Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat" yang melibatkan bentuk fungsi linear dan fungsi kuadrat, pada artikel ini akan kita lanjutkan pembahasan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat yang melibatkan beberapa bentuk fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya teman-teman pelajari dulu cara menggambar grafik atau kurva fungsi kuadrat baik secara sketsa maupun dengan teknik menggeser.
Sebenarnya materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat tidak jauh berbeda dengan materi sistem pertidaksamaan sebelumnya. Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang kita sajikan dalam bentuk daerah arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian). Teknik untuk menentukan daerah arsirannya juga menggunakan uji sebarang titik pada bidang kartesius. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasannya berikut ini.
Contoh Soal :
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \geq x^2 + x - 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = x^2 + x - 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = x^2 + x - 6 \rightarrow (x-2)(x+3) = 0 \, $ $ \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = 0^2 + 0 - 6 \rightarrow y = -6 $.
Nilai $ a = 1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = x^2 + x - 6 \, $ maka grafik hadap ke atas (senyum).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \geq x^2 + x - 6 \\ 0 & \geq 0^2 + 0 - 6 \\ 0 & \geq -6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 1 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1} \, $ $ \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 1 \rightarrow y = 1 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 1 \, $ maka grafik hadap ke bawah (cemberut).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 1 \\ 0 & \leq -0^2 + 1 \\ 0 & \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :
Pada contoh soal berikutnya, kita akan coba modifikasi tanda ketaksamaannya $( \leq , \, \geq )$ untuk contoh soal nomor 3 di atas.
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
7). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq -x^2 + 4 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \\ y \geq x^2 -x- 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan nomor 7 ini, pertama teman-teman harus menggambar dulu masing-masing kurva parabolanya dan menentukan daerah arsirannya, kemudia terakhir kita iriskan ketiga daerah masing-masing yang terbentuk sehingga daerah hasil irisan inilah yang menjadi himpunan penyelesaiannya.
Untuk menggambar masing-masing kurva, kami silahkan untuk pembaca mencobanya sendiri, dan kami juga telah menyertakan gambar ketiga kurva beserta daerah arsirannya seperti gambar berikut ini.
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari ketiga pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan bawah.
Demikian pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan atau sistem persamaan.
Sebenarnya materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat tidak jauh berbeda dengan materi sistem pertidaksamaan sebelumnya. Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang kita sajikan dalam bentuk daerah arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian). Teknik untuk menentukan daerah arsirannya juga menggunakan uji sebarang titik pada bidang kartesius. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasannya berikut ini.
Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat
*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
Misalkan ada sistem pertidaksamaan kuadrt dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x^2 + b_1x + c_1y \leq d_1 \\ a_2x^2 + b_2x + c_2y \leq d_2 \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.
Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.
Misalkan ada sistem pertidaksamaan kuadrt dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x^2 + b_1x + c_1y \leq d_1 \\ a_2x^2 + b_2x + c_2y \leq d_2 \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.
Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \geq x^2 + x - 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = x^2 + x - 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = x^2 + x - 6 \rightarrow (x-2)(x+3) = 0 \, $ $ \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = 0^2 + 0 - 6 \rightarrow y = -6 $.
Nilai $ a = 1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = x^2 + x - 6 \, $ maka grafik hadap ke atas (senyum).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \geq x^2 + x - 6 \\ 0 & \geq 0^2 + 0 - 6 \\ 0 & \geq -6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 1 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1} \, $ $ \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 1 \rightarrow y = 1 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 1 \, $ maka grafik hadap ke bawah (cemberut).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 1 \\ 0 & \leq -0^2 + 1 \\ 0 & \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :
Pada contoh soal berikutnya, kita akan coba modifikasi tanda ketaksamaannya $( \leq , \, \geq )$ untuk contoh soal nomor 3 di atas.
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
7). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y \leq -x^2 + 4 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \\ y \geq x^2 -x- 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan nomor 7 ini, pertama teman-teman harus menggambar dulu masing-masing kurva parabolanya dan menentukan daerah arsirannya, kemudia terakhir kita iriskan ketiga daerah masing-masing yang terbentuk sehingga daerah hasil irisan inilah yang menjadi himpunan penyelesaiannya.
Untuk menggambar masing-masing kurva, kami silahkan untuk pembaca mencobanya sendiri, dan kami juga telah menyertakan gambar ketiga kurva beserta daerah arsirannya seperti gambar berikut ini.
Demikian pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan atau sistem persamaan.