Pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak. Sesuai dengan judulnya yaitu Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak, maka kita akan lebih memfokuskan pada sisa pembagian dan faktor pada suku banyaknya. Sebenarnya sisa pembagian suatu suku banyak sudah kita bahas pada artikel "Operasi Pembagian Suku Banyak" dimana untuk menentukan sisanya bisa menggunakan dua cara yaitu "cara bersusun" dan "cara skema Horner". Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya baca juga materi "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya", dan "Menentukan Nilai Suku Banyak".
Contoh Soal Teorema sisa :
1). Tentukanlah sisa pembagian dari $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ dibagi ($x + 2$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 1 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ & = (-2)^3 + 4.(-2)^2 + 6(-2) + 5 \\ & = -8 + 4.4 -12 + 5 \\ & = -8 + 16 -12 + 5 \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $.
Koefisien suku banyak : $ x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ adalah $ 1, \, 4, \, 6, \, 5 $.
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.
2). Tentukan sisa pembagian dari $ f(x) = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ dibagi ($5x + 1$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 2 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{5x + 1} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( - \frac{1}{5} \right) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \\ \text{ Sisa } & = f \left( - \frac{1}{5} \right) \\ & = 5\left( - \frac{1}{5} \right)^3 + 21 \left( - \frac{1}{5} \right)^2 + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = 5\left( - \frac{1}{125} \right) + 21 \left( \frac{1}{25} \right) + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = - \frac{5}{125} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{9}{5} - 1 \\ & = - \frac{1}{25} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{45}{25} - 1 \\ & = - \frac{25}{25} - 1 \\ & = - 1 - 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ 5x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{5} $.
Koefisien suku banyak : $ 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ adalah $ 5, \, 21, \, 9, \, -1 $.
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .
3). Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \, $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ , tentukanlah sisa pembagiannya.
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 3 :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-1)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) \end{align} $
*). Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1.
misalkan sisanya : sisa $ = mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 \\ -2m + n & = -23 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = (1)^3 - 2.(1)^2 + 3(1) - 1 \\ m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 1 & \\ -2m + n = -23 & - \\ \hline 3m = 24 & \\ m = 8 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 1 \rightarrow 8 + n = 1 \rightarrow n = -7 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 8x - 7 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, 8x - 7 $.
Contoh soal Teoerema Faktor pada suku banyak :
4). Tunjukkan bahwa ($x + 5$) merupakan faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80$.
Penyelesaian :
*). ($x + 5$) adalah faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \, $ jika memenuhi $ P(-5) = 0 $.
*). Kita cek apakah $ P(-5) = 0 \, $ atau tidak.
$ \begin{align} P(x) & = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \\ P(-5) & = (-5)^3 + 4(-5)^2 + 11(-5) + 80 \\ & = -125 + 4(25) - 55 + 80 \\ & = -125 + 100 - 55 + 80 \\ & = 0 \end{align} $
Karena nilai $ P(-5) = 0 , \, $ maka benar bentuk ($x+5$) adalah faktor dari $ P(x) $.
5). Jika ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ dengan ($x+1$).
Penyelesaian :
*). ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka berlaku $ f(1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ f(1) & = 0 \\ a.1^{2017} - b.1^{2015} + 4 & = 0 \\ a - b + 4 & = 0 \\ a - b & = - 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a + b & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $ dibagi ($x + 1$), maka sisa $ = f(-1) $.
Gunakan pers(i) di atas juga.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ \text{sisa } & = f(-1) \\ & = a.(-1)^{2017} - b.(-1)^{2015} + 4 \\ & = a.(-1) - b.(-1) + 4 \\ & = -a + b + 4 \\ & = (-a + b) + 4 \, \, \, \, \, \text{ ........(gunakan pers(i))} \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh ($x+1$) adalah 8.
6). Diketahui $ f(x) \, $ dibagi ($x-1$) bersisa 2 dan $ f(x) \, $ dibagi ($x+2$) bersisa -1. Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = f(1) \end{align} , \, $ dengan sisa 3
artinya $ f(1) = 2 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} , \, $ dengan sisa -1
artinya $ f(-2) = -1 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 3m = 3 & \\ m = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 2 \rightarrow 1 + n = 2 \rightarrow n = 1 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 1.x + 1 = x + 1 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, x + 1 $.
7). Suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan $ x^2 - 2x -8 \, $ memberikan sisa $ 2x +3 \, $ dan dibagi dengan $ x^2 + x - 6 \, $ memberikan sisa $ x - 1$ . Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 - 2x -8} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-4)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(4) \end{align} $
dengan sisa $ (2x +3 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(-2) \rightarrow f(-2) = 2.(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 $.
$ \text{ Sisa } = f(4) \rightarrow f(4) = 2.(4) + 3 = 8 + 3 = 11 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 6} = \frac{f(x)}{(x-2)(x+3)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(-3) \end{align} $
dengan sisa $ ( x - 1 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(2) \rightarrow f(2) = 2 - 1 = 1 $.
$ \text{ Sisa } = f(-3) \rightarrow f(-3) = -3 - 1 = -4 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 = (x+2)(x-2) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
Disini kita hanya menggunakan nilai fungsi $ f(-2) = -1 \, $ dan $ f(2) = 1 \, $ sesuai akar-akar pembaginya.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(2) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(2) \\ m(2) + n & = f(1) \\ 2m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2m + n = 1 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 4m = 2 & \\ m = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2m + n = 1 \rightarrow 2.(\frac{1}{2} ) + n = 1 \rightarrow n = 0 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = \frac{1}{2}x + 0 = \frac{1}{2}x $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, \frac{1}{2}x $.
8). Suku banyak $ Q(2x - 3) \, $ dibagi dengan ($ x - 1 $) memberikan sisa 4.
Tentukan sisa pembagian suku banyak $ P(x) = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \, $ oleh ($x + 1 $).
Penyelesaian :
*). $ \begin{align} \frac{Q(2x-3)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = Q(2.1-3) = Q(-1) \end{align} , \, $ dengan sisa 4
artinya $ Q(-1) = 4 $.
*). $ \begin{align} \frac{P(x)}{x+1} \rightarrow \text{ Sisa } = P(-1) \end{align} \, $
dengan nilai $ Q(-1) = 4 , \, $ , maka sisanya :
$ \begin{align} P(x) & = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \\ \text{ Sisa } & = P(-1) \\ & = ((-1)^2 - 3(-1) + 4). Q(-1) + (-1)^2 + (-1) -2 \\ & = (1 + 3 + 4). 4 + 1 -1 -2 \\ & = (8). 4 -2 \\ & = 32 -2 \\ & = 30 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ P(x) \, $ oleh ($x + 1 $) adalah 30.
9). Misalkan suku banyak $ P(x) = x^5 + ax^3 + b \, $ dibagi ($x^2 -1$) sisanya adalah ($2x + 1$). Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ P(x) \, $ dibagi $ \, (x^2 - 1) = (x-1)(x+1) \, $ , sisa = $ P(1) \, $ dan sisa $ = P(-1) $.
Sehingga : sisa $ = 2x + 1 $.
sisa = $ P(1) \rightarrow 2.1 + 1 = P(1) \rightarrow P(1) = 3 $
sisa = $ P(-1) \rightarrow 2.(-1) + 1 = P(-1) \rightarrow P(-1) = -1 $
*. Menyusun persamaan dari $ P(1) = 3 \, \text{ dan } P(-1) = -1 $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(1) & = 3 \\ 1^5 + a.1^3 + b & = 3 \\ 1 + a + b & = 3 \\ a + b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(-1) & = -1 \\ (-1)^5 + a.(-1)^3 + b & = -1 \\ -1 - a + b & = -1 \\ -a + b & = 0 \\ a & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ a = b \, $ ke pers(i)
pers(i) : $ a + b = 2 \rightarrow b + b = 2 \rightarrow 2b = 2 \rightarrow b = 1 $.
Sehingga nilai $ a = b = 1 $.
Jadi, kita peroleh nilai $ \, a = b = 1 $.
10). Tentukan nilai $ p \, $ agar bentuk pecahan $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $ dapat disederhanakan.
Penyelesaian :
*). Diketahui pecahan : $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $
Agar pecahan tersebut bisa disederhanakan, maka pembilangnya $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ harus memiliki faktor yang sama dengan penyebutnya $(x^2 - x - 6) $.
*). Faktor penyebutnya : $ (x^2 - x - 6) = (x + 2)(x-3) \, $ yang juga sebagai faktor dari pembilangnya.
*). Menentukan nilai $ p $
faktor pertama :
$ (x + 2) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(-2) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + 2p.(-2)^2 + 1 & = 0 \\ -8 + 8p + 1 & = 0 \\ -7 + 8p & = 0 \\ 8p & = 7 \\ p & = \frac{7}{8} \end{align} $
faktor kedua :
$ (x-3) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(3) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(3) & = 0 \\ (3)^3 + 2p.(3)^2 + 1 & = 0 \\ 27 + 18p + 1 & = 0 \\ 28 + 18p & = 0 \\ 18p & = -28 \\ p & = \frac{-28}{18} = - \frac{14}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \frac{7}{8} \, $ atau $ \, p = - \frac{14}{9} $.
Konsep Teorema Sisa pada Suku Banyak
Teorema Sisa 1
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$), maka sisa pembagiannya adalah $ f(k) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x-k} \rightarrow \text{ Sisa } = f(k) \end{align} $.
Teorema Sisa 2
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($ax + b$), maka sisa pembagiannya adalah $ f \left( -\frac{b}{a} \right) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{ax+b} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( -\frac{b}{a} \right) \end{align} $.
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (x - a)(x - b) $, maka sisanya adalah $ px + q \, $ di mana $ f(a) = pa + q \, $ dan $ f(b) = pb + q $ .
dapat ditulis :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(a) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(b) \end{align} $.
Catatan :
*). Yang disubstitusi ke suku banyaknya adalah akar-akar dari pembaginya dengan cara disamadengankan nol.
teorema sisa 1 : pembaginya ($x-k$), akarnya $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
teorema sisa 2 : pembaginya ($ax + b$),
akarnya $ ax + b = 0 \rightarrow x = -\frac{b}{a} $.
teorema sisa 3 : pembaginya $ \, (x-a)(x-b)$,
akarnya $ (x-a)(x-b) = 0 \rightarrow x = a \, \text{ atau } \, x = b $.
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$), maka sisa pembagiannya adalah $ f(k) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x-k} \rightarrow \text{ Sisa } = f(k) \end{align} $.
Teorema Sisa 2
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($ax + b$), maka sisa pembagiannya adalah $ f \left( -\frac{b}{a} \right) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{ax+b} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( -\frac{b}{a} \right) \end{align} $.
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (x - a)(x - b) $, maka sisanya adalah $ px + q \, $ di mana $ f(a) = pa + q \, $ dan $ f(b) = pb + q $ .
dapat ditulis :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(a) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(b) \end{align} $.
Catatan :
*). Yang disubstitusi ke suku banyaknya adalah akar-akar dari pembaginya dengan cara disamadengankan nol.
teorema sisa 1 : pembaginya ($x-k$), akarnya $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
teorema sisa 2 : pembaginya ($ax + b$),
akarnya $ ax + b = 0 \rightarrow x = -\frac{b}{a} $.
teorema sisa 3 : pembaginya $ \, (x-a)(x-b)$,
akarnya $ (x-a)(x-b) = 0 \rightarrow x = a \, \text{ atau } \, x = b $.
1). Tentukanlah sisa pembagian dari $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ dibagi ($x + 2$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 1 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ & = (-2)^3 + 4.(-2)^2 + 6(-2) + 5 \\ & = -8 + 4.4 -12 + 5 \\ & = -8 + 16 -12 + 5 \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $.
Koefisien suku banyak : $ x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ adalah $ 1, \, 4, \, 6, \, 5 $.
2). Tentukan sisa pembagian dari $ f(x) = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ dibagi ($5x + 1$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 2 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{5x + 1} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( - \frac{1}{5} \right) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \\ \text{ Sisa } & = f \left( - \frac{1}{5} \right) \\ & = 5\left( - \frac{1}{5} \right)^3 + 21 \left( - \frac{1}{5} \right)^2 + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = 5\left( - \frac{1}{125} \right) + 21 \left( \frac{1}{25} \right) + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = - \frac{5}{125} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{9}{5} - 1 \\ & = - \frac{1}{25} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{45}{25} - 1 \\ & = - \frac{25}{25} - 1 \\ & = - 1 - 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ 5x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{5} $.
Koefisien suku banyak : $ 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ adalah $ 5, \, 21, \, 9, \, -1 $.
3). Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \, $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ , tentukanlah sisa pembagiannya.
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 3 :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-1)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) \end{align} $
*). Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1.
misalkan sisanya : sisa $ = mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 \\ -2m + n & = -23 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = (1)^3 - 2.(1)^2 + 3(1) - 1 \\ m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 1 & \\ -2m + n = -23 & - \\ \hline 3m = 24 & \\ m = 8 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 1 \rightarrow 8 + n = 1 \rightarrow n = -7 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 8x - 7 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, 8x - 7 $.
Konsep Teorema Faktor pada Suku Banyak
Jika suku banyak $ f(x) $ suatu suku banyak, maka ($x - k$) merupakan faktor dari $ f(x) $ jika dan hanya jika $ f(k) = 0 $.
Hubungan Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak
Misalkan suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan ($ x - k$) memberikan sisa = 0, maka bentuk ($x - k$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) $. Dengan kata lain, jika bentuk ($x-k$) adalah faktor maka sisanya nol atau suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh ($x-k$).
4). Tunjukkan bahwa ($x + 5$) merupakan faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80$.
Penyelesaian :
*). ($x + 5$) adalah faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \, $ jika memenuhi $ P(-5) = 0 $.
*). Kita cek apakah $ P(-5) = 0 \, $ atau tidak.
$ \begin{align} P(x) & = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \\ P(-5) & = (-5)^3 + 4(-5)^2 + 11(-5) + 80 \\ & = -125 + 4(25) - 55 + 80 \\ & = -125 + 100 - 55 + 80 \\ & = 0 \end{align} $
Karena nilai $ P(-5) = 0 , \, $ maka benar bentuk ($x+5$) adalah faktor dari $ P(x) $.
5). Jika ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ dengan ($x+1$).
Penyelesaian :
*). ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka berlaku $ f(1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ f(1) & = 0 \\ a.1^{2017} - b.1^{2015} + 4 & = 0 \\ a - b + 4 & = 0 \\ a - b & = - 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a + b & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $ dibagi ($x + 1$), maka sisa $ = f(-1) $.
Gunakan pers(i) di atas juga.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ \text{sisa } & = f(-1) \\ & = a.(-1)^{2017} - b.(-1)^{2015} + 4 \\ & = a.(-1) - b.(-1) + 4 \\ & = -a + b + 4 \\ & = (-a + b) + 4 \, \, \, \, \, \text{ ........(gunakan pers(i))} \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh ($x+1$) adalah 8.
6). Diketahui $ f(x) \, $ dibagi ($x-1$) bersisa 2 dan $ f(x) \, $ dibagi ($x+2$) bersisa -1. Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = f(1) \end{align} , \, $ dengan sisa 3
artinya $ f(1) = 2 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} , \, $ dengan sisa -1
artinya $ f(-2) = -1 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 3m = 3 & \\ m = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 2 \rightarrow 1 + n = 2 \rightarrow n = 1 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 1.x + 1 = x + 1 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, x + 1 $.
7). Suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan $ x^2 - 2x -8 \, $ memberikan sisa $ 2x +3 \, $ dan dibagi dengan $ x^2 + x - 6 \, $ memberikan sisa $ x - 1$ . Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 - 2x -8} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-4)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(4) \end{align} $
dengan sisa $ (2x +3 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(-2) \rightarrow f(-2) = 2.(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 $.
$ \text{ Sisa } = f(4) \rightarrow f(4) = 2.(4) + 3 = 8 + 3 = 11 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 6} = \frac{f(x)}{(x-2)(x+3)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(-3) \end{align} $
dengan sisa $ ( x - 1 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(2) \rightarrow f(2) = 2 - 1 = 1 $.
$ \text{ Sisa } = f(-3) \rightarrow f(-3) = -3 - 1 = -4 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 = (x+2)(x-2) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
Disini kita hanya menggunakan nilai fungsi $ f(-2) = -1 \, $ dan $ f(2) = 1 \, $ sesuai akar-akar pembaginya.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(2) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(2) \\ m(2) + n & = f(1) \\ 2m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2m + n = 1 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 4m = 2 & \\ m = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2m + n = 1 \rightarrow 2.(\frac{1}{2} ) + n = 1 \rightarrow n = 0 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = \frac{1}{2}x + 0 = \frac{1}{2}x $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, \frac{1}{2}x $.
8). Suku banyak $ Q(2x - 3) \, $ dibagi dengan ($ x - 1 $) memberikan sisa 4.
Tentukan sisa pembagian suku banyak $ P(x) = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \, $ oleh ($x + 1 $).
Penyelesaian :
*). $ \begin{align} \frac{Q(2x-3)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = Q(2.1-3) = Q(-1) \end{align} , \, $ dengan sisa 4
artinya $ Q(-1) = 4 $.
*). $ \begin{align} \frac{P(x)}{x+1} \rightarrow \text{ Sisa } = P(-1) \end{align} \, $
dengan nilai $ Q(-1) = 4 , \, $ , maka sisanya :
$ \begin{align} P(x) & = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \\ \text{ Sisa } & = P(-1) \\ & = ((-1)^2 - 3(-1) + 4). Q(-1) + (-1)^2 + (-1) -2 \\ & = (1 + 3 + 4). 4 + 1 -1 -2 \\ & = (8). 4 -2 \\ & = 32 -2 \\ & = 30 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ P(x) \, $ oleh ($x + 1 $) adalah 30.
9). Misalkan suku banyak $ P(x) = x^5 + ax^3 + b \, $ dibagi ($x^2 -1$) sisanya adalah ($2x + 1$). Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ P(x) \, $ dibagi $ \, (x^2 - 1) = (x-1)(x+1) \, $ , sisa = $ P(1) \, $ dan sisa $ = P(-1) $.
Sehingga : sisa $ = 2x + 1 $.
sisa = $ P(1) \rightarrow 2.1 + 1 = P(1) \rightarrow P(1) = 3 $
sisa = $ P(-1) \rightarrow 2.(-1) + 1 = P(-1) \rightarrow P(-1) = -1 $
*. Menyusun persamaan dari $ P(1) = 3 \, \text{ dan } P(-1) = -1 $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(1) & = 3 \\ 1^5 + a.1^3 + b & = 3 \\ 1 + a + b & = 3 \\ a + b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(-1) & = -1 \\ (-1)^5 + a.(-1)^3 + b & = -1 \\ -1 - a + b & = -1 \\ -a + b & = 0 \\ a & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ a = b \, $ ke pers(i)
pers(i) : $ a + b = 2 \rightarrow b + b = 2 \rightarrow 2b = 2 \rightarrow b = 1 $.
Sehingga nilai $ a = b = 1 $.
Jadi, kita peroleh nilai $ \, a = b = 1 $.
10). Tentukan nilai $ p \, $ agar bentuk pecahan $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $ dapat disederhanakan.
Penyelesaian :
*). Diketahui pecahan : $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $
Agar pecahan tersebut bisa disederhanakan, maka pembilangnya $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ harus memiliki faktor yang sama dengan penyebutnya $(x^2 - x - 6) $.
*). Faktor penyebutnya : $ (x^2 - x - 6) = (x + 2)(x-3) \, $ yang juga sebagai faktor dari pembilangnya.
*). Menentukan nilai $ p $
faktor pertama :
$ (x + 2) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(-2) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + 2p.(-2)^2 + 1 & = 0 \\ -8 + 8p + 1 & = 0 \\ -7 + 8p & = 0 \\ 8p & = 7 \\ p & = \frac{7}{8} \end{align} $
faktor kedua :
$ (x-3) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(3) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(3) & = 0 \\ (3)^3 + 2p.(3)^2 + 1 & = 0 \\ 27 + 18p + 1 & = 0 \\ 28 + 18p & = 0 \\ 18p & = -28 \\ p & = \frac{-28}{18} = - \frac{14}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \frac{7}{8} \, $ atau $ \, p = - \frac{14}{9} $.