Sebelumnya pada artikel "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya" telah kita bahas operasi suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pada artikel ini kita akan melanjutkan operasi suku banyak yaitu Operasi Pembagian Suku Banyak yang tentu cara pengerjaannya akan lebih rumit dari operasi sebelumnya yang sudah dibahas. Algoritma pembagian ada dua cara yang akan dibahas di sini yaitu pembagian cara bersusun dan pembagian cara Horner.
Contoh soal pembagian suku banyak cara bersusun :
1). Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara bersusun :
Keterangan Proses perhitungan :
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dapat ditulis $ 2x^3 + 4x^2 + 0x - 18 \, $ agar mudah dalam perhitungan.
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 2x^3 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 2x^2 $ .
*). Baris 2 : $ 2x^2 - 6x^2 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 2x^2 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 1 dan baris 2.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 10x^2 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 10x $ .
*). Baris 4 : $ 10x^2 - 30x \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 10x \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 3 dan baris 4.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 30x \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 30 $ .
*). Baris 6 : $ 30x - 90 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 30 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 7 : $ 72 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 5 dan baris 6.
Karena baris 7 : $ 72 \, $ pangkat variabelnya sudah dibawah pangkat pembaginya ($x -3$), maka pembagian dihentikan.
Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ berderajat 3,
Pembaginya : $ P(x) = x - 3 \, $, berderajat 1.
Hasil baginya : $ H(x) = 2x^2 + 10x + 30 \, $ berderajat $ 3 -1 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = 72 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Dapat kita susun menjadi :
$ \begin{align} F(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ 2x^3 + 4x^2 - 18 & =( x - 3) .(2x^2 + 10x + 30) + 72 \end{align} $
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
2). Tentukan hasil dan sisa pembagian dari suku banyak $ x^4 + x^2 - 16 \, $ oleh $ x^2 + 3x + 2 \, $?
Penyelesaian :
$ x^4 + x^2 - 16 \, $ dibagi $ x^2 + 3x + 2 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ x^2 - 6 x + 17 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, -63x-50 $.
*). Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=x^4 + x^2 - 16 \, $ berderajat 4,
Pembaginya : $ P(x) = x^2 + 3x + 2 \, $, berderajat 2.
Hasil baginya : $ H(x) = x^2 - 6 x + 17 \, $ berderajat $ 4 - 2 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = -63x-50 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Contoh soal pembagian suku banyak cara skema horner.
3). Pada soal nomor 1 di atas kita akan menggunakan cara skema horner.
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ adalah $ 2, \, 4, \, 0, \, -18 $.
Proses penghitungan :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ adalah $ 2, \, 3, \, 0, \, 5 $.
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
Contoh soal pembagian suku banyak skema horner bentuk $ (ax+b)$ :
4). Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 5, \, -1 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 + 2x + 6 \, $
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 + 2x + 6}{2} = x^2 + x + 3 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 2 $.
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 1, \, 10 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 - 2x + 4 \, $
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 - 2x + 4}{2} = x^2 - x + 2 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 4 $.
Catatan :
*). Untuk pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1, sebaiknya menggunakan pembagian cara bersusun saja. Pada artikel lain akan kita bahas tentang pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1 baik bisa difaktorkan atau tidak pembaginya.
Derajat Pembagian Suku Banyak
Misalkan ada suku banyak $ F(x) \, $ berderajat $ m \, $ dibagi dengan suku banyak $ P(x) \, $ berderajat $ n \, $ akan memberikan hasil bagi $ H(x) \, $ yang berderajat $ m - n \, $ dan sisanya $ S(x) \, $ yang berderajat maksimal $ n - 1 $.
kita diperoleh : $ F(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Bentuk pembagiannya adalah :
$ \frac{F(x)}{P(x)} = H(x) + \frac{S(x)}{P(x)} \, $ atau dengan mengalikan $ P(x) \, $,kita diperoleh : $ F(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Pembagian Suku Banyak Cara Bersusun
Misalkan, suku banyak $ F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi oleh $ (x - k)$. Dengan pembagian cara susun, maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
Catatan :
*). Bagi pangkat tertingginya terlebih dahulu.
*). Jika pembaginya pangkat satu ($x-k$), maka sisanya adalah konstanta.
*). Pembagian cara bersusun ini bisa digunakan untuk semua jenis pembagian suku banyak.
Catatan :
*). Bagi pangkat tertingginya terlebih dahulu.
*). Jika pembaginya pangkat satu ($x-k$), maka sisanya adalah konstanta.
*). Pembagian cara bersusun ini bisa digunakan untuk semua jenis pembagian suku banyak.
1). Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara bersusun :
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dapat ditulis $ 2x^3 + 4x^2 + 0x - 18 \, $ agar mudah dalam perhitungan.
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 2x^3 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 2x^2 $ .
*). Baris 2 : $ 2x^2 - 6x^2 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 2x^2 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 1 dan baris 2.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 10x^2 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 10x $ .
*). Baris 4 : $ 10x^2 - 30x \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 10x \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 3 dan baris 4.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 30x \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 30 $ .
*). Baris 6 : $ 30x - 90 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 30 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 7 : $ 72 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 5 dan baris 6.
Karena baris 7 : $ 72 \, $ pangkat variabelnya sudah dibawah pangkat pembaginya ($x -3$), maka pembagian dihentikan.
Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ berderajat 3,
Pembaginya : $ P(x) = x - 3 \, $, berderajat 1.
Hasil baginya : $ H(x) = 2x^2 + 10x + 30 \, $ berderajat $ 3 -1 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = 72 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Dapat kita susun menjadi :
$ \begin{align} F(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ 2x^3 + 4x^2 - 18 & =( x - 3) .(2x^2 + 10x + 30) + 72 \end{align} $
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara bersusun :
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
2). Tentukan hasil dan sisa pembagian dari suku banyak $ x^4 + x^2 - 16 \, $ oleh $ x^2 + 3x + 2 \, $?
Penyelesaian :
$ x^4 + x^2 - 16 \, $ dibagi $ x^2 + 3x + 2 $.
Pembagian cara bersusun :
Hasilnya : $ x^2 - 6 x + 17 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, -63x-50 $.
*). Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=x^4 + x^2 - 16 \, $ berderajat 4,
Pembaginya : $ P(x) = x^2 + 3x + 2 \, $, berderajat 2.
Hasil baginya : $ H(x) = x^2 - 6 x + 17 \, $ berderajat $ 4 - 2 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = -63x-50 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($x-k$)
Jika terdapat suku banyak $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi ($x - k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga $ f(x) = (x - k) h(x) + f(k)$.
Skema Hornernya yaitu :
Keterangan :
*). Sisa pembagiannya : $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d $.
*). Hasil baginya : $ H(x) = ax^2 + (ak+b)x + (ak^2 + bk+ c) \, $ dengan koefisiennya $ a, \, (ak+b), \, (ak^2 + bk+ c) $.
*). untuk pengisian akarnya, kita sama dengankan nol bentuk pembaginya, sehingga $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
*). Untuk pengisian lainnya pada cara skema horner, silahkan baca materinya pada artikel "Menentukan Nilai Suku Banyak".
Skema Hornernya yaitu :
*). Sisa pembagiannya : $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d $.
*). Hasil baginya : $ H(x) = ax^2 + (ak+b)x + (ak^2 + bk+ c) \, $ dengan koefisiennya $ a, \, (ak+b), \, (ak^2 + bk+ c) $.
*). untuk pengisian akarnya, kita sama dengankan nol bentuk pembaginya, sehingga $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
*). Untuk pengisian lainnya pada cara skema horner, silahkan baca materinya pada artikel "Menentukan Nilai Suku Banyak".
3). Pada soal nomor 1 di atas kita akan menggunakan cara skema horner.
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ adalah $ 2, \, 4, \, 0, \, -18 $.
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ adalah $ 2, \, 3, \, 0, \, 5 $.
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($ax+b$)
Suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga $ f(x) = (x - k) h(x) + f(k) $ . Pembagian suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (ax + b) $ , dapat diubah menjadi bentuk $ f(x) $ dibagi $ x - \left( - \frac{b}{a} \right) \, $ . Berarti, nilai $ k = - \frac{b}{a} $ , sehingga pada pembagian suku banyak $ f(x) $ tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
$ \begin{align} f(x) & = (x - k) . h(x) + f(k) \\ & = \left( x - \left( - \frac{b}{a} \right) \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \left( x + \frac{b}{a} \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \frac{1}{a}( ax + b) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = ( ax + b) . \frac{h(x)}{a} + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = P(x). H(x) + S(x) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
Pembagi : $ P(x) = (ax + b) $,
Hasil bagi : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} $
dan sisa : $ S(x) = f \left( - \frac{b}{a} \right) $ .
$ \begin{align} f(x) & = (x - k) . h(x) + f(k) \\ & = \left( x - \left( - \frac{b}{a} \right) \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \left( x + \frac{b}{a} \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \frac{1}{a}( ax + b) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = ( ax + b) . \frac{h(x)}{a} + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = P(x). H(x) + S(x) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
Pembagi : $ P(x) = (ax + b) $,
Hasil bagi : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} $
dan sisa : $ S(x) = f \left( - \frac{b}{a} \right) $ .
4). Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 5, \, -1 $.
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 + 2x + 6}{2} = x^2 + x + 3 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 2 $.
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 1, \, 10 $.
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 - 2x + 4}{2} = x^2 - x + 2 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 4 $.
Catatan :
*). Untuk pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1, sebaiknya menggunakan pembagian cara bersusun saja. Pada artikel lain akan kita bahas tentang pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1 baik bisa difaktorkan atau tidak pembaginya.