Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan" dengan cara uji sembarang titik, kita akan lanjutkan dengan Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda. Metode uji tanda ini akan sangat berguna terutama ketika ada banyak pertidaksamaan.
Contoh soal menentukan DHP dengan uji tanda :
1). Tentukan DHP dari pertidaksamaan
a). $ 2x + 3y \leq 6 $
b). $ 2x + 3y \leq -6 $
c). $ -2x + 3y \geq 6 $
d). $ 2x - 3y \geq 6 $
e). $ -2x - 3y \leq 6 $
f). $ x \geq 3 $
g). $ y \leq 2 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan dan menentukan DHP nya, kita harus menggambarnya dulu.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear".
a). $ 2x + 3y \leq 6 \rightarrow (0,2), (3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
Catatan : Selanjutnya kita hanya menggunakan salah satu tanda saja.
b). $ 2x + 3y \leq -6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq -6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
c). $ -2x + 3y \geq 6 \rightarrow (0,2), (-3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (positif kali negatif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ -2x + 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
d). $ 2x - 3y \geq 6 \rightarrow (0,-2),(3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ 2x - 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
e). $ -2x - 3y \leq 6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (negatif kali negatif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ -2x - 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
f). $ x \geq 3 $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ x \geq 3 $.
*). Grafik dan DHP nya :
g). $ y \leq 2 $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ y \leq 2 $.
*). Grafik dan DHP nya :
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda
Dari namanya yaitu "uji tanda", maka disini kita akan menggunakan tanda yang ada. Tanda yang dimaksud adalah nilainya positif atau negatif.
Langkah-langkah Menentukan DHP dengan Uji Tanda :
Bentuk umum pertidaksamaannya : $ ax+by \leq c \, $ atau $ \, ax + by \geq c $.
a). Tanda ketaksamaannya ada dua kemungkinan yaitu $ \leq \, $ atau $ \, \geq $.
Tanda ketaksamaannya ini kita beri nilai $ T_1 , \, $
Untuk tanda $ \leq , \, $ maka nilai $ T_1 < 0 \, $ (negatif).
Untuk tanda $ \geq , \, $ maka nilai $ T_1 > 0 \, $ (positif).
b). Tanda selanjutnya adalah tanda pada koefisien $ x \, $ kita tulis ($T_x$) atau tanda pada koefisien $ y \, $ kita tulis ($T_y$) yang masing-masing bisa bernilai positif atau negatif.
c). Kita kalikan kedua tanda dari bagian (a) dan (b) sebelumnya.
Menggunakan tanda $ x \, $ :
$ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif), maka yang benar sebelah kanan garis.
$ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif), maka yang benar sebelah kiri garis.
Menggunakan tanda $ y \, $ :
$ T_1 \times T_y > 0 \, $ (positif), maka yang benar daerah bagian atas garis.
$ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif), maka yang benar daerah bagian bawah garis.
Ringkasan dari teori di atas yaitu :
Menggunakan Tanda $ x $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kanan)} \\ T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kiri)} \end{array} \right. $
Menggunakan Tanda $ y $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah atas)} \\ T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah bawah)} \end{array} \right. $
Catatan :
*). Kita cukup menggunakan salah satu tanda saja baik tanda $ x \, $ atau tanda $ y \, $ karena hasilnya pasti sama saja.
*). Untuk daerah yang benar dari hasil perkaliannya,
i). menggunakan tanda $ x \, $ berarti harus diingat sumbu X yaitu positif sebelah kanan dan negatif sbelah kiri.
ii). Begitu juga kalau menggunakan tanda $ y $ , ingat sumbu Y yaitu positif bagian atas dan negatif bagian bawah.
Langkah-langkah Menentukan DHP dengan Uji Tanda :
Bentuk umum pertidaksamaannya : $ ax+by \leq c \, $ atau $ \, ax + by \geq c $.
a). Tanda ketaksamaannya ada dua kemungkinan yaitu $ \leq \, $ atau $ \, \geq $.
Tanda ketaksamaannya ini kita beri nilai $ T_1 , \, $
Untuk tanda $ \leq , \, $ maka nilai $ T_1 < 0 \, $ (negatif).
Untuk tanda $ \geq , \, $ maka nilai $ T_1 > 0 \, $ (positif).
b). Tanda selanjutnya adalah tanda pada koefisien $ x \, $ kita tulis ($T_x$) atau tanda pada koefisien $ y \, $ kita tulis ($T_y$) yang masing-masing bisa bernilai positif atau negatif.
c). Kita kalikan kedua tanda dari bagian (a) dan (b) sebelumnya.
Menggunakan tanda $ x \, $ :
$ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif), maka yang benar sebelah kanan garis.
$ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif), maka yang benar sebelah kiri garis.
Menggunakan tanda $ y \, $ :
$ T_1 \times T_y > 0 \, $ (positif), maka yang benar daerah bagian atas garis.
$ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif), maka yang benar daerah bagian bawah garis.
Ringkasan dari teori di atas yaitu :
Menggunakan Tanda $ x $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kanan)} \\ T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kiri)} \end{array} \right. $
Menggunakan Tanda $ y $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah atas)} \\ T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah bawah)} \end{array} \right. $
Catatan :
*). Kita cukup menggunakan salah satu tanda saja baik tanda $ x \, $ atau tanda $ y \, $ karena hasilnya pasti sama saja.
*). Untuk daerah yang benar dari hasil perkaliannya,
i). menggunakan tanda $ x \, $ berarti harus diingat sumbu X yaitu positif sebelah kanan dan negatif sbelah kiri.
ii). Begitu juga kalau menggunakan tanda $ y $ , ingat sumbu Y yaitu positif bagian atas dan negatif bagian bawah.
1). Tentukan DHP dari pertidaksamaan
a). $ 2x + 3y \leq 6 $
b). $ 2x + 3y \leq -6 $
c). $ -2x + 3y \geq 6 $
d). $ 2x - 3y \geq 6 $
e). $ -2x - 3y \leq 6 $
f). $ x \geq 3 $
g). $ y \leq 2 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan dan menentukan DHP nya, kita harus menggambarnya dulu.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear".
a). $ 2x + 3y \leq 6 \rightarrow (0,2), (3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
Catatan : Selanjutnya kita hanya menggunakan salah satu tanda saja.
b). $ 2x + 3y \leq -6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq -6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
c). $ -2x + 3y \geq 6 \rightarrow (0,2), (-3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (positif kali negatif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ -2x + 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
d). $ 2x - 3y \geq 6 \rightarrow (0,-2),(3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ 2x - 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
e). $ -2x - 3y \leq 6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (negatif kali negatif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ -2x - 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :
f). $ x \geq 3 $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ x \geq 3 $.
*). Grafik dan DHP nya :
g). $ y \leq 2 $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ y \leq 2 $.
*). Grafik dan DHP nya :