Apa sih yang dimaksud dengan peluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya mirip dengan "pertumbuhan dalam matematika" yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya adalah untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, sedangkan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita simpulkan, Peluruhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".
Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak objek setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 - i \times A_0 = A_0(1 - i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 - i \times A_1 = A_1(1 - i) = A_0(1 - i)(1-i) = A_0(1-i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 - i \times A_2 = A_2(1 - i) = A_0(1 - i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} - i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 - i) = A_0(1 - i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n $
Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 - i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 - i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1-i)^1 = A_0(1-i) $.
Contoh soal pertumbuhan :
1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan
a. Harga mesin pada tahun ke-2014.
b. Harga mesin pada tahun ke-2020.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :
Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 2 $
atau $ n = 2014 - 2012 = 2 $
harga mesin tahun 2014 = $ A_2 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00.
b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 8 $
atau $ n = 2020 - 2012 = 8 $
harga mesin tahun 2020 = $ A_8 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40.
2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \, $ dan $ i = 5\% = 0,05 $
peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{12}{4} = 3 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 12 jam ($A_{3}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align} $
Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri.
3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100 \, $ dan $ i = 10\% = 0,1 $
peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{48}{12} = 4 $.
*). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61 \end{align} $
Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram.
4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1000 \, $ dan $ r = \frac{1}{3} $
peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{8}{2} = 4 $.
*). Menentukan sisa virus setelah 8 jam ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{1}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{1}{81} \\ & = 12,345679012 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus.
Demikian pembahasan materi Peluruhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga pembahasan soal-soal Pertumbuhan .
Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak objek setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 - i \times A_0 = A_0(1 - i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 - i \times A_1 = A_1(1 - i) = A_0(1 - i)(1-i) = A_0(1-i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 - i \times A_2 = A_2(1 - i) = A_0(1 - i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} - i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 - i) = A_0(1 - i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n $
Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 - i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 - i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1-i)^1 = A_0(1-i) $.
Rumus Peluruhan dalam Matematika
Adapaun rumus peluruhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1-i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ 0 < r < 1 $
Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah objek diawal
$A_n = \, $ jumlah objek setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase penurunan/peluruhan
$r = \, $ kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1-i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ 0 < r < 1 $
Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah objek diawal
$A_n = \, $ jumlah objek setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase penurunan/peluruhan
$r = \, $ kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)
Contoh soal pertumbuhan :
1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan
a. Harga mesin pada tahun ke-2014.
b. Harga mesin pada tahun ke-2020.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :
Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 2 $
atau $ n = 2014 - 2012 = 2 $
harga mesin tahun 2014 = $ A_2 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00.
b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 8 $
atau $ n = 2020 - 2012 = 8 $
harga mesin tahun 2020 = $ A_8 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40.
2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \, $ dan $ i = 5\% = 0,05 $
peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{12}{4} = 3 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 12 jam ($A_{3}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align} $
Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri.
3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100 \, $ dan $ i = 10\% = 0,1 $
peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{48}{12} = 4 $.
*). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61 \end{align} $
Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram.
4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1000 \, $ dan $ r = \frac{1}{3} $
peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{8}{2} = 4 $.
*). Menentukan sisa virus setelah 8 jam ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{1}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{1}{81} \\ & = 12,345679012 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus.
Demikian pembahasan materi Peluruhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga pembahasan soal-soal Pertumbuhan .