ a_k \, $ adalah suatu fungsi dengan variabel $ k $ .
1). Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ & = 15 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 15 $.
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\ & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\ & = 45 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 45 $.
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5) \\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = 29 $.
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) & = (0^2 - 2.0 + 1) + (1^2 - 2.1 + 1) + (2^2 - 2.2 + 1) + (3^2 - 2.3 + 1) \\ & = (1) + (1 - 2 + 1) + (4 - 4 + 1) + (9 - 6 + 1) \\ & = (1) + (0) + ( 1) + (4) \\ & = 6 \end{align} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) = (1) + (0) + ( 1) + (4) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 - 2j + 1) = 6 $.
Beberapa Rumus Umum Notasi Sigma
Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $
2). Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 $
Penyelesaian :
*). Kita langsung gunakan rumus umum di atas :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k \, $ , artinya $ n = 2017 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k = 2.035.153 $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 \, $ , artinya $ n = 2016 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \\ & = 336 \times (2017) \times (4033) \\ & = 2.733.212.496 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 = 2.733.212.496 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 \, $ , artinya $ n = 1991 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\ & = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\ & = \left( 1.983.036 \right)^2 \\ & = 3.932.431.777.296 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 = 3.932.431.777.296 $
3). Tentukan bentuk notasi sigma dari deret berikut ini :
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $
Penyelesaian :
*). Untuk mengubah kebentuk notasi sigma, maka kita harus tahu dulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
Deret ini adalah deret aritmatika dengan $ b= 2 \, $ dan $ a = 1 $,
Sehingga $ u_n = a + (n-1)b = 1 + (n-1).2 = 2n - 1 $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 & = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1 ) + ...+(2.8 - 1 ) \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^{8} \, (2i - 1) \end{align} $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} \, k^2 \end{align} $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n & = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + ... + 2n \\ & = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \,2j \end{align} $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Bentuk $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Perhatikan pembilangnya : $ 1,2,3,4,5, .... \, $ , artinya suku ke-$n$ adalah $ u_n = n $
Perhatikan penyebutnya : $ 1,3,5,7,9, .... \, $ , sama seperti bagian (a) yaitu $ u_n = 2n-1 $
Sehingga rumus suku ke-$n $ dari deret ini adalah $ u_n = \frac{n}{2n-1} $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... & = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \frac{1}{2.1- 1} + \frac{2}{2.2-1} + \frac{3}{2.3-1} + \frac{4}{2.4-1} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \frac{k}{2k-1} \end{align} $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{25} \, y_i \end{align} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} & x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n \\ & = x^{n-0}y^0 + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + x^{n-(n-1)} y^{n-1} + x^{n-n}y^n \\ & = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \, x^{n-k}y^k \end{align} $
Sifat-sifat Notasi Sigma
berikut adalah sifat-sifat notasi sigma yang akan bisa membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan notasi sigma.
1). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, c = n . c \, $ , dengan $ c \, $ adalah konstanta.
bentuk lebih umumnya : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
2). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
3). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
4). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k - b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k - \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
5). $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
6). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
7). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m+p}^{n+p} \, a_{k-p} = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
dengan nilai $ m < p < n $ .
1). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, c = n . c \, $ , dengan $ c \, $ adalah konstanta.
bentuk lebih umumnya : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
2). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
3). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
4). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k - b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k - \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
5). $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
6). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
7). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m+p}^{n+p} \, a_{k-p} = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
dengan nilai $ m < p < n $ .
4). Tentukan hasil dari notasi sigma berikut sesuai dengan sifat-sifatnya.
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 $
Berdasarkan sifat (1) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} \, 4 & = \underbrace{4 + 4 + 4 + ... + 4}_{\text{sebanyak } (2016 - 5 + 1) } \\ & = (2016 - 5 + 1) . 4 \\ & = (2012) . 4 \\ & = 8048 \end{align} $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
Bedasarkan sifat (2) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k & = 2 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = 2 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = 2 \times (15) \\ & = 30 \end{align} $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
Bedasarkan sifat (3) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k \\ & = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) + 3 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = (55) + 3 \times (15) \\ & = (55) + 45 \\ & = 100 \end{align} $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
Bedasarkan sifat (5) : $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) & = 0 \end{align} $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
Bedasarkan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(k + 3) + \displaystyle \sum_{k=10}^{15} \,(k + 3) \end{align} $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1001 -1000}^{1009-1000} \,[5(k + 1000) + 3] \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(5 k + 5003) \end{align} $
5). Hasil dari $ \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k + 1) \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Untuk soal ini sebenarnya bisa langsung kita hitung, hanya saja akan menyulitkan kita karena batasnya sangat besar (dari 2 sampai 2016), sebaiknya kita menggunakan sifat-sifat notasi sigma saja.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k - 3) & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 1) - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(k^2 - k + 1) \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 1) - \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(4k^2 - 4k + 4) \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,[ (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 4k + 4)] \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} \,(-3) \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = (2016 - 2 + 1) \times (-3) \\ & = (2015) \times (-3) \\ & = -6.045 \end{align} $
6). Jika diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) = 245 \, $ dan $ \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) = 145 , \, $ maka nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) \\ 245 & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + 145 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) & = 100 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) = 100 $.
7). Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{20} k = x \, $ . Tentukan nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) \, $ ?
Penyelesaian :
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) & = \displaystyle \sum_{k=1001 - 1000}^{1020 -1000} (2(k+1000) - 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 2000 - 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} 2k + \displaystyle \sum_{k=1}^{20} \, (1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 1 dan 2)} \\ & = 2\displaystyle \sum_{k=1}^{20} k + (20-1+1) \times 1 \\ & = 2 x + 20 \end{align} $
Demikian pembahasan kita mengenai notasi sigma dan sifat-sifatnya. Sebenarnya hanya dengan kita tahu menjabarkan bentuk notasi sigma sudah cukup bagi kita untuk menghitung nilai dari notasi sigma tersebut, hanya saja dengan bantuan sifat-sifatnya juga akan sangat membantu untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan soal-soal. Terlebih ada soal tertentu yang memang pengerjaannya harus menggunakan sifat-sifat notasi sigma seperti soal nomor (6) dan nomor (7) di atas.
Sekali lagi kami mengingatkan notasi sigma ini sangat penting untuk dikuasai karena akan terkait langsung dengan materi lain pada matematika. Semoga materi yang disajikan pada artikel ini bermanfaat untuk kita semua, terlebih bagi teman-teman yang sangat membutuhkannya. Terima kasih.