Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Secara Umum. Hal-hal yang akan kita bahas pada artikel Peluang Kejadian Secara Umum yaitu : ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, kisaran peluang, peluang komplemen, dan frekuensi harapan . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita membaca dulu materi yang berkaitan dan akan digunakan dalam peluang yaitu kaidah pencacahan yang terdiri dari "aturan perkalian dan penjumlahan", "permutasi", dan "kombinasi".
Khusus kejadian pelemparan koin (uang logam) dan dadu, banyaknya anggota ruang sampel bisa dihitung dengan rumus berikut :
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin : $ n(S) = 2^k $
Ruang sampel pelemparan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 6^d $
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin dan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 2^k \times 6^d $
Catatan :
Untuk kasusu lainnya, menentukan $ n(S) \, $ bisa menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, atau aturan permutasi dan kombinasi.Contoh Ruang sampel :
1). Tentukan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian-kejadian berikut ini.
a). Pelemparan sebuah koin,
b). pelemparan sebuah dadu,
c). pelemparan 2 buah koin,
d). pelemparan 2 buah dadu,
e). pelemparan 3 buah koin,
f). pelemparan 3 buah dadu,
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Penyelesaian :
a). Pelemparan sebuah koin,
Pada pelemparan sebuah koin, maka ruang sampelnya : S = {A,G}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 2 $.
dengan rumus, ada 1 koin sehingga $ n(S) = 2^1 = 2 $.
b). pelemparan sebuah dadu,
1 dadu memiliki ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 6 $.
dengan rumus, ada 1 dadu sehingga $ n(S) = 6^1 = 6 $.
c). pelemparan 2 buah koin,
Ada beberapa cara dalam menentukan himpunan 2 koin yang yang dilempar yaitu tabel atau diagram seperti gambar berikut ini.
Sehingga ruang sampelnya : S = {AA, AG, GA, GG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 4 $.
dengan rumus, ada 2 koin sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $.
d). pelemparan 2 buah dadu,
Perhatikan tabel kemungkinan munculnya mata dadu dari kedua dadu :
Dari tabel, ruang sampelnya : S = {(1,1),(1,2), ...,(6,6)}. Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 36 $.
dengan rumus, ada 2 dadu sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
e). pelemparan 3 buah koin,
perhatikan diagram berikut ini.
Dari diagram, ruang sampelnya : S = {AAA, AAG, AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 8 $.
dengan rumus, ada 3 koin sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.
f). pelemparan 3 buah dadu,
dengan rumus, ada 3 dadu sehingga $ n(S) = 6^3 = 216 $.
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Perhatikan tabel hasil pelemparan berikut ini,
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 24 $.
dengan rumus, ada 2 koin dan 1 dadu sehingga $ n(S) = 2^2 \times 6^1 = 4 \times 6 = 24 $.
2). Sebuah dadu dilempar, tentukan peluang dari kejadian :
a). Muncul mata dadu 4,
b). muncul mata dadu ganjil,
c). muncul mata dari prima,
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Penyelesaian :
*). Satu dadu dilempar, maka $ n(S) = 6^1 = 6 $.
a). Muncul mata dadu 4,
Himpunan kejadiannya : E = {4} , sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6} $.
b). muncul mata dadu ganjil,
Himpunan kejadiannya : E = {1,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
c). muncul mata dari prima,
Himpunan kejadiannya : E = {2,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
Himpunan kejadiannya : E = {1,2,3,4,5,6} , sehingga $ n(E) = 6 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1 $.
Karena nilai peluangnya 1, maka kejadian munculnya mata dadu kurang dari 7 pasti terjadi, bisa muncul angka 1 atau angka 2, atau angka 3 , dan seterusnya atau sampai muncul angka 6.
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Himpunan kejadiannya : E = {} (himpunan kosong), sehingga $ n(E) = 0 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0 $.
Karena nilai peluangnya 0, maka kejadian munculnya mata dadu lebih dari 8 tidak mungkin terjadi karena mata dadu paling besar adalah mata dadu 6.
3). Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
a). Ikan dapat hidup di darat. b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. c). Lumut tumbuh di daerah gurun.
Penyelesaian :
a). Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
c). Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
4). Tentukan peluang dari kejadian :
a). munculnya dua sisi angka pada pelemparan 2 koin,
b). munculnya dua sisi angka dan satu sisi gambar pada pelemparan 3 koin.
Penyelesaian :
a). dua koin, sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $, yaitu S = {AA, AG, GA, GG}.
Himpunan kejadiannya dua sisi angka : E = {AA}, sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka pada pelemparan dua koin sekaligus adalah $ \frac{1}{4} $.
b). tiga koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $
Himpunan kejadiannya 2 sisi angka dan 1 gambar : E = {AAG, AGA, GAA}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka dan 1 gambar pada pelemparan tiga koin sekaligus adalah $ \frac{3}{8} $.
5). Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:
a. kelereng merah;
b. kelereng putih;
c. 3 merah dan 1 putih;
Penyelesaian :
*). Ada 6 merah dan 5 putih, totalnya ada 11 kelereng.
Pada kasus pengambilang kelereng, misal yang terambil warna merah dan putih (MP) akan sama dengan termbilnya warna putih dan merah (PM), artinya URUTAN tidak diperhatikan sehingga kasus ini menggunakan kombinasi.
*). Menentukan anggota ruang sampel :
akan diambil 4 kelereng dari 11 kelereng yang ada,
$ \begin{align} n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!4!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{11.10.9.8.7!}{7!.(4.3.2.1)} = 11.10.3 \end{align} $
a). terambil semuanya warna merah, artinya kita akan memilih 4 warna merah dari 6 warna merah yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{6} = \frac{6!}{(6-4)!4!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6.5.4!}{(2.1).4!} = 3.5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3.5}{11.10.3} = \frac{1}{22} $.
Jadi, peluang terambil semuanya merah adalah $ \frac{1}{22} $.
b). terambil semuanya warna putih, artinya kita akan memilih 4 warna putih dari 5 warna putih yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{5} = \frac{5!}{(5-4)!4!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{11.10.3} = \frac{1}{66} $.
Jadi, peluang terambil semuanya putih adalah $ \frac{1}{66} $.
c). Misalkan kejadian terambilnya 3 merah dan 1 putih adalah E,
*). terambil 3 merah dari 6 merah yang ada :
$ \begin{align} n(E_1) = C_3^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6.5.4.3!}{3! . (3.2.1)} = 5.4 \end{align} $
*). terambil 1 putih dari 5 putih yang ada :
$ \begin{align} n(E_2) = C_1^{5} = \frac{5!}{(5-1)!1!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
*). Karena harus terambil 4 kelereng, maka 3 merah dan 1 putih harus SEKALIGUS terjadi sehingga menggunakan aturan perkalian.
*). Total cara terambil 3 merah dan 1 putih adalah :
$ n(E) = n(E_1) \times n(E_2) = 5.4 \times 5. $
*). Peluang kejadian E :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5.4.5}{11.10.3} = \frac{10}{33} $.
Jadi, peluang terpilihnya 3 merah dan 1 putih adalah $ \frac{10}{33} $.
6). Ada 5 orang duduk melingkar pada meja bundar. Jika diantara kelima orang tersebut ada yang bernama Wati dan Budi, maka tentukan peluang susunan duduk agar Wati dan Budi selalu berdampingan?
Penyelesaian :
*). Kasus duduk melingkar berkaitan dengan permutasi siklis.
*). Ada 5 orang duduk melingkar, maka semua susunan yang mungkin yaitu :
$ n(S) = (5-1)! = 4! $
*). Harapannya Wati dan Budi selalu berdampingan, misalkan kejadian ini adalah E,
Agar Wati dan Budi selalu berdampingan, kita blok Wati dan Budi menjadi 1 sehingga kita anggap menjadi satu orang . Artinya sekarang ada 4 orang duduk melingkar dengan banyak cara $ (4-1)! = 3! \, $ . Disamping itu, Wati dan Budi bisa ditukar posisinya dengan ada 2 cara.
Total cara agar Wati dan Budi berdampingan : $ n(E) = 3! \times 2 $ .
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! . 2}{4!} = \frac{3! . 2}{4 . 3!} = \frac{1}{2} $.
Jadi, peluang agar Wati dan Budi selalu berdampingan adalah $ \frac{1}{2} $.
7). Ada 6 pasang suami istri menghadiri pesta dan mereka saling bersalaman. Misalkan E adalah kejadian banyaknya salaman kecuali dengan pasangannya sendiri, tentukan peluang kejadian E.
Penyelesaian :
*). Menentukan banyak anggota ruang sampel : $ n(S) $,
Untuk kasus salaman, misalkan si A salaman dengan si B akan sama saja dengan si B salaman dengan si A, artinya URUTAN Tidak diperhatikan, sehingga menggunakan kombinasi.
Ada 6 pasang suami istri, total orang ada $ 6 \times 2 = 12\, $ orang.
Salaman terjadi antara dua orang, sehingga kita memilih 2 orang dari 12 orang yang ada.
$ \begin{align} n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!.2!} = \frac{12.11.10!}{10!.(2.1)} = 66 \end{align} $
*). Menentukan $ n(E) $ :
E adalah kejadian salaman kecuali dengan pasangannya, artinya ada 6 salaman yang tidak dihitung dari 66 pasangan yang terjadi, sehingga $ n(E) = 66 - 6 = 60 $.
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{60}{66} = \frac{10}{11} $.
Jadi, peluang kejadian E adalah $ \frac{10}{11} $.
Contoh peluang komplemen :
8). Tentukan peluang berikut :
a). Peluang hidup jika diketahui peluang matinya 0,15
b). Peluang lulus jika diketahui peluang tidak lulusnya 0,71.
Penyelesaian :
a). Misalkan P(E) = peluang mati = 0,15 .
maka P(E$^c$) = peluang kebalikan dari mati yaitu peluang hidup.
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - 0,15 = 0,85 $.
Jadi, peluang hidupnya adalah 0,85.
a). Misalkan P(L) = peluang tidak lulus = 0,71 .
maka P(L$^c$) = peluang kebalikan dari tidak lulus yaitu peluang lulus.
$ P(L^c) = 1 - P(L) = 1 - 0,71 = 0,29 $.
Jadi, peluang lulusnya adalah 0,29.
9). Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya:
a. nomor prima,
b. bukan nomor prima.
Penyelesaian :
a). S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, sehingga $ n(S) = 10 $.
Misalnya munculnya nomor prima adalah A, maka:
A = {2, 3, 5, 7}, sehingga $ n(A) = 4 $ .
Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya nomor prima adalah $ \frac{2}{5} $.
b). Bukan bilangan prima = $ A^c $, peluangnya $ P(A^c) $
$ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya bukan prima adalah $ \frac{3}{5} $.
10). Dua buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang munculnya jumlah dadu lebih dari 3.
Penyelesaian :
*). Menentukan $ n(S) $ :
ada dua dadu, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Dua dadu yang masing-masing bernomor 1,2,3,4,5, dan 6. Jumlah terkecil dua dadu tersebut adalah 2, dan jumlah terbesarnya adalah 12.
*). Harapannya jumlah dadu lebih dari 3, artinya yang diminta adalah jumlah 4,5,6,7,8,9,10,11, dan jumlah 12.
*). Kita misalkan E adalah kejadian muncul jumlah 2 dan jumlah 3, maka E$^c \, $ adalah kebalikannya yaitu muncul jumlah 4,5,6,...,12.
*). Kejadian jumlah 2 dan jumlah 3 :
E = {(1,1),(1,2),(2,1)}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluang kejadian E : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $
*). Peluang komplemennya $ P(E^c) $ :
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} $.
Jadi, peluang munculnya jumlah lebih dari 3 adalah $ \frac{11}{12} $.
Contoh soal frekuensi harapan :
11). Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian :
*). banyak percobaan : $ n = 240 $.
*). Menentukan peluang kejadiannya, misalkan kejadiannya adalah E.
ada 3 koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.
E = kejadian muncul 2 gambar dan 1 angka :
E = { GGA, GAG, AGG}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $
*). Menentukan frekuensi harapan kejadian E :
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) = 240 \times \frac{3}{8} = 90 \end{align} $.
Jadi, dari 240 kali percobaan pelemparan 3 uang logam, harapan munculnya dua gambar dan satu angka adalah sebanyak 90 kali.
12). Budi menanam 1000 pohon bunga mawar. Jika dalam sebulan peluang mati setiap pohon adalah 0,23 maka tentukan banyaknya harapan bungan mawar yang masih hidup dalam sebulan.
Penyelesaian :
*). Menentukan peluang hidupnya,
$ P(hidup) = 1 - P(mati) = 1- 0,23 = 0,77 $ .
*). Menentukan frekuensi harapannya :
$ \begin{align} F_h(hidup) = n \times P(hidup) = 1000 \times 0,77 = 770 \end{align} $.
Jadi, dalam sebulan harapannya masih ada 770 pohon bunga mawar yang masih hidup dari 1000 pohon yang ditanam.
Ruang Sampel dan kejadian
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Sementara titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Jika sekeping uang logam ditos (dilempar ke atas sambil diputar), akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pengentosan atau pelemparan (satu kali atau beberapa kali) uang logam atau dadu disebut debagai percobaan.
Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. Misalkan kejadian-kejadian : kejadian muncul mata dadu ganjil {1,3,5}, kejadian muncul mata dadu genap {2,4,6} dan lainnya.
Jenis-jenis kejadian :
Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu sisi enam, kejadian yang mungkin : kejadian muncul mata dadu 1, kejadian muncul mata dadu 2, sampai kejadian muncul mata dadu 6.Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. Misalkan kejadian-kejadian : kejadian muncul mata dadu ganjil {1,3,5}, kejadian muncul mata dadu genap {2,4,6} dan lainnya.
Menentukan banyaknya anggota ruang sampel dan suatu kejadian,
Misalkan ada himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan simbol : $ n(A) $ . Sehingga banyaknya anggota ruang sampel (S) disimbolkan dengan $ n(S) $.
Misalkan ada himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan simbol : $ n(A) $ . Sehingga banyaknya anggota ruang sampel (S) disimbolkan dengan $ n(S) $.
Khusus kejadian pelemparan koin (uang logam) dan dadu, banyaknya anggota ruang sampel bisa dihitung dengan rumus berikut :
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin : $ n(S) = 2^k $
Ruang sampel pelemparan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 6^d $
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin dan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 2^k \times 6^d $
Catatan :
Untuk kasusu lainnya, menentukan $ n(S) \, $ bisa menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, atau aturan permutasi dan kombinasi.
1). Tentukan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian-kejadian berikut ini.
a). Pelemparan sebuah koin,
b). pelemparan sebuah dadu,
c). pelemparan 2 buah koin,
d). pelemparan 2 buah dadu,
e). pelemparan 3 buah koin,
f). pelemparan 3 buah dadu,
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Penyelesaian :
a). Pelemparan sebuah koin,
Pada pelemparan sebuah koin, maka ruang sampelnya : S = {A,G}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 2 $.
dengan rumus, ada 1 koin sehingga $ n(S) = 2^1 = 2 $.
b). pelemparan sebuah dadu,
1 dadu memiliki ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 6 $.
dengan rumus, ada 1 dadu sehingga $ n(S) = 6^1 = 6 $.
c). pelemparan 2 buah koin,
Ada beberapa cara dalam menentukan himpunan 2 koin yang yang dilempar yaitu tabel atau diagram seperti gambar berikut ini.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 4 $.
dengan rumus, ada 2 koin sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $.
d). pelemparan 2 buah dadu,
Perhatikan tabel kemungkinan munculnya mata dadu dari kedua dadu :
dengan rumus, ada 2 dadu sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
e). pelemparan 3 buah koin,
perhatikan diagram berikut ini.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 8 $.
dengan rumus, ada 3 koin sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.
f). pelemparan 3 buah dadu,
dengan rumus, ada 3 dadu sehingga $ n(S) = 6^3 = 216 $.
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Perhatikan tabel hasil pelemparan berikut ini,
dengan rumus, ada 2 koin dan 1 dadu sehingga $ n(S) = 2^2 \times 6^1 = 4 \times 6 = 24 $.
Menentukan Peluang Kejadian
Peluang adalah kejadian yang mungkin dari suatu percobaan yang dinyatakan dalam besaran angka tertentu. Berbicara tentang peluang berarti kita berbicara tentang harapan suatu kejadian yang tentu bisa terjadi atau tidak.
Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan yang setiap anggota dari S mempunyai kesempatan sama untuk muncul atau untuk dipilih. Jika E adalah suatu kejadian dengan E adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian E dapat ditentukan :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ n(E) = \, $ banyaknya anggota himpunan E,
$ n(S) = \, $ banyaknya anggota himpunan ruang sampel S
Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan yang setiap anggota dari S mempunyai kesempatan sama untuk muncul atau untuk dipilih. Jika E adalah suatu kejadian dengan E adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian E dapat ditentukan :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ n(E) = \, $ banyaknya anggota himpunan E,
$ n(S) = \, $ banyaknya anggota himpunan ruang sampel S
Kisaran Peluang suatu Kejadian
Karena E adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, maka kita peroleh :
$ \begin{align} 0 \leq \, & n(E) \leq n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(s) ] \\ \frac{0}{n(S)} \leq \, & \frac{n(E)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)} \\ 0 \leq \, & P(E) \leq 1 \end{align} $
Artinya peluang suatu kejadian berkisar antara 0 dan 1, dimana jika peluangnya 0 maka kejadian yang tidak pernah terjadi (mustahil terjadi) dan jika peluangnya 1 maka kejadiannya pasti terjadi.
Contoh peluang kejadian : $ \begin{align} 0 \leq \, & n(E) \leq n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(s) ] \\ \frac{0}{n(S)} \leq \, & \frac{n(E)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)} \\ 0 \leq \, & P(E) \leq 1 \end{align} $
Artinya peluang suatu kejadian berkisar antara 0 dan 1, dimana jika peluangnya 0 maka kejadian yang tidak pernah terjadi (mustahil terjadi) dan jika peluangnya 1 maka kejadiannya pasti terjadi.
2). Sebuah dadu dilempar, tentukan peluang dari kejadian :
a). Muncul mata dadu 4,
b). muncul mata dadu ganjil,
c). muncul mata dari prima,
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Penyelesaian :
*). Satu dadu dilempar, maka $ n(S) = 6^1 = 6 $.
a). Muncul mata dadu 4,
Himpunan kejadiannya : E = {4} , sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6} $.
b). muncul mata dadu ganjil,
Himpunan kejadiannya : E = {1,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
c). muncul mata dari prima,
Himpunan kejadiannya : E = {2,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
Himpunan kejadiannya : E = {1,2,3,4,5,6} , sehingga $ n(E) = 6 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1 $.
Karena nilai peluangnya 1, maka kejadian munculnya mata dadu kurang dari 7 pasti terjadi, bisa muncul angka 1 atau angka 2, atau angka 3 , dan seterusnya atau sampai muncul angka 6.
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Himpunan kejadiannya : E = {} (himpunan kosong), sehingga $ n(E) = 0 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0 $.
Karena nilai peluangnya 0, maka kejadian munculnya mata dadu lebih dari 8 tidak mungkin terjadi karena mata dadu paling besar adalah mata dadu 6.
3). Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
a). Ikan dapat hidup di darat. b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. c). Lumut tumbuh di daerah gurun.
Penyelesaian :
a). Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
c). Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
4). Tentukan peluang dari kejadian :
a). munculnya dua sisi angka pada pelemparan 2 koin,
b). munculnya dua sisi angka dan satu sisi gambar pada pelemparan 3 koin.
Penyelesaian :
a). dua koin, sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $, yaitu S = {AA, AG, GA, GG}.
Himpunan kejadiannya dua sisi angka : E = {AA}, sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka pada pelemparan dua koin sekaligus adalah $ \frac{1}{4} $.
b). tiga koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $
Himpunan kejadiannya 2 sisi angka dan 1 gambar : E = {AAG, AGA, GAA}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka dan 1 gambar pada pelemparan tiga koin sekaligus adalah $ \frac{3}{8} $.
5). Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:
a. kelereng merah;
b. kelereng putih;
c. 3 merah dan 1 putih;
Penyelesaian :
*). Ada 6 merah dan 5 putih, totalnya ada 11 kelereng.
Pada kasus pengambilang kelereng, misal yang terambil warna merah dan putih (MP) akan sama dengan termbilnya warna putih dan merah (PM), artinya URUTAN tidak diperhatikan sehingga kasus ini menggunakan kombinasi.
*). Menentukan anggota ruang sampel :
akan diambil 4 kelereng dari 11 kelereng yang ada,
$ \begin{align} n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!4!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{11.10.9.8.7!}{7!.(4.3.2.1)} = 11.10.3 \end{align} $
a). terambil semuanya warna merah, artinya kita akan memilih 4 warna merah dari 6 warna merah yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{6} = \frac{6!}{(6-4)!4!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6.5.4!}{(2.1).4!} = 3.5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3.5}{11.10.3} = \frac{1}{22} $.
Jadi, peluang terambil semuanya merah adalah $ \frac{1}{22} $.
b). terambil semuanya warna putih, artinya kita akan memilih 4 warna putih dari 5 warna putih yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{5} = \frac{5!}{(5-4)!4!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{11.10.3} = \frac{1}{66} $.
Jadi, peluang terambil semuanya putih adalah $ \frac{1}{66} $.
c). Misalkan kejadian terambilnya 3 merah dan 1 putih adalah E,
*). terambil 3 merah dari 6 merah yang ada :
$ \begin{align} n(E_1) = C_3^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6.5.4.3!}{3! . (3.2.1)} = 5.4 \end{align} $
*). terambil 1 putih dari 5 putih yang ada :
$ \begin{align} n(E_2) = C_1^{5} = \frac{5!}{(5-1)!1!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
*). Karena harus terambil 4 kelereng, maka 3 merah dan 1 putih harus SEKALIGUS terjadi sehingga menggunakan aturan perkalian.
*). Total cara terambil 3 merah dan 1 putih adalah :
$ n(E) = n(E_1) \times n(E_2) = 5.4 \times 5. $
*). Peluang kejadian E :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5.4.5}{11.10.3} = \frac{10}{33} $.
Jadi, peluang terpilihnya 3 merah dan 1 putih adalah $ \frac{10}{33} $.
6). Ada 5 orang duduk melingkar pada meja bundar. Jika diantara kelima orang tersebut ada yang bernama Wati dan Budi, maka tentukan peluang susunan duduk agar Wati dan Budi selalu berdampingan?
Penyelesaian :
*). Kasus duduk melingkar berkaitan dengan permutasi siklis.
*). Ada 5 orang duduk melingkar, maka semua susunan yang mungkin yaitu :
$ n(S) = (5-1)! = 4! $
*). Harapannya Wati dan Budi selalu berdampingan, misalkan kejadian ini adalah E,
Agar Wati dan Budi selalu berdampingan, kita blok Wati dan Budi menjadi 1 sehingga kita anggap menjadi satu orang . Artinya sekarang ada 4 orang duduk melingkar dengan banyak cara $ (4-1)! = 3! \, $ . Disamping itu, Wati dan Budi bisa ditukar posisinya dengan ada 2 cara.
Total cara agar Wati dan Budi berdampingan : $ n(E) = 3! \times 2 $ .
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! . 2}{4!} = \frac{3! . 2}{4 . 3!} = \frac{1}{2} $.
Jadi, peluang agar Wati dan Budi selalu berdampingan adalah $ \frac{1}{2} $.
7). Ada 6 pasang suami istri menghadiri pesta dan mereka saling bersalaman. Misalkan E adalah kejadian banyaknya salaman kecuali dengan pasangannya sendiri, tentukan peluang kejadian E.
Penyelesaian :
*). Menentukan banyak anggota ruang sampel : $ n(S) $,
Untuk kasus salaman, misalkan si A salaman dengan si B akan sama saja dengan si B salaman dengan si A, artinya URUTAN Tidak diperhatikan, sehingga menggunakan kombinasi.
Ada 6 pasang suami istri, total orang ada $ 6 \times 2 = 12\, $ orang.
Salaman terjadi antara dua orang, sehingga kita memilih 2 orang dari 12 orang yang ada.
$ \begin{align} n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!.2!} = \frac{12.11.10!}{10!.(2.1)} = 66 \end{align} $
*). Menentukan $ n(E) $ :
E adalah kejadian salaman kecuali dengan pasangannya, artinya ada 6 salaman yang tidak dihitung dari 66 pasangan yang terjadi, sehingga $ n(E) = 66 - 6 = 60 $.
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{60}{66} = \frac{10}{11} $.
Jadi, peluang kejadian E adalah $ \frac{10}{11} $.
Peluang Komplemen
Misalkan ada ruang sampel S, E adalah kejadian yang merupakan bagian dari ruang sampel, maka E$^c$ juga bagian dari ruang sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu, ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}, kejadian E adalah kejadian muncul bilangan prima, maka E = {2,3,5}, sehingga E$^c \, $ = {1,4,6}. Artinya $ n(E) + n(E^c) = n(S) $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ P(E^c) = \, $ peluang komplemen kejadian E atau peluang kebalikan dari E.
Menentukan Peluang komplemen :
$ \begin{align} n(E) + n(E^c) & = n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(S) ] \\ \frac{n(E)}{n(S)} + \frac{n(E^c)}{n(S)} & = \frac{n(S)}{n(S)} \\ P(E) + P(E^c) & = 1 \\ P(E^c) & = 1 - P(E) \end{align} $Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ P(E^c) = \, $ peluang komplemen kejadian E atau peluang kebalikan dari E.
8). Tentukan peluang berikut :
a). Peluang hidup jika diketahui peluang matinya 0,15
b). Peluang lulus jika diketahui peluang tidak lulusnya 0,71.
Penyelesaian :
a). Misalkan P(E) = peluang mati = 0,15 .
maka P(E$^c$) = peluang kebalikan dari mati yaitu peluang hidup.
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - 0,15 = 0,85 $.
Jadi, peluang hidupnya adalah 0,85.
a). Misalkan P(L) = peluang tidak lulus = 0,71 .
maka P(L$^c$) = peluang kebalikan dari tidak lulus yaitu peluang lulus.
$ P(L^c) = 1 - P(L) = 1 - 0,71 = 0,29 $.
Jadi, peluang lulusnya adalah 0,29.
9). Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya:
a. nomor prima,
b. bukan nomor prima.
Penyelesaian :
a). S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, sehingga $ n(S) = 10 $.
Misalnya munculnya nomor prima adalah A, maka:
A = {2, 3, 5, 7}, sehingga $ n(A) = 4 $ .
Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya nomor prima adalah $ \frac{2}{5} $.
b). Bukan bilangan prima = $ A^c $, peluangnya $ P(A^c) $
$ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya bukan prima adalah $ \frac{3}{5} $.
10). Dua buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang munculnya jumlah dadu lebih dari 3.
Penyelesaian :
*). Menentukan $ n(S) $ :
ada dua dadu, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Dua dadu yang masing-masing bernomor 1,2,3,4,5, dan 6. Jumlah terkecil dua dadu tersebut adalah 2, dan jumlah terbesarnya adalah 12.
*). Harapannya jumlah dadu lebih dari 3, artinya yang diminta adalah jumlah 4,5,6,7,8,9,10,11, dan jumlah 12.
*). Kita misalkan E adalah kejadian muncul jumlah 2 dan jumlah 3, maka E$^c \, $ adalah kebalikannya yaitu muncul jumlah 4,5,6,...,12.
*). Kejadian jumlah 2 dan jumlah 3 :
E = {(1,1),(1,2),(2,1)}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluang kejadian E : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $
*). Peluang komplemennya $ P(E^c) $ :
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} $.
Jadi, peluang munculnya jumlah lebih dari 3 adalah $ \frac{11}{12} $.
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan E dilakukan $ n \, $ kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) \end{align} $.
Keterangan :
$ F_h(E) = \, $ frekuensi harapan terjadinya kejadian E.
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E.
$ n = \, $ banyaknya percobaan.
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) \end{align} $.
Keterangan :
$ F_h(E) = \, $ frekuensi harapan terjadinya kejadian E.
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E.
$ n = \, $ banyaknya percobaan.
11). Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian :
*). banyak percobaan : $ n = 240 $.
*). Menentukan peluang kejadiannya, misalkan kejadiannya adalah E.
ada 3 koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.
E = kejadian muncul 2 gambar dan 1 angka :
E = { GGA, GAG, AGG}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $
*). Menentukan frekuensi harapan kejadian E :
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) = 240 \times \frac{3}{8} = 90 \end{align} $.
Jadi, dari 240 kali percobaan pelemparan 3 uang logam, harapan munculnya dua gambar dan satu angka adalah sebanyak 90 kali.
12). Budi menanam 1000 pohon bunga mawar. Jika dalam sebulan peluang mati setiap pohon adalah 0,23 maka tentukan banyaknya harapan bungan mawar yang masih hidup dalam sebulan.
Penyelesaian :
*). Menentukan peluang hidupnya,
$ P(hidup) = 1 - P(mati) = 1- 0,23 = 0,77 $ .
*). Menentukan frekuensi harapannya :
$ \begin{align} F_h(hidup) = n \times P(hidup) = 1000 \times 0,77 = 770 \end{align} $.
Jadi, dalam sebulan harapannya masih ada 770 pohon bunga mawar yang masih hidup dari 1000 pohon yang ditanam.